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Matemáticas 3.º ESO · Frecuencia relativa y regla de Laplace

Recuerda: frecuencias en experimentos aleatorios

Objetivo: Al terminar, sabrás registrar los resultados de un experimento aleatorio repetido en una tabla y calcular frecuencias absolutas y relativas, también en porcentaje.

Recuerda

Repetir un experimento aleatorio

Para estudiar un experimento aleatorio podemos repetirlo muchas veces y anotar lo que sale. Si lo repetimos $N$ veces:

La frecuencia absoluta de un resultado es el número de veces que ha salido.
La frecuencia relativa es la fracción de veces que ha salido: $\text{frecuencia relativa} = \frac{\text{veces que ha salido}}{\text{número total de pruebas}}$

Cómo se escriben. En las tablas de frecuencias se usa $f_i$ para la absoluta y $h_i = \dfrac{f_i}{N}$ para la relativa. En muchos libros de probabilidad se escribe, en cambio, $n_i$ para la absoluta y $f_i = \dfrac{n_i}{N}$ para la relativa. Lo importante es saber cuál es cada una: la absoluta cuenta veces y la relativa es una parte del total.

Propiedades:

Las frecuencias absolutas suman $N$ , y las relativas suman 1.
Una frecuencia relativa está siempre entre 0 y 1. Multiplicada por 100 da el porcentaje de veces.
La frecuencia relativa de un suceso con varios resultados es la suma de las de sus resultados (o las veces que ha ocurrido el suceso entre $N$ ).

Las frecuencias relativas dependen de la experiencia: si repites el experimento, seguramente obtendrás otros valores.

La frecuencia relativa se estabiliza: la probabilidad

Si repetimos un experimento aleatorio pocas veces, la frecuencia relativa puede salir casi cualquier cosa (con 10 lanzamientos de una moneda pueden salir 7 caras). Pero si lo repetimos muchas veces, la frecuencia relativa de un suceso cambia cada vez menos y se acerca a un número fijo. Ese número es la probabilidad del suceso. (Es la llamada ley de los grandes números.)

Por eso, cuando no podemos calcular una probabilidad de otra forma (una chincheta, una pieza de juguete, si llegará puntual el autobús…), la estimamos con la frecuencia relativa de muchas pruebas: $P(A) \approx \text{frecuencia relativa de } A \text{ tras muchas pruebas}$

Con esa estimación podemos predecir: si $P(A) \approx 0{,}3$ , en 200 pruebas esperamos que $A$ ocurra unas $0{,}3 \cdot 200 = 60$ veces (aproximadamente, no exactamente).

Puntos clave

Frecuencia absoluta: número de veces que sale un resultado.
Frecuencia relativa = veces que sale ÷ número total de pruebas; siempre está entre 0 y 1.
Las frecuencias relativas suman 1; en porcentaje, 100 %.
Si se repite el experimento, las frecuencias suelen cambiar.
Con muchas pruebas, la frecuencia relativa se estabiliza alrededor de un número: la probabilidad del suceso.
La probabilidad se estima con la frecuencia relativa de muchas pruebas; cuantas más pruebas, mejor estimación.
Predicción: n.º de veces esperado ≈ probabilidad · n.º de pruebas.

Errores frecuentes

ErrorDividir entre el número de resultados posibles (6 en un dado) en lugar de entre el número de lanzamientos.
Cómo corregirloLa frecuencia relativa compara con el total de pruebas: $\text{frecuencia relativa} = \dfrac{\text{veces}}{N}$ .
ErrorNo comprobar la tabla.
Cómo corregirloLas frecuencias absolutas tienen que sumar $N$ y las relativas, 1 (salvo pequeños errores de redondeo).
ErrorSacar conclusiones de muy pocas pruebas («he lanzado la moneda 10 veces y han salido 7 caras: la probabilidad de cara es 0,7»).
Cómo corregirloCon pocas pruebas la frecuencia relativa cambia mucho. Para estimar una probabilidad hacen falta muchas pruebas (cientos), y se juntan los datos de toda la clase si hace falta.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Cincuenta lanzamientos de un dado experimental (tabla de frecuencias)
Laura ha lanzado un dado 50 veces y ha obtenido estos resultados:

Resultado 1 2 3 4 5 6

Veces 7 9 8 10 6 10

a) Calcula la frecuencia relativa de cada resultado. b) ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso «sacar par»? Exprésala en porcentaje.

Resolución
a) Dividimos cada frecuencia absoluta entre $N = 50$ :

Resultado 1 2 3 4 5 6 Total

$n_i$ 7 9 8 10 6 10 50

$f_i$ 0,14 0,18 0,16 0,20 0,12 0,20 1

Comprobación: $0{,}14 + 0{,}18 + 0{,}16 + 0{,}20 + 0{,}12 + 0{,}20 = 1$ . ✔

b) Han salido pares $9 + 10 + 10 = 29$ veces: $f = \dfrac{29}{50} = 0{,}58$ , es decir, el 58 % de las veces. (También: $0{,}18 + 0{,}20 + 0{,}20 = 0{,}58$ .)

Resultado	1	2	3	4	5	6
Veces	7	9	8	10	6	10

Resultado	1	2	3	4	5	6	Total
$n_i$	7	9	8	10	6	10	50
$f_i$	0,14	0,18	0,16	0,20	0,12	0,20	1

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Al lanzar una moneda 40 veces han salido 23 caras. Calcula la frecuencia absoluta y relativa de cara y de cruz, y exprésalas también en porcentaje.

Ver solución
Cara: 23; 0,575 (57,5 %). Cruz: 17; 0,425 (42,5 %).
Cruces: $40 - 23 = 17$ . $f(\text{cara}) = \dfrac{23}{40} = 0{,}575 \to 57{,}5\ \%$ ; $f(\text{cruz}) = \dfrac{17}{40} = 0{,}425 \to 42{,}5\ \%$ . Suman $0{,}575 + 0{,}425 = 1$ . ✔
2. Media
Se ha girado 80 veces una ruleta de tres colores. Completa la tabla:

Color Rojo Verde Azul Total

$n_i$ 26 80

$f_i$ 0,35

Ver solución
Azul: 28; verde: 26. f(rojo) = f(verde) = 0,325; total f = 1.
Azul: $n = 0{,}35 \cdot 80 = 28$ . Verde: $80 - 26 - 28 = 26$ . $f(\text{rojo}) = \dfrac{26}{80} = 0{,}325$ ; $f(\text{verde}) = \dfrac{26}{80} = 0{,}325$ . Total: $0{,}325 + 0{,}325 + 0{,}35 = 1$ . ✔

Color	Rojo	Verde	Azul	Total
$n_i$	26			80
$f_i$			0,35

Para practicar más

1. Fácil
De una bolsa con bolas de colores se saca una bola, se anota el color y se devuelve a la bolsa. Se ha hecho 50 veces: roja, 21 veces; azul, 17; verde, 12. Haz la tabla de frecuencias absolutas y relativas.

Ver solución
f(roja) = 0,42; f(azul) = 0,34; f(verde) = 0,24.
$f(\text{roja}) = \dfrac{21}{50} = 0{,}42$ ; $f(\text{azul}) = \dfrac{17}{50} = 0{,}34$ ; $f(\text{verde}) = \dfrac{12}{50} = 0{,}24$ . Suman $50$ y $1$ . ✔
2. Fácil
Lanza una moneda 30 veces y anota los resultados. Haz la tabla de frecuencias absolutas y relativas. ¿Te ha salido una frecuencia relativa de cara cercana a 0,5?

Ver solución
Respuesta abierta: depende de los lanzamientos. Las frecuencias absolutas deben sumar 30 y las relativas, 1.
Ejemplo de respuesta: si salen 14 caras y 16 cruces, $f(\text{cara}) = \dfrac{14}{30} \approx 0{,}47$ y $f(\text{cruz}) = \dfrac{16}{30} \approx 0{,}53$ (redondeando a centésimas). Con solo 30 lanzamientos es normal que no salga exactamente 0,5.
3. Media
Se ha lanzado 200 veces una pinza de madera de las de tender la ropa. La frecuencia relativa de «cae de canto» ha sido 0,35. ¿Cuántas veces ha caído de canto? ¿Y de otra forma?

Ver solución
De canto: 70 veces; de otra forma: 130 veces.
$n = f \cdot N = 0{,}35 \cdot 200 = 70$ veces de canto. De otra forma: $200 - 70 = 130$ veces.