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Matemáticas 3.º ESO · Frecuencia relativa y regla de Laplace

Recuerda: la frecuencia relativa se estabiliza

Objetivo: Al terminar, sabrás observar cómo se estabiliza la frecuencia relativa al repetir un experimento muchas veces y usarla para estimar probabilidades y compararlas con las teóricas.

Recuerda

La frecuencia relativa se estabiliza

Si repetimos un experimento aleatorio muchas veces, la frecuencia relativa de un suceso va oscilando cada vez menos y se acerca a un valor fijo. Esa regularidad se conoce como ley de los grandes números, y el valor al que se acerca es la probabilidad del suceso.

Con pocas pruebas, la frecuencia relativa puede estar lejos de la probabilidad (en 10 lanzamientos de una moneda pueden salir 7 caras).
Con muchas pruebas, la frecuencia relativa es una buena estimación de la probabilidad: $P(A) \approx f(A)$ .

Para qué sirve

Para estimar probabilidades cuando no se pueden calcular de otra forma: una chincheta, un tapón, un vaso, la probabilidad de que un jugador enceste, de que un recién nacido sea niña…
Para comprobar si un dado o una moneda están bien hechos: si en muchísimos lanzamientos la frecuencia de un resultado está muy lejos de la esperada, el dado puede estar trucado.
Para prever: si $P(A) \approx 0{,}3$ , en 200 pruebas esperamos que $A$ ocurra unas $0{,}3 \cdot 200 = 60$ veces (aproximadamente, no exactamente).

Para ver la estabilización se dibuja la frecuencia relativa acumulada (calculada con todos los lanzamientos hechos hasta ese momento) frente al número de lanzamientos.

Probabilidad experimental y probabilidad teórica

La probabilidad que se estima con la frecuencia relativa de muchas pruebas se llama probabilidad experimental.
Si los resultados son igual de probables (un dado o una moneda bien hechos), la probabilidad se puede calcular antes de experimentar con la regla de Laplace: es la probabilidad teórica. Al lanzar un dado, $P(5) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ .
Con muchas pruebas, la probabilidad experimental se acerca a la teórica. Una diferencia pequeña es normal; una diferencia grande después de muchísimas pruebas hace sospechar que el objeto está trucado.

Cómo planificar un experimento

Qué se observa: decide qué vas a anotar y escribe el espacio muestral.
Condiciones: repite siempre igual (misma altura, misma superficie, misma forma de lanzar) y decide cuántas veces lo harás: cuantas más, mejor. Se pueden juntar los datos de varios grupos.
Registro: anota los resultados en una tabla de recuento y, cada cierto número de pruebas, el total acumulado.
Análisis: calcula las frecuencias relativas acumuladas, dibuja la gráfica y mira en torno a qué valor se estabilizan.
Conclusión: da la estimación de la probabilidad y, si se puede, compárala con la teórica.

Puntos clave

Al repetir muchas veces un experimento, la frecuencia relativa se estabiliza (ley de los grandes números).
El valor en torno al cual se estabiliza es la probabilidad: $P(A) \approx f(A)$ con $N$ grande.
Con pocas pruebas la estimación es poco fiable.
N.º de veces esperado $\approx P(A) \cdot N$ .
Probabilidad experimental (frecuencia relativa con muchas pruebas) y teórica (regla de Laplace) se parecen si el objeto está bien hecho.
Para planificar un experimento: qué se observa, condiciones, registro, análisis y conclusión.

Errores frecuentes

ErrorEstimar la probabilidad con muy pocas pruebas (10 lanzamientos, 7 caras: «la probabilidad de cara es 0,7»).
Cómo corregirloUsa la frecuencia de la última fila de la tabla (la de más lanzamientos) y, si puedes, repite más veces el experimento.
ErrorPensar que, si han salido muchas caras seguidas, ahora «toca» cruz.
Cómo corregirloLa moneda no tiene memoria: la frecuencia se estabiliza porque se hacen muchas pruebas, no porque los resultados se compensen.
ErrorEsperar que salga exactamente el número de veces previsto (en 600 lanzamientos de un dado, exactamente 100 cincos).
Cómo corregirlo $P(A) \cdot N$ es una previsión aproximada: es normal que salgan algunos más o algunos menos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La chincheta experimental y gráfico (estabilización)
En clase se ha lanzado muchas veces una chincheta y se ha anotado, cada 50 lanzamientos, cuántas veces ha caído punta arriba en total:

Lanzamientos ( $N$ ) 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Punta arriba 35 58 96 121 157 184 218 247 279 310

a) Calcula la frecuencia relativa acumulada en cada caso. b) Observa la gráfica. ¿Qué ocurre al aumentar el número de lanzamientos? c) Estima la probabilidad de que la chincheta caiga punta arriba.

Resolución
a) Dividimos entre el número de lanzamientos (redondeando a milésimas):

$N$ 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

$f$ 0,7 0,58 0,64 0,605 0,628 0,613 0,623 0,618 0,62 0,62

b) Al principio la frecuencia oscila bastante (0,7, 0,58, 0,64…), pero a partir de unos 250 lanzamientos se mantiene muy cerca de 0,62: se estabiliza.

c) $P(\text{punta arriba}) \approx 0{,}62$ .

Aquí no se puede usar la regla de Laplace porque los dos resultados (punta arriba, punta abajo) no son igual de probables: la única forma de saber la probabilidad es experimentar.

Lanzamientos ( $N$ )	50	100	150	200	250	300	350	400	450	500
Punta arriba	35	58	96	121	157	184	218	247	279	310

$N$	50	100	150	200	250	300	350	400	450	500
$f$	0,7	0,58	0,64	0,605	0,628	0,613	0,623	0,618	0,62	0,62

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Se ha lanzado un tapón de botella y se ha anotado cuántas veces ha caído boca arriba:

Lanzamientos 20 50 100 200 500

Boca arriba 6 17 31 66 160

Calcula las frecuencias relativas y estima la probabilidad de que el tapón caiga boca arriba.

Ver solución
f = 0,30; 0,34; 0,31; 0,33; 0,32. P(boca arriba) ≈ 0,32.
$\dfrac{6}{20} = 0{,}30$ ; $\dfrac{17}{50} = 0{,}34$ ; $\dfrac{31}{100} = 0{,}31$ ; $\dfrac{66}{200} = 0{,}33$ ; $\dfrac{160}{500} = 0{,}32$ . Se estabiliza en torno a 0,32: $P(\text{boca arriba}) \approx 0{,}32$ (la mejor estimación es la de 500 lanzamientos).
2. Media
La gráfica muestra la frecuencia relativa acumulada de «cara» al lanzar una moneda hasta 1000 veces. a) ¿Hacia qué valor se acerca la frecuencia relativa? b) En los 10 primeros lanzamientos la frecuencia fue 0,7. ¿Quiere decir que la moneda está trucada? c) A los 1000 lanzamientos la frecuencia era 0,499. ¿Cuántas caras habían salido?

Ver solución
a) A 0,5. b) No: con tan pocos lanzamientos es normal que la frecuencia se aleje. c) 499 caras.
a) Los puntos se acercan cada vez más a 0,5. b) No. Con 10 lanzamientos la frecuencia puede alejarse mucho de 0,5 por azar; con muchos lanzamientos se ve que la moneda es correcta. c) $0{,}499 \cdot 1000 = 499$ caras.
3. Media
Un dado se ha lanzado 1200 veces y el 6 ha salido 330 veces. a) ¿Cuál es la frecuencia relativa del 6? b) Si el dado fuera correcto, ¿cuántos seises se esperarían aproximadamente? c) ¿Crees que el dado está trucado?

Ver solución
a) 0,275. b) Unos 200. c) Probablemente sí.
a) $f = \dfrac{330}{1200} = 0{,}275$ . b) En un dado correcto, $P(6) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ , así que se esperan unos $\dfrac{1200}{6} = 200$ seises. c) 330 está muy lejos de 200, y 1200 lanzamientos son muchos: lo más probable es que el dado esté trucado (favorece el 6).

Lanzamientos	20	50	100	200	500
Boca arriba	6	17	31	66	160

Para practicar más

1. Fácil
Un jugador de baloncesto ha encestado esta temporada 156 de los 200 tiros libres que ha lanzado. a) Estima la probabilidad de que enceste un tiro libre. b) ¿Cuántos tiros libres esperas que enceste en sus próximos 50 lanzamientos?

Ver solución
a) ≈ 0,78. b) Unos 39.
a) $P \approx f = \dfrac{156}{200} = 0{,}78$ . b) $0{,}78 \cdot 50 = 39$ tiros, aproximadamente.
2. Media
En España nacen, aproximadamente, 106 niños por cada 100 niñas (dato aproximado). Estima la probabilidad de que un recién nacido elegido al azar sea niña. Redondea a centésimas.

Ver solución
P(niña) ≈ 0,49.
De cada $106 + 100 = 206$ nacimientos, unos 100 son niñas: $P(\text{niña}) \approx \dfrac{100}{206} \approx 0{,}485 \approx 0{,}49$ (redondeando a centésimas). No es 0,5: no se puede usar la regla de Laplace con los resultados «niño» y «niña» porque no son exactamente igual de probables.
3. Media
Lanza 50 veces un vaso de plástico y anota si cae de pie, boca abajo o de lado. Calcula las frecuencias relativas y estima la probabilidad de cada resultado. ¿Por qué no puedes calcular estas probabilidades con la regla de Laplace?

Ver solución
Respuesta abierta (depende del vaso). No se puede usar Laplace porque los tres resultados no son igual de probables.
Ejemplo de respuesta: de pie, 4; boca abajo, 7; de lado, 39 → $f = 0{,}08$ ; $0{,}14$ ; $0{,}78$ . Las frecuencias deben sumar 1. La regla de Laplace solo vale si todos los resultados son igual de probables, y un vaso cae de lado mucho más a menudo.