Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

Matemáticas 3.º ESO · Experimentos aleatorios. Espacio muestral y sucesos

Espacio muestral de experimentos compuestos

Objetivo: Al terminar, sabrás construir el espacio muestral de experimentos compuestos con tablas de doble entrada y diagramas de árbol, y describir sucesos por extensión contando sus resultados.

Explicación

Experimentos compuestos

Un experimento es compuesto cuando está formado por varios experimentos simples: lanzar dos dados, lanzar una moneda y girar una ruleta, responder al azar a varias preguntas…

Cada resultado se escribe como un par (o un trío…) ordenado. Si lanzamos un dado rojo y uno azul, $(3, 5)$ significa «3 en el rojo y 5 en el azul», que es distinto de $(5, 3)$ .

Dos herramientas para escribir el espacio muestral

Tabla de doble entrada (para dos experimentos): en las filas, los resultados del primero; en las columnas, los del segundo. Cada casilla es un resultado.
Diagrama de árbol (para dos o más etapas, o cuando lo que se hace en una etapa depende de lo que salió antes). Cada camino completo es un resultado.

El número de resultados se obtiene con el principio de multiplicación: dos dados → $6 \cdot 6 = 36$ resultados.

Sucesos por extensión

Describir un suceso por extensión es escribir todos sus resultados. Con la tabla o el árbol delante, basta con marcar las casillas o los caminos que cumplen la condición y contarlos.

Puntos clave

Un experimento compuesto está formado por varios experimentos simples.
Los resultados son pares (o tríos) ordenados: $(3, 5) \neq (5, 3)$ .
Tabla de doble entrada para dos experimentos; diagrama de árbol para dos o más etapas.
N.º de resultados = producto de los resultados de cada etapa.
Para describir un suceso por extensión, marca en la tabla o en el árbol los resultados que cumplen la condición y cuéntalos.

Errores frecuentes

ErrorContar $(3, 5)$ y $(5, 3)$ como un solo resultado al lanzar dos dados.
Cómo corregirloImagina que un dado es rojo y el otro azul: «3 en el rojo y 5 en el azul» no es lo mismo que «5 en el rojo y 3 en el azul». Son 36 resultados, no 21.
ErrorOlvidar algún resultado al escribir un suceso por extensión.
Cómo corregirloNo lo hagas de cabeza: márcalo en la tabla o en el árbol y cuenta las casillas marcadas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos dados de colores tabla de doble entrada

Se lanzan un dado rojo y un dado azul. a) Escribe el espacio muestral con una tabla de doble entrada. ¿Cuántos resultados tiene? b) Escribe por extensión y cuenta los resultados de: $A$ = «sacar dobles (el mismo número en los dos)», $B$ = «el rojo saca más que el azul», $C$ = «sale algún 6».

Resolución

a) Cada casilla es (rojo, azul):

Rojo \ Azul	1	2	3	4	5	6
1	(1, 1)	(1, 2)	(1, 3)	(1, 4)	(1, 5)	(1, 6)
2	(2, 1)	(2, 2)	(2, 3)	(2, 4)	(2, 5)	(2, 6)
3	(3, 1)	(3, 2)	(3, 3)	(3, 4)	(3, 5)	(3, 6)
4	(4, 1)	(4, 2)	(4, 3)	(4, 4)	(4, 5)	(4, 6)
5	(5, 1)	(5, 2)	(5, 3)	(5, 4)	(5, 5)	(5, 6)
6	(6, 1)	(6, 2)	(6, 3)	(6, 4)	(6, 5)	(6, 6)

Hay $6 \cdot 6 = 36$ resultados.

b) $A = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\}$ : la diagonal, 6 resultados.

$B$ : las casillas por debajo de la diagonal. Fila del 2: 1 casilla; del 3: 2; del 4: 3; del 5: 4; del 6: 5. En total $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ resultados: $(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), \ldots, (6, 5)$ .

$C$ : la última fila y la última columna: $6 + 6 = 12$ , pero la casilla $(6, 6)$ está en las dos y se cuenta una vez: 11 resultados.

Ejemplo 2. Un test respondido al azar diagrama de árbol
Mario responde al azar un test de tres preguntas de verdadero o falso. En cada pregunta puede acertar (A) o fallar (F). a) Escribe el espacio muestral con un diagrama de árbol. b) Escribe por extensión: $M$ = «acertar exactamente 2», $N$ = «acertar al menos 2», $P$ = «fallar la primera».

Resolución
a) Tres etapas con dos ramas cada una:
- A
  - A → AAA, AAF
  - F → AFA, AFF
- F
  - A → FAA, FAF
  - F → FFA, FFF
$E = \{\text{AAA}, \text{AAF}, \text{AFA}, \text{AFF}, \text{FAA}, \text{FAF}, \text{FFA}, \text{FFF}\}$ : $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ resultados.

b) $M = \{\text{AAF}, \text{AFA}, \text{FAA}\}$ (3 resultados). $N$ = «acertar 2 o 3» $= \{\text{AAA}, \text{AAF}, \text{AFA}, \text{FAA}\}$ (4 resultados). $P = \{\text{FAA}, \text{FAF}, \text{FFA}, \text{FFF}\}$ (4 resultados: la rama F entera).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una ruleta tiene tres sectores iguales: rojo (R), verde (V) y azul (A). Se gira dos veces. a) Haz una tabla de doble entrada con el espacio muestral. ¿Cuántos resultados hay? b) Escribe por extensión: «los dos colores son iguales» y «no sale azul en ninguna tirada».

Ver solución
a) 9 resultados. b) {RR, VV, AA}; {RR, RV, VR, VV}.
a)

1.ª \ 2.ª R V A

R RR RV RA

V VR VV VA

A AR AV AA

$3 \cdot 3 = 9$ resultados. b) Iguales: $\{\text{RR}, \text{VV}, \text{AA}\}$ . Sin azul: $\{\text{RR}, \text{RV}, \text{VR}, \text{VV}\}$ .
2. Media
Se lanzan un dado rojo y un dado azul (resultados (rojo, azul)). Escribe por extensión y cuenta los resultados de: a) «el producto de los dos números es 6»; b) «la diferencia entre el mayor y el menor es 4»; c) «los dos números son menores que 3».

Ver solución
a) {(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)}: 4. b) {(1, 5), (5, 1), (2, 6), (6, 2)}: 4. c) {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}: 4.
a) $1 \cdot 6 = 2 \cdot 3 = 6$ , en los dos órdenes: $\{(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)\}$ → 4. b) Parejas que se diferencian en 4: 1 y 5, 2 y 6, en los dos órdenes: $\{(1, 5), (5, 1), (2, 6), (6, 2)\}$ → 4. c) Cada dado, 1 o 2: $\{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$ → $2 \cdot 2 = 4$ .
3. Media
Se lanza una moneda y después se gira una ruleta con 4 sectores iguales numerados del 1 al 4. a) Dibuja el diagrama de árbol y escribe el espacio muestral. b) Escribe por extensión: «cara y número par» y «número mayor que 2».

Ver solución
a) E = {C1, C2, C3, C4, X1, X2, X3, X4}. b) {C2, C4}; {C3, C4, X3, X4}.
a) De C (cara) y de X (cruz) salen 4 ramas: $E = \{\text{C1}, \text{C2}, \text{C3}, \text{C4}, \text{X1}, \text{X2}, \text{X3}, \text{X4}\}$ , $2 \cdot 4 = 8$ resultados. b) Cara y par: $\{\text{C2}, \text{C4}\}$ . Mayor que 2 (con cara o con cruz): $\{\text{C3}, \text{C4}, \text{X3}, \text{X4}\}$ .
4. Difícil
En el festival del instituto actúan tres grupos: uno de rock (R), uno de pop (P) y uno de jazz (J). El orden de actuación se sortea. a) Escribe el espacio muestral con un árbol. b) Escribe por extensión: «el grupo de rock actúa el primero», «pop actúa antes que jazz» y «rock no actúa el último».

Ver solución
a) {RPJ, RJP, PRJ, PJR, JRP, JPR}. b) {RPJ, RJP}; {RPJ, PRJ, PJR}; {RPJ, RJP, PRJ, JRP}.
a) Árbol sin repetición: 3 opciones para el primero, 2 para el segundo y 1 para el último: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ . $E = \{\text{RPJ}, \text{RJP}, \text{PRJ}, \text{PJR}, \text{JRP}, \text{JPR}\}$ . b) Rock primero: $\{\text{RPJ}, \text{RJP}\}$ . Pop antes que jazz: $\{\text{RPJ}, \text{PRJ}, \text{PJR}\}$ . Rock no último: $\{\text{RPJ}, \text{RJP}, \text{PRJ}, \text{JRP}\}$ .

1.ª \ 2.ª	R	V	A
R	RR	RV	RA
V	VR	VV	VA
A	AR	AV	AA

Para practicar más

1. Fácil
Se lanza una moneda y se saca una carta de un montón con tres cartas: sota, caballo y rey. Escribe el espacio muestral con una tabla de doble entrada. ¿Cuántos resultados tiene?

Ver solución
6 resultados: (C, sota), (C, caballo), (C, rey), (X, sota), (X, caballo), (X, rey).

Moneda \ Carta Sota Caballo Rey

C (C, sota) (C, caballo) (C, rey)

X (X, sota) (X, caballo) (X, rey)

$2 \cdot 3 = 6$ resultados.
2. Media
Se lanzan un dado rojo y un dado azul (resultados (rojo, azul)). Escribe por extensión y cuenta: a) «los dos números son pares»; b) «el número del rojo es el doble que el del azul».

Ver solución
a) 9 resultados. b) {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}: 3.
a) Cada dado puede dar 2, 4 o 6: $\{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)\}$ → $3 \cdot 3 = 9$ . b) $\{(2, 1), (4, 2), (6, 3)\}$ → 3.
3. Media
En el camino al instituto, Irene pasa por tres semáforos y anota si cada uno está en verde (V) o en rojo (R). a) Escribe el espacio muestral con un diagrama de árbol. b) Escribe por extensión: «encontrar exactamente un rojo» y «el primero está en rojo».

Ver solución
a) 8 resultados: VVV, VVR, VRV, VRR, RVV, RVR, RRV, RRR. b) {RVV, VRV, VVR}; {RVV, RVR, RRV, RRR}.
a) Tres etapas con dos ramas: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ resultados: VVV, VVR, VRV, VRR, RVV, RVR, RRV, RRR. b) Un solo rojo: $\{\text{RVV}, \text{VRV}, \text{VVR}\}$ . Primero en rojo: $\{\text{RVV}, \text{RVR}, \text{RRV}, \text{RRR}\}$ .
4. Difícil
Se lanza un dado. Si sale par, se lanza después una moneda; si sale impar, se lanza otra vez el dado. a) Dibuja el diagrama de árbol (no hace falta dibujar todas las ramas) y di cuántos resultados tiene el espacio muestral. b) Escribe por extensión: «sale cara» y «se lanza dos veces el dado y sale dos veces el mismo número».

Ver solución
a) 24 resultados. b) {2C, 4C, 6C}; {11, 33, 55}.
a) De 2, 4 y 6 salen 2 ramas (C, X): $3 \cdot 2 = 6$ resultados (2C, 2X, 4C, 4X, 6C, 6X). De 1, 3 y 5 salen 6 ramas: $3 \cdot 6 = 18$ resultados (11, 12, …, 56). Total: $6 + 18 = 24$ . Aquí no se puede multiplicar todo de golpe porque las ramas no tienen todas el mismo número de hijos. b) Sale cara: $\{\text{2C}, \text{4C}, \text{6C}\}$ . Mismo número dos veces (solo puede pasar si el primero es impar): $\{11, 33, 55\}$ .

Moneda \ Carta	Sota	Caballo	Rey
C	(C, sota)	(C, caballo)	(C, rey)
X	(X, sota)	(X, caballo)	(X, rey)