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Matemáticas 3.º ESO · Frecuencia relativa y regla de Laplace

Recuerda: la regla de Laplace

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular probabilidades con la regla de Laplace en experimentos sencillos con resultados equiprobables y expresarlas en fracción, decimal y porcentaje.

Recuerda

La regla de Laplace

Si todos los resultados de un experimento son igual de probables (equiprobables), la probabilidad de un suceso $A$ se calcula con la regla de Laplace:

$P(A) = \frac{\text{n.º de casos favorables a } A}{\text{n.º de casos posibles}}$

Casos posibles: todos los resultados del experimento.
Casos favorables: los resultados con los que ocurre $A$ .

Ejemplo: al lanzar un dado, $P(\text{sacar par}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

Pasos

Comprueba que todos los resultados son igual de probables.
Cuenta los casos posibles (cada bola, cada sector, cada cara: no los colores).
Cuenta los casos favorables.
Divide y simplifica la fracción.
Comprueba que el resultado está entre 0 y 1.

Escala de probabilidad

La probabilidad es un número entre 0 y 1: $0 \le P(A) \le 1$ .
Suceso imposible: $P = 0$ . Suceso seguro: $P = 1$ .
$P = 0{,}5$ : tan probable que ocurra como que no.

0	entre 0 y 0,5	0,5	entre 0,5 y 1	1
imposible	poco probable	tan probable como no	muy probable	seguro

Una probabilidad se puede dar como fracción (simplificada), decimal o porcentaje: $\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\ \%$ .

¡Ojo! La regla de Laplace solo sirve si los resultados son equiprobables (dados y monedas bien hechos, bolas iguales, sectores iguales…).

Laplace y la frecuencia relativa

La probabilidad que da la regla de Laplace es el número en el que se estabiliza la frecuencia relativa cuando el experimento se repite muchas veces. Al lanzar un dado, $P(5) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$ : si lo lanzas 600 veces, el 5 saldrá unas $600 \cdot \dfrac{1}{6} = 100$ veces (no exactamente 100).

Si los resultados no son igual de probables (una chincheta, una ruleta con sectores de distinto tamaño…), no se puede usar la regla tal cual: o se divide en partes iguales, o se estima la probabilidad con la frecuencia relativa de muchas pruebas.

Puntos clave

Regla de Laplace: $P(A) = \dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$ , si los resultados son equiprobables.
$0 \le P(A) \le 1$ ; imposible: 0; seguro: 1.
Se puede expresar como fracción, decimal o porcentaje.
Cuenta objetos (bolas, sectores iguales, caras), no colores ni tipos.
Laplace da el valor en el que se estabiliza la frecuencia relativa: en $N$ pruebas, el suceso ocurre unas $P(A) \cdot N$ veces.

Errores frecuentes

ErrorDar una probabilidad mayor que 1 (por ejemplo, poner los casos posibles en el numerador).
Cómo corregirloLos favorables son una parte de los posibles: el numerador nunca es mayor que el denominador.
ErrorUsar como casos posibles los colores y no las bolas (3 colores → $P(\text{roja}) = \frac{1}{3}$ ).
Cómo corregirloCuenta bolas, no colores: cada bola es un caso posible. Si hay 8 rojas de 20, $P(\text{roja}) = \frac{8}{20}$ .
ErrorUsar la regla de Laplace con sectores de distinto tamaño (una ruleta con medio círculo rojo y dos cuartos de otros colores → $P(\text{rojo}) = \frac{1}{3}$ ).
Cómo corregirloDivide la ruleta en partes iguales (aquí, 4 cuartos: 2 rojos, 1 azul y 1 verde) y cuenta esas partes: $P(\text{rojo}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Bolas de colores numérico (fracción, decimal y porcentaje)
En una bolsa hay 20 bolas iguales: 8 rojas, 7 azules y 5 verdes. Se saca una sin mirar. Calcula, en fracción, decimal y porcentaje: a) $P(\text{roja})$ ; b) $P(\text{azul})$ ; c) $P(\text{verde})$ ; d) $P(\text{blanca})$ ; e) $P(\text{roja, azul o verde})$ .

Resolución
Casos posibles: 20 bolas. a) $P(\text{roja}) = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 = 40\ \%$ . b) $P(\text{azul}) = \dfrac{7}{20} = 0{,}35 = 35\ \%$ . c) $P(\text{verde}) = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\ \%$ . d) No hay bolas blancas: suceso imposible, $P = 0$ . e) Todas las bolas lo cumplen: suceso seguro, $P = \dfrac{20}{20} = 1 = 100\ \%$ .

Fíjate: $0{,}4 + 0{,}35 + 0{,}25 = 1$ .
Ejemplo 2. Una ruleta de ocho sectores gráfico (ruleta)
Una ruleta tiene 8 sectores iguales numerados del 1 al 8. Calcula la probabilidad de: a) sacar un múltiplo de 3; b) sacar un número mayor que 5. Sitúa los dos sucesos en la escala de probabilidad.

Resolución
Casos posibles: 8. a) Múltiplos de 3: $\{3, 6\}$ → $P = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ (poco probable). b) Mayores que 5: $\{6, 7, 8\}$ → $P = \dfrac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\ \%$ (algo menos que 0,5).

En la escala: $0 < 0{,}25 < 0{,}375 < 0{,}5$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Se lanza un dado de 12 caras numeradas del 1 al 12. Calcula: a) $P(7)$ ; b) $P(\text{múltiplo de 3})$ ; c) $P(\text{mayor que } 8)$ ; d) $P(13)$ .

Ver solución
a) 1/12. b) 1/3. c) 1/3. d) 0.
Casos posibles: 12. a) $\dfrac{1}{12}$ . b) $\{3, 6, 9, 12\}$ : $\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ . c) $\{9, 10, 11, 12\}$ : $\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ . d) Imposible: $0$ .
2. Media
Para sortear un viaje entre los socios de un club de lectura se meten en un bombo bolas con los números del 1 al 50. Calcula, en fracción y en porcentaje, la probabilidad de que salga: a) un número acabado en 7; b) un número de dos cifras; c) un múltiplo de 10.

Ver solución
a) 1/10 = 10 %. b) 41/50 = 82 %. c) 1/10 = 10 %.
Casos posibles: 50. a) 7, 17, 27, 37, 47: $\dfrac{5}{50} = \dfrac{1}{10} = 10\ \%$ . b) Del 10 al 50 hay $50 - 9 = 41$ números: $\dfrac{41}{50} = 0{,}82 = 82\ \%$ . c) 10, 20, 30, 40, 50: $\dfrac{5}{50} = \dfrac{1}{10} = 10\ \%$ .
3. Media
Calcula la probabilidad de cada suceso y ordénalos de menos a más probable: $A$ : sacar un 5 al lanzar un dado. $B$ : sacar cara al lanzar una moneda. $C$ : sacar un número menor que 7 al lanzar un dado. $D$ : sacar una bola roja de una bolsa con 3 bolas rojas y 1 azul. $F$ : sacar un 0 al lanzar un dado.

Ver solución
P(F) = 0 < P(A) = 1/6 < P(B) = 0,5 < P(D) = 0,75 < P(C) = 1.
$P(A) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$ ; $P(B) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ ; $P(C) = 1$ (seguro); $P(D) = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ ; $P(F) = 0$ (imposible). Orden: $F,\ A,\ B,\ D,\ C$ .

Para practicar más

1. Fácil
En una bolsa hay 20 gominolas iguales: 6 de fresa, 4 de limón y 10 de cola. Se coge una sin mirar. Calcula la probabilidad de cada sabor en fracción, decimal y porcentaje.

Ver solución
Fresa: 3/10 = 0,3 = 30 %. Limón: 1/5 = 0,2 = 20 %. Cola: 1/2 = 0,5 = 50 %.
$P(\text{fresa}) = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$ ; $P(\text{limón}) = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ ; $P(\text{cola}) = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$ . Suman 1. ✔
2. Media
Se escribe cada letra de la palabra PROBABILIDAD en una tarjeta (12 tarjetas) y se saca una al azar. Calcula: a) $P(\text{vocal})$ ; b) $P(\text{B})$ ; c) $P(\text{R})$ ; d) $P(\text{Z})$ .

Ver solución
a) 5/12. b) 1/6. c) 1/12. d) 0.
Casos posibles: 12 tarjetas (P, R, O, B, A, B, I, L, I, D, A, D). a) Vocales: O, A, I, I, A → $\dfrac{5}{12}$ . b) Hay 2 B: $\dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$ . c) Una R: $\dfrac{1}{12}$ . d) No hay Z: $0$ . Las tarjetas son equiprobables; las letras no (la B es más probable que la R).