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Matemáticas 3.º ESO · Experimentos aleatorios. Espacio muestral y sucesos

Recuerda: experimentos aleatorios y espacio muestral

Objetivo: Al terminar, sabrás distinguir experimentos aleatorios y deterministas, escribir el espacio muestral de experimentos sencillos y describir sucesos con palabras y con conjuntos.

Recuerda

Experimentos deterministas y aleatorios

Un experimento es determinista si se puede saber el resultado antes de hacerlo: soltar una piedra (cae), calcular el precio de 2 kg de manzanas a 3 €/kg (6 €).
Un experimento es aleatorio si no se puede predecir el resultado, aunque se repita en las mismas condiciones: lanzar un dado, sacar una bola de una bolsa sin mirar, el número que ganará un sorteo.

Espacio muestral y sucesos

El espacio muestral, $E$ , es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se escribe entre llaves. Al lanzar un dado: $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .
Un suceso es cualquier parte (subconjunto) del espacio muestral. Se nombra con una letra mayúscula y se puede describir con palabras o con un conjunto: $A = \text{«sacar par»} = \{2, 4, 6\}$
Un suceso ocurre si el resultado del experimento es uno de sus elementos. Si sale un 4, ocurre $A$ ; si sale un 3, no.
Cuidado: el espacio muestral depende de lo que observamos. Si en una bolsa hay 3 bolas rojas y 2 azules y miramos el color, $E = \{\text{roja}, \text{azul}\}$ : cada resultado se escribe una sola vez.

Seguro, posible o imposible

Suceso seguro: ocurre siempre, salga lo que salga. Contiene todos los resultados: es el propio $E$ . Al lanzar un dado, «sacar un número menor que 7».
Suceso imposible: no ocurre nunca. No tiene ningún resultado: se escribe $\varnothing$ (conjunto vacío). Al lanzar un dado, «sacar un 8».
Suceso posible: puede ocurrir o no. Si tiene un solo resultado se llama suceso elemental ( $\{3\}$ = «sacar un 3»).

Cuando hay dos pasos (lanzar dos monedas, una moneda y un dado…), un diagrama de árbol ayuda a escribir todos los resultados sin olvidar ninguno.

Puntos clave

Aleatorio: no se puede predecir el resultado. Determinista: sí se puede.
El espacio muestral $E$ es el conjunto de todos los resultados posibles.
Un suceso es una parte de $E$ ; se describe con palabras o con un conjunto entre llaves.
En el espacio muestral cada resultado se escribe una sola vez.
El espacio muestral depende de lo que se observa (número, color…).
Suceso seguro: ocurre siempre ( $E$ ). Suceso imposible: no ocurre nunca ( $\varnothing$ ). Suceso elemental: un solo resultado.

Errores frecuentes

ErrorEscribir resultados repetidos en el espacio muestral (por ejemplo, la letra D dos veces al elegir una letra de MADRID).
Cómo corregirlo $E$ es un conjunto: cada resultado posible aparece una sola vez, aunque haya varias formas de obtenerlo.
ErrorPensar que un experimento es aleatorio solo porque nosotros no sabemos hacer el cálculo.
Cómo corregirloSi con los datos y las leyes adecuadas se puede predecir el resultado, es determinista.
ErrorEscribir un resultado por cada bola cuando lo que se mira es el color (por ejemplo, poner «roja» cinco veces si hay cinco bolas rojas).
Cómo corregirloPregúntate qué se anota en cada prueba. Si se anota el color, el espacio muestral tiene un elemento por cada color distinto.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Se puede predecir? situación real (clasificar y escribir el espacio muestral)
Di si cada experimento es aleatorio o determinista. En los aleatorios, escribe el espacio muestral. a) Sacar sin mirar una bola de un bombo con bolas numeradas del 1 al 10. b) Medir cuánto tarda en llegar al suelo una pelota que se suelta desde 2 m de altura. c) Elegir al azar una letra de la palabra MADRID. d) Calcular cuánto cuestan 3 abonos de transporte de 20 € cada uno.

Resolución
a) Aleatorio. $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ . b) Determinista: con las leyes de la física se puede calcular el tiempo antes de soltarla. c) Aleatorio. $E = \{\text{M}, \text{A}, \text{D}, \text{R}, \text{I}\}$ . La D aparece dos veces en la palabra, pero en $E$ se escribe una sola vez: hay 5 resultados posibles. d) Determinista: $3 \cdot 20 = 60$ €.

En c), el suceso «sacar una vocal» es $\{\text{A}, \text{I}\}$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Clasifica en aleatorios o deterministas. Escribe el espacio muestral de los aleatorios. a) Lanzar una moneda. b) La hora a la que se pondrá el sol en Madrid el próximo 1 de junio. c) El resultado del próximo partido entre el Real Madrid y el Atlético de Madrid. d) Lo que pagas por 2 entradas de cine de 7 € cada una.

Ver solución
a) Aleatorio, E = {cara, cruz}. b) Determinista. c) Aleatorio, E = {gana el Real Madrid, empate, gana el Atlético}. d) Determinista.
a) Aleatorio: $E = \{\text{cara}, \text{cruz}\}$ . b) Determinista: se calcula con astronomía (viene en los calendarios). c) Aleatorio: $E$ = {gana el Real Madrid, empate, gana el Atlético}. (Son resultados posibles, aunque no tienen por qué ser igual de probables.) d) Determinista: $2 \cdot 7 = 14$ €.
2. Media
Escribe el espacio muestral de cada experimento y, con un conjunto, el suceso indicado. a) Elegir al azar un día de la semana. Suceso: «que sea fin de semana». b) Sacar una tarjeta de una caja con los números del 1 al 12. Sucesos: «sacar un número primo» y «sacar un múltiplo de 4».

Ver solución
a) E = {lunes, …, domingo}; {sábado, domingo}. b) E = {1, 2, …, 12}; primos {2, 3, 5, 7, 11}; múltiplos de 4 {4, 8, 12}.
a) $E = \{\text{lunes}, \text{martes}, \text{miércoles}, \text{jueves}, \text{viernes}, \text{sábado}, \text{domingo}\}$ . Fin de semana: $\{\text{sábado}, \text{domingo}\}$ . b) $E = \{1, 2, 3, \ldots, 12\}$ . Primos: $\{2, 3, 5, 7, 11\}$ (el 1 no es primo). Múltiplos de 4: $\{4, 8, 12\}$ .

Para practicar más

1. Fácil
Di si es aleatorio o determinista y, si es aleatorio, escribe su espacio muestral: a) Lanzar un dado de 8 caras numeradas del 1 al 8. b) Echar aceite en un vaso de agua y ver si queda encima. c) Preguntar a un alumno elegido al azar en qué mes nació.

Ver solución
a) Aleatorio, E = {1, 2, …, 8}. b) Determinista. c) Aleatorio, E = {enero, febrero, …, diciembre}.
a) Aleatorio: $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ . b) Determinista: el aceite es menos denso y siempre queda encima. c) Aleatorio: $E$ = {enero, febrero, marzo, …, diciembre} (12 resultados).
2. Media
Se gira una ruleta con 10 sectores iguales numerados del 1 al 10. a) Escribe como conjunto: $A$ = «sacar un número mayor que 6», $B$ = «sacar un múltiplo de 3», $C$ = «sacar un número de dos cifras». b) Describe con palabras: $D = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ y $F = \{1, 4, 9\}$ .

Ver solución
a) A = {7, 8, 9, 10}; B = {3, 6, 9}; C = {10}. b) D: sacar impar; F: sacar un cuadrado perfecto.
a) $A = \{7, 8, 9, 10\}$ ; $B = \{3, 6, 9\}$ ; $C = \{10\}$ . b) $D$ = «sacar un número impar». $F$ = «sacar un cuadrado perfecto» ( $1 = 1^2$ , $4 = 2^2$ , $9 = 3^2$ ).