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Matemáticas 3.º ESO · Experimentos aleatorios. Espacio muestral y sucesos

Recuerda: tipos de sucesos

Objetivo: Al terminar, sabrás reconocer sucesos elementales, compuestos, seguros e imposibles y escribir el suceso contrario, con dados, urnas y la baraja española.

Recuerda

Tipos de sucesos

Tipo	Qué es	Ejemplo con un dado, $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
Elemental	Tiene un solo resultado	«sacar un 3» $= \{3\}$
Compuesto	Tiene más de un resultado	«sacar par» $= \{2, 4, 6\}$
Seguro	Ocurre siempre: es todo $E$	«sacar menos de 10» $= E$
Imposible	No ocurre nunca; se escribe $\varnothing$	«sacar un 8» $= \varnothing$

Suceso contrario

El contrario de un suceso $A$ se escribe $\overline{A}$ y ocurre cuando no ocurre $A$ . Está formado por los resultados de $E$ que no están en $A$ : $A = \text{«sacar más de 4»} = \{5, 6\} \qquad \overline{A} = \text{«sacar 4 o menos»} = \{1, 2, 3, 4\}$

$A$ y $\overline{A}$ juntos forman todo $E$ y no tienen ningún resultado en común.
El contrario del suceso seguro es el imposible, y al revés.

La baraja española

Tiene 40 cartas repartidas en 4 palos: oros, copas, espadas y bastos. Cada palo tiene 10 cartas: as (1), 2, 3, 4, 5, 6, 7, sota, caballo y rey. La sota, el caballo y el rey son las figuras (hay $4 \cdot 3 = 12$ ). No hay ni 8 ni 9.

Lo que se anota decide el espacio muestral

En un mismo experimento, el espacio muestral depende de qué resultado se anota. En una bolsa hay 5 bolas numeradas del 1 al 5: las bolas 1, 2 y 3 son rojas y las bolas 4 y 5, azules. Se saca una:

Si se anota el color: $E = \{\text{roja}, \text{azul}\}$ y «sacar roja» $= \{\text{roja}\}$ es elemental.
Si se anota el número: $E = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ y «sacar roja» $= \{1, 2, 3\}$ es compuesto.

Cómo encontrar el suceso contrario

Escribe el espacio muestral $E$ .
Escribe el suceso $A$ como conjunto.
$\overline{A}$ está formado por los resultados de $E$ que faltan en $A$ .
Comprueba: n.º de resultados de $A$ + n.º de resultados de $\overline{A}$ = n.º de resultados de $E$ .

Con palabras, el contrario se obtiene negando el suceso: el contrario de «sacar más de 4» es «no sacar más de 4», es decir, «sacar 4 o menos»; el contrario de «sacar al menos 5» es «sacar menos de 5». El contrario de $\overline{A}$ vuelve a ser $A$ .

Puntos clave

Elemental: un solo resultado. Compuesto: más de uno.
Seguro: siempre ocurre ( $E$ ). Imposible: nunca ocurre ( $\varnothing$ ).
El contrario $\overline{A}$ está formado por los resultados de $E$ que no están en $A$ .
Baraja española: 40 cartas, 4 palos de 10 cartas (1 al 7, sota, caballo, rey); 12 figuras.
El espacio muestral depende de lo que se anota (número, color, premio…).
Comprueba siempre: resultados de $A$ + resultados de $\overline{A}$ = resultados de $E$ .

Errores frecuentes

ErrorDecir que el contrario de «sacar más de 4» es «sacar menos de 4».
Cómo corregirloFalta el 4. El contrario de «más de 4» es «4 o menos». Comprueba que entre $A$ y $\overline{A}$ están todos los resultados de $E$ .
ErrorConfundir un suceso imposible con uno poco probable.
Cómo corregirloImposible significa que nunca puede ocurrir (sacar un 8 de la baraja española). Que toque la lotería es poco probable, pero no imposible.
ErrorPensar que el contrario de «sacar un 1» es «sacar un 6» (lo «opuesto» en el dado).
Cómo corregirloEl contrario es «no sacar un 1»: $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ , todos los resultados que no están en el suceso.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una bolsa con bolas numeradas numérico (clasificar sucesos)
En una bolsa hay 9 bolas numeradas del 1 al 9 y se saca una sin mirar. Clasifica estos sucesos y escribe el contrario del último: $A$ = «sacar un número de una cifra»; $B$ = «sacar un 10»; $C$ = «sacar el 5»; $D$ = «sacar un múltiplo de 3».

Resolución
$E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ .
- $A = E$ : seguro (todas las bolas tienen una cifra).
- $B = \varnothing$ : imposible.
- $C = \{5\}$ : elemental.
- $D = \{3, 6, 9\}$ : compuesto. Su contrario es $\overline{D}$ = «no sacar múltiplo de 3» $= \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}$ .
Ejemplo 2. Sucesos con la baraja española situación real (baraja)
Se saca una carta de una baraja española (40 cartas: oros, copas, espadas y bastos; en cada palo, del as al 7, sota, caballo y rey). Clasifica los sucesos, di cuántas cartas tiene cada uno y describe su contrario: $A$ = «sacar una figura»; $B$ = «sacar un 8»; $C$ = «sacar el rey de oros»; $D$ = «sacar un oro».

Resolución
- $A$ : compuesto, 12 cartas (sota, caballo y rey de los 4 palos). $\overline{A}$ = «sacar un número del as al 7»: 28 cartas.
- $B$ : imposible (la baraja española no tiene 8). $\overline{B}$ es el suceso seguro: 40 cartas.
- $C$ : elemental, 1 carta. $\overline{C}$ = «sacar cualquier carta menos el rey de oros»: 39 cartas.
- $D$ : compuesto, 10 cartas. $\overline{D}$ = «sacar copas, espadas o bastos»: 30 cartas.
Fíjate en que siempre: cartas de un suceso + cartas de su contrario = 40.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Se lanza un dado de 6 caras. Di si cada suceso es elemental, compuesto, seguro o imposible: $A$ = «sacar un 7»; $B$ = «sacar menos de 7»; $C$ = «sacar un 4»; $D$ = «sacar un número primo».

Ver solución
A imposible; B seguro; C elemental; D compuesto.
$A = \varnothing$ (imposible); $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = E$ (seguro); $C = \{4\}$ (elemental); $D = \{2, 3, 5\}$ (compuesto).
2. Media
Al lanzar un dado de 6 caras, escribe con palabras y con un conjunto el contrario de: a) $A$ = «sacar par». b) $B$ = «sacar menos de 3». c) $C$ = «sacar 2 o más».

Ver solución
a) Sacar impar, {1, 3, 5}. b) Sacar 3 o más, {3, 4, 5, 6}. c) Sacar un 1, {1}.
a) $\overline{A}$ = «sacar impar» $= \{1, 3, 5\}$ . b) $B = \{1, 2\}$ → $\overline{B}$ = «sacar 3 o más» $= \{3, 4, 5, 6\}$ . c) $C = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ → $\overline{C}$ = «sacar un 1» $= \{1\}$ .
3. Media
Se saca una carta de una baraja española (40 cartas, 4 palos; en cada palo: as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sota, caballo y rey). ¿Cuántas cartas tiene cada suceso y cuántas su contrario? ¿Alguno es elemental? $A$ = «sacar una copa»; $B$ = «sacar un as, un 2 o un 3»; $C$ = «sacar el caballo de bastos».

Ver solución
A: 10 y 30. B: 12 y 28. C: 1 y 39; C es elemental.
$A$ : 10 copas; $\overline{A}$ : $40 - 10 = 30$ . $B$ : 3 cartas por palo, $3 \cdot 4 = 12$ ; $\overline{B}$ : $40 - 12 = 28$ . $C$ : 1 carta (elemental); $\overline{C}$ : 39.

Para practicar más

1. Fácil
Se elige al azar un mes del año. Clasifica los sucesos: $A$ = «que tenga 32 días»; $B$ = «que tenga al menos 28 días»; $C$ = «que sea diciembre»; $D$ = «que su nombre empiece por J». Escribe el contrario de $D$ .

Ver solución
A imposible; B seguro; C elemental; D compuesto; contrario de D: los otros 10 meses.
$A = \varnothing$ (ningún mes tiene 32 días); $B = E$ (todos tienen 28 días o más); $C = \{\text{diciembre}\}$ (elemental); $D = \{\text{junio}, \text{julio}\}$ (compuesto). $\overline{D}$ = «que su nombre no empiece por J» = {enero, febrero, marzo, abril, mayo, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre}.
2. Media
En una bolsa hay bolas rojas, azules y verdes (varias de cada color). Se saca una y se mira su color. a) Escribe el espacio muestral. b) ¿Es elemental el suceso $A$ = «sacar una bola roja»? Escribe $\overline{A}$ . c) Pon un ejemplo de suceso seguro y otro de suceso imposible.

Ver solución
a) E = {roja, azul, verde}. b) Sí; contrario: {azul, verde}. c) Por ejemplo: «sacar una bola de color» (seguro), «sacar una bola blanca» (imposible).
a) Lo que se observa es el color: $E = \{\text{roja}, \text{azul}, \text{verde}\}$ . b) Sí, $A = \{\text{roja}\}$ es elemental (aunque haya varias bolas rojas). $\overline{A} = \{\text{azul}, \text{verde}\}$ . c) Seguro: «sacar una bola roja, azul o verde». Imposible: «sacar una bola blanca».
3. Media
Se saca una carta de una baraja española (40 cartas, 4 palos; en cada palo, del as al 7, sota, caballo y rey). Describe con palabras el contrario de cada suceso y di cuántas cartas tiene: a) $A$ = «sacar una carta que no sea de bastos». b) $B$ = «sacar una figura de oros».

Ver solución
a) Sacar bastos: 10 cartas. b) No sacar una figura de oros: 37 cartas.
a) $\overline{A}$ = «sacar un basto»: 10 cartas. b) $B$ tiene 3 cartas (sota, caballo y rey de oros). $\overline{B}$ = «sacar cualquier carta que no sea figura de oros»: los 7 números de oros y las 30 cartas de los otros palos, $7 + 30 = 37 = 40 - 3$ .