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Matemáticas 3.º ESO · Diagramas de árbol y técnicas de recuento

Recuento por casos y con restricciones

Objetivo: Al terminar, sabrás separar un recuento en casos (principio de adición), combinarlo con el principio de multiplicación y contar con condiciones usando árboles podados y casillas.

Explicación

Principio de adición

A veces los resultados se pueden separar en casos que no se solapan (ningún resultado está en dos casos a la vez). Entonces:

$\text{total} = \text{resultados del caso 1} + \text{resultados del caso 2} + \ldots$

Por ejemplo, para ir de Madrid a Toledo puedes coger uno de 3 trenes o uno de 5 autobuses: hay $3 + 5 = 8$ formas de viajar. Se suma porque eliges un tren o un autobús.

Sumar o multiplicar

Elegir una cosa y otra (por etapas) → se multiplica.
Elegir una cosa o otra (casos separados) → se suma.

Muchas veces se combinan: separamos en casos, en cada caso multiplicamos y al final sumamos.

Recuentos con condiciones: árboles podados

Cuando hay condiciones (no repetir, no empezar por 0, que el número sea par…), en el árbol se eliminan las ramas que no cumplen la condición. El árbol queda «podado» y ya no todas las ramas tienen el mismo número de hijos.

Para contar sin dibujarlo todo:

Dibuja una casilla por etapa: $\square\ \square\ \square$
Empieza por la casilla con la condición (la más exigente) y escribe cuántas opciones tiene.
Rellena las demás teniendo en cuenta lo ya usado y multiplica.
Si la condición depende de lo que pase en otra casilla, separa en casos y suma.

Ejemplo: números de dos cifras distintas formados con 0, 1, 2. La decena no puede ser 0 (2 opciones) y la unidad, cualquiera de las otras 2: $2 \cdot 2 = 4$ (10, 12, 20 y 21).

Puntos clave

Casos separados («o») → se suman. Etapas sucesivas («y») → se multiplican.
En un árbol podado se eliminan las ramas que no cumplen la condición.
Empieza a contar por la etapa (casilla) que tiene la condición.
Un número de varias cifras no puede empezar por 0.
Si una condición depende de otra casilla (por ejemplo, terminar en 0), separa en casos y suma.

Errores frecuentes

ErrorEmpezar por la primera casilla sin mirar las condiciones y llegar a una etapa sin saber cuántas opciones quedan.
Cómo corregirloRellena primero la casilla con la condición (la última cifra si tiene que ser par, la primera si no puede ser 0).
ErrorContar como números válidos los que empiezan por 0 (como 012).
Cómo corregirlo012 es en realidad el 12, que tiene dos cifras. La primera cifra de un número de tres cifras va del 1 al 9.
ErrorMultiplicar cuando hay que sumar: «3 trenes o 5 autobuses» = 15.
Cómo corregirloSi eliges una opción o la otra, no se combinan entre sí: se suman, $3 + 5 = 8$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La excursión de fin de curso situación real (principio de adición)
La clase vota la excursión de fin de curso. Si va a la sierra, puede elegir entre Navacerrada, La Pedriza o Rascafría, y en cualquiera de ellas hacer senderismo o una ruta en bici. Si va a un parque, puede ser el Parque de Atracciones o Faunia (en este caso no hay que elegir actividad). ¿Cuántos planes distintos hay?

Resolución
Separamos en dos casos que no se solapan:
- Sierra: lugar y actividad (dos etapas) → $3 \cdot 2 = 6$ planes.
- Parque: 2 planes.
Total: $6 + 2 = 8$ planes.

En el árbol, de la rama «Sierra» salen 3 ramas y de cada una, 2; de la rama «Parque» salen 2 ramas que ya terminan. No todas las ramas tienen el mismo número de hijos, por eso no se puede multiplicar todo directamente.
Ejemplo 2. Números con cifras distintas numérico (casillas y casos)
Con las cifras 0, 1, 2 y 3, sin repetir ninguna: a) ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar? b) ¿Cuántos de ellos son pares?

Resolución
a) Casillas: centenas, decenas, unidades. Empezamos por la condición: la centena no puede ser 0 → 3 opciones (1, 2, 3). La decena: cualquiera de las 3 cifras que quedan (ahora sí vale el 0). La unidad: las 2 que quedan. $3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\ \text{números}$ b) Par significa que la unidad es 0 o 2. La centena depende de si el 0 ya se ha usado, así que separamos en casos:
- Termina en 0: centena 1, 2 o 3 (3 opciones); decena, una de las 2 que quedan. $3 \cdot 2 = 6$ .
- Termina en 2: centena 1 o 3 (ni 0 ni 2: 2 opciones); decena, una de las 2 que quedan. $2 \cdot 2 = 4$ .
Total de pares: $6 + 4 = 10$ .

Comprobación (los 10 pares): 120, 130, 210, 230, 310, 320, 102, 132, 302, 312.
Ejemplo 3. Un partido de pádel al mejor de tres sets gráfico (árbol podado)
Un partido de pádel se juega al mejor de tres sets: gana la pareja que gana antes 2 sets, y entonces el partido se acaba. Dibuja el diagrama de árbol desde el punto de vista de la pareja A (G = gana el set, P = pierde el set) y escribe todos los desarrollos posibles del partido.

Resolución
En cuanto una pareja lleva 2 sets ganados, esa rama se termina (se «poda»):
- G
  - G → GG (gana A, 2-0)
  - P
    - G → GPG (gana A, 2-1)
    - P → GPP (gana B, 1-2)
- P
  - G
    - G → PGG (gana A, 2-1)
    - P → PGP (gana B, 1-2)
  - P → PP (gana B, 0-2)
Hay 6 desarrollos posibles, y no $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ , porque las ramas GG y PP se cortan en el segundo set. A gana en 3 de ellos.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En la biblioteca del barrio hay 12 novelas de aventuras, 8 de misterio y 5 cómics que te interesan. a) Si te llevas un solo libro, ¿cuántas opciones tienes? b) Si te llevas una novela (de aventuras o de misterio) y un cómic, ¿cuántas opciones tienes?

Ver solución
a) 25 opciones. b) 100 opciones.
a) Un libro de un tipo o de otro: $12 + 8 + 5 = 25$ . b) Primero la novela: $12 + 8 = 20$ opciones; y después el cómic, 5: $20 \cdot 5 = 100$ .
2. Media
Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5, sin repetir: a) ¿cuántos números de tres cifras se pueden formar? b) ¿Cuántos son mayores que 300?

Ver solución
a) 60. b) 36.
a) $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ . b) La centena tiene que ser 3, 4 o 5 (3 opciones); después quedan 4 y 3 cifras: $3 \cdot 4 \cdot 3 = 36$ .
3. Media
Las claves de un juego de mesa electrónico tienen 2 o 3 caracteres, y cada carácter es una vocal (a, e, i, o, u), que se puede repetir. ¿Cuántas claves distintas hay?

Ver solución
150 claves.
Casos: 2 caracteres → $5 \cdot 5 = 25$ ; 3 caracteres → $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ . Total: $25 + 125 = 150$ .
4. Difícil
¿Cuántos números de cuatro cifras (del 1000 al 9999) tienen las cuatro cifras distintas?

Ver solución
4536 números.
Empezamos por la condición: la primera cifra no puede ser 0 → 9 opciones. Segunda: cualquiera de las 10 menos la usada → 9 (ahora sí vale el 0). Tercera: 8. Cuarta: 7. $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$

Para practicar más

1. Fácil
En el comedor del instituto, de primero puedes elegir pasta (3 tipos) o arroz (2 tipos), y de postre, fruta (4 tipos) o yogur (2 sabores). ¿Cuántas comidas distintas (primero y postre) puedes elegir?

Ver solución
30 comidas.
Primeros: $3 + 2 = 5$ (sumamos: pasta o arroz). Postres: $4 + 2 = 6$ . Comida: primero y postre → $5 \cdot 6 = 30$ .
2. Media
Se quiere diseñar una bandera de tres franjas horizontales usando 4 colores: rojo, amarillo, verde y azul. a) ¿Cuántas banderas hay si las tres franjas tienen que ser de colores distintos? b) ¿Y si un color se puede repetir, pero dos franjas seguidas no pueden ser del mismo color?

Ver solución
a) 24. b) 36.
a) $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ . b) Franja de arriba: 4 colores. Franja del medio: distinta de la de arriba → 3. Franja de abajo: distinta de la del medio (puede repetir la de arriba) → 3. $4 \cdot 3 \cdot 3 = 36$ .
3. Media
En una caseta de las fiestas de San Isidro, lanzas aros a una botella hasta que aciertas, con un máximo de 3 aros. Dibuja el diagrama de árbol (A = acierta, F = falla) y escribe todos los desarrollos posibles. ¿Cuántos son?
Ver solución
4 desarrollos: A, FA, FFA, FFF.
Si aciertas, se acaba (la rama se poda):
- A → A
- F
  
  A → FA
  
  F
  
  A → FFA
  
  F → FFF
Hay 4 desarrollos.
4. Difícil
Con las cifras 0, 1, 2, 3, 4 y 5, sin repetir, ¿cuántos números de tres cifras son múltiplos de 5?
Ver solución
36 números.
Un múltiplo de 5 termina en 0 o en 5. Separamos en casos:
- Termina en 0: centena, cualquiera de 1, 2, 3, 4, 5 (5 opciones); decena, una de las 4 que quedan. $5 \cdot 4 = 20$ .
- Termina en 5: centena, ni 0 ni 5 (4 opciones); decena, una de las 4 que quedan (ya vale el 0). $4 \cdot 4 = 16$ .
Total: $20 + 16 = 36$ .