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Matemáticas 3.º ESO · Frecuencia relativa y regla de Laplace

Recuerda: suceso contrario y la baraja española

Objetivo: Al terminar, sabrás usar la probabilidad del suceso contrario, aplicar la regla de Laplace con la baraja española y comparar probabilidades para tomar decisiones.

Recuerda

Probabilidad del suceso contrario

Un suceso $A$ y su contrario $\overline{A}$ se reparten todos los casos posibles, así que sus probabilidades suman 1:

$P(A) + P(\overline{A}) = 1 \qquad\Longrightarrow\qquad P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Es muy útil cuando el contrario es más fácil de contar: la probabilidad de no sacar un 6 con un dado es $1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$ .

La baraja española

Tiene 40 cartas y 4 palos (oros, copas, espadas y bastos). Cada palo tiene as (1), 2, 3, 4, 5, 6, 7, sota, caballo y rey. Las figuras son la sota, el caballo y el rey: $3 \cdot 4 = 12$ figuras. No hay 8 ni 9.

Para usar la regla de Laplace con la baraja, cuenta cuántas cartas cumplen la condición:

Un palo: 10 cartas. Un número o una figura concreta (por ejemplo, los reyes): 4 cartas. Una carta concreta (el as de copas): 1 carta.

Comparar probabilidades para decidir

Para saber qué opción es más favorable, calcula las probabilidades y pásalas a decimal (o a fracciones con el mismo denominador) para compararlas. No basta con mirar quién tiene más casos favorables.

Pasos para resolver un problema con la regla de Laplace

Describe el experimento y comprueba que los resultados son igual de probables.
Cuenta los casos posibles.
Cuenta los casos favorables. Si es más fácil, cuenta los del contrario y usa $P(A) = 1 - P(\overline{A})$ .
Simplifica la fracción y, si te lo piden, pásala a decimal o a porcentaje.
Comprueba que el resultado está entre 0 y 1.

Probabilidades con una tabla de datos

Si se elige al azar una persona de un grupo, todas tienen la misma probabilidad de ser elegidas: los casos posibles son las personas del grupo y los favorables, las que cumplen la condición. Los números se leen en la tabla (filas, columnas y totales).

Puntos clave

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ .
Usa el contrario cuando sea más fácil de contar.
Baraja española: 40 cartas, 4 palos de 10; 12 figuras (sota, caballo, rey).
Para comparar probabilidades, pásalas a decimal.
Si se elige al azar una persona de un grupo, los casos posibles son todas las personas del grupo.

Errores frecuentes

ErrorPensar que hay más probabilidad donde hay más casos favorables (4 bolas rojas mejor que 3).
Cómo corregirloImporta la proporción: 3 de 8 ( $0{,}375$ ) es más que 4 de 12 ( $\approx 0{,}333$ ).
ErrorContar 13 cartas por palo o incluir los 8 y 9 en la baraja española.
Cómo corregirloCada palo tiene 10 cartas: del as al 7 y tres figuras.
ErrorEn una tabla de doble entrada, dividir entre el total de una fila o columna en lugar de entre el total del grupo.
Cómo corregirloSi se elige a cualquier persona del grupo, los casos posibles son todas las personas: usa el total general de la tabla.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Probabilidades con la baraja situación real (baraja española)
Se saca una carta de una baraja española bien mezclada (40 cartas: oros, copas, espadas y bastos; en cada palo, del as al 7, sota, caballo y rey). Calcula la probabilidad de: a) sacar una espada; b) no sacar una espada; c) sacar un rey; d) no sacar un rey; e) sacar un número menor que 5; f) sacar el as de oros.

Resolución
Casos posibles: 40. a) $P(\text{espada}) = \dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ . b) Contrario: $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$ (comprobación: 30 cartas de otros palos, $\frac{30}{40}$ ). c) 4 reyes: $P(\text{rey}) = \dfrac{4}{40} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$ . d) $1 - 0{,}1 = 0{,}9$ . e) As, 2, 3 y 4 de cada palo: $4 \cdot 4 = 16$ cartas. $P = \dfrac{16}{40} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ . f) Una sola carta: $\dfrac{1}{40} = 0{,}025$ .
Ejemplo 2. ¿Qué bolsa elijo? comparar para decidir
Ganas un premio si sacas una bola roja. Puedes elegir la bolsa A, con 3 bolas rojas y 5 negras, o la bolsa B, con 4 bolas rojas y 8 negras. ¿Cuál te conviene?

Resolución
$P_A(\text{roja}) = \dfrac{3}{3 + 5} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$ . $P_B(\text{roja}) = \dfrac{4}{4 + 8} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333$ . Conviene la bolsa A, aunque tenga menos bolas rojas: lo que cuenta es la proporción de rojas.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Se saca una carta de una baraja española (40 cartas, 4 palos; en cada palo, del as al 7, sota, caballo y rey). Calcula: a) $P(\text{sacar un 5})$ ; b) $P(\text{sacar un caballo o un rey})$ ; c) $P(\text{figura de copas})$ ; d) $P(\text{no sacar un 7})$ .

Ver solución
a) 1/10. b) 1/5. c) 3/40. d) 9/10.
a) $\dfrac{4}{40} = \dfrac{1}{10}$ . b) 4 caballos y 4 reyes: $\dfrac{8}{40} = \dfrac{1}{5}$ . c) Sota, caballo y rey de copas: $\dfrac{3}{40}$ . d) $1 - \dfrac{4}{40} = \dfrac{36}{40} = \dfrac{9}{10}$ .
2. Fácil
Usa el suceso contrario: a) La probabilidad de que llueva mañana en Madrid es 0,35. ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva? b) En el sorteo de la Lotería de Navidad hay 100 000 números y solo uno gana el Gordo. Si juegas un número, ¿cuál es la probabilidad de que no te toque el Gordo? c) ¿Cuál es la probabilidad de no sacar un 6 al lanzar un dado?

Ver solución
a) 0,65. b) 99 999/100 000 = 0,99999. c) 5/6.
a) $1 - 0{,}35 = 0{,}65$ . b) $P(\text{Gordo}) = \dfrac{1}{100\,000}$ → $P(\text{no}) = 1 - \dfrac{1}{100\,000} = \dfrac{99\,999}{100\,000} = 0{,}99999$ . c) $1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$ .
3. Media
Ganas si sacas una figura. Puedes sacar una carta de una baraja española (40 cartas, 12 figuras) o de una baraja francesa (52 cartas: 4 palos de 13 cartas, as, del 2 al 10, J, Q y K; las figuras son J, Q y K). ¿Qué baraja te conviene?

Ver solución
La española: 0,3 frente a unos 0,23.
Española: $\dfrac{12}{40} = 0{,}3$ . Francesa: $3 \cdot 4 = 12$ figuras, $\dfrac{12}{52} = \dfrac{3}{13} \approx 0{,}23$ . Conviene la española: tiene las mismas figuras pero menos cartas en total.

Para practicar más

1. Fácil
Se saca una carta de una baraja española (40 cartas, 4 palos; en cada palo, del as al 7, sota, caballo y rey). Calcula: a) $P(\text{sota})$ ; b) $P(\text{no sacar oros})$ ; c) $P(\text{sacar un 2, un 4 o un 6})$ .

Ver solución
a) 1/10. b) 3/4. c) 3/10.
a) $\dfrac{4}{40} = \dfrac{1}{10}$ . b) $1 - \dfrac{10}{40} = \dfrac{3}{4}$ . c) 3 números en cada palo: $\dfrac{12}{40} = \dfrac{3}{10}$ .
2. Media
En una caja hay 30 pilas y algunas están gastadas. Si coges una al azar, la probabilidad de que esté gastada es 0,1. a) ¿Cuántas pilas gastadas hay? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la pila funcione?

Ver solución
a) 3. b) 0,9.
a) $\dfrac{n}{30} = 0{,}1 \Rightarrow n = 3$ pilas gastadas. b) $1 - 0{,}1 = 0{,}9$ (también $\frac{27}{30}$ ).
3. Media
Para el viaje de estudios se hacen dos rifas. En la rifa A se venden 200 papeletas y tú compras 5; en la rifa B se venden 500 papeletas y compras 12. Cada rifa tiene un solo premio. ¿En cuál tienes más probabilidad de ganar?

Ver solución
En la A (0,025 frente a 0,024).
$P_A = \dfrac{5}{200} = 0{,}025$ ; $P_B = \dfrac{12}{500} = 0{,}024$ . Es un poco mayor en la rifa A, aunque en la B tengas más papeletas.