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Matemáticas 3.º ESO · Regla de Laplace en experimentos compuestos

Regla de Laplace en experimentos compuestos y problemas inversos

Objetivo: Al terminar, sabrás aplicar la regla de Laplace en experimentos compuestos sencillos (como la suma de dos dados), detectar falsas equiprobabilidades y resolver problemas inversos con ecuaciones.

Explicación

Laplace en experimentos compuestos

En un experimento compuesto (lanzar dos dados, dos monedas…) los casos posibles son todos los resultados de la tabla o del árbol. Si cada experimento simple tiene resultados equiprobables, también lo son estos resultados compuestos, y podemos usar la regla de Laplace:

$P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

Con dos dados hay $6 \cdot 6 = 36$ casos posibles. Para un suceso, se marcan en la tabla las casillas que lo cumplen y se cuentan.

¡Cuidado con las falsas equiprobabilidades!

Que un experimento tenga $n$ resultados no significa que cada uno tenga probabilidad $\dfrac{1}{n}$ . Al sumar dos dados, las sumas posibles son 2, 3, …, 12 (11 sumas), pero no son igual de probables: la suma 7 sale de 6 formas y la suma 2, de una sola. Antes de aplicar Laplace, comprueba que los casos que cuentas son equiprobables; si no, vuelve a la tabla o al árbol.

Problemas inversos

A veces se conoce la probabilidad y hay que averiguar un dato (cuántas bolas hay, cuántas añadir…). Se plantea la regla de Laplace con una incógnita y se resuelve la ecuación: $\frac{\text{favorables}}{\text{posibles}} = \text{probabilidad dada}$

Puntos clave

En experimentos compuestos, los casos posibles son las casillas de la tabla o los caminos del árbol.
Dos dados: 36 casos posibles equiprobables.
No todos los «resultados» que se pueden describir son equiprobables (las sumas de dos dados no lo son).
Problemas inversos: se plantea la regla de Laplace con una incógnita y se resuelve la ecuación.

Errores frecuentes

ErrorDecir que la probabilidad de sumar 7 con dos dados es $\frac{1}{11}$ porque hay 11 sumas posibles.
Cómo corregirloLas sumas no son equiprobables. Usa las 36 casillas de la tabla: la suma 7 aparece 6 veces, $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .
ErrorAl añadir bolas en un problema inverso, cambiar solo el numerador.
Cómo corregirloSi añades $x$ bolas rojas, aumentan las rojas y el total: $\dfrac{4 + x}{10 + x}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La suma de dos dados tabla de doble entrada
Se lanzan dos dados (uno rojo y otro azul) y se suman los puntos. a) Haz una tabla con todas las sumas. b) Calcula $P(\text{suma } 7)$ , $P(\text{suma } 10 \text{ o más})$ y $P(\text{suma } 2)$ . c) ¿Qué suma es la más probable?

Resolución
a) En cada casilla, la suma:

Rojo \ Azul 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

b) Hay 36 casos posibles equiprobables.
- Suma 7: es la diagonal $(1, 6), (2, 5), \ldots, (6, 1)$ : 6 casillas. $P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ .
- Suma 10 o más: 10 (3 casillas), 11 (2) y 12 (1): $P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ .
- Suma 2: solo $(1, 1)$ . $P = \dfrac{1}{36}$ .
c) La 7, que aparece 6 veces; cuanto más se aleja una suma de 7, menos veces aparece.
Ejemplo 2. ¿Tiene razón Lucía? falsa equiprobabilidad
Lucía dice: «Al lanzar dos monedas puede salir dos caras, dos cruces o una cara y una cruz. Son 3 resultados, así que la probabilidad de sacar una cara y una cruz es $\dfrac{1}{3}$ ». ¿Tiene razón?

Resolución
No. Los tres resultados que dice Lucía no son equiprobables. Si distinguimos las monedas (primera y segunda), los resultados equiprobables son 4: $E = \{\text{CC}, \text{CX}, \text{XC}, \text{XX}\}$ «Una cara y una cruz» ocurre en CX y en XC: $P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \qquad P(\text{dos caras}) = P(\text{dos cruces}) = \frac{1}{4}$ Si lanzamos dos monedas 400 veces, saldrá «una de cada» unas 200 veces, no unas 133.
Ejemplo 3. ¿Cuántas bolas hay que añadir? problema inverso (ecuación)
En una bolsa hay 4 bolas rojas y 6 azules. a) ¿Cuántas bolas rojas hay que añadir para que la probabilidad de sacar roja sea $\dfrac{1}{2}$ ? b) ¿Y para que sea $\dfrac{3}{4}$ ?

Resolución
Ahora $P(\text{roja}) = \dfrac{4}{10}$ . Si añadimos $x$ bolas rojas, hay $4 + x$ rojas y $10 + x$ bolas en total.

a) $\dfrac{4 + x}{10 + x} = \dfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; 2(4 + x) = 10 + x \;\Rightarrow\; 8 + 2x = 10 + x \;\Rightarrow\; x = 2$ . Comprobación: $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$ . ✔ (También se ve sin ecuación: hacen falta tantas rojas como azules.)

b) $\dfrac{4 + x}{10 + x} = \dfrac{3}{4} \;\Rightarrow\; 4(4 + x) = 3(10 + x) \;\Rightarrow\; 16 + 4x = 30 + 3x \;\Rightarrow\; x = 14$ . Comprobación: $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ . ✔

Rojo \ Azul	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Se lanzan dos dados y se suman los puntos. Calcula: a) $P(\text{suma } 5)$ ; b) $P(\text{suma par})$ ; c) $P(\text{suma } 4 \text{ o menos})$ .

Ver solución
a) 1/9. b) 1/2. c) 1/6.
36 casos posibles. a) $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ : $\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$ . b) Sumas pares: $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ casillas (sumas 2, 4, 6, 8, 10, 12): $\dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2}$ . c) Sumas 2, 3 y 4: $1 + 2 + 3 = 6$ casillas: $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ .
2. Media
Se lanzan dos dados y se multiplican los puntos. Haz la tabla de los productos y calcula la probabilidad de que el producto sea par.

Ver solución
3/4.
El producto es impar solo si los dos números son impares: $3 \cdot 3 = 9$ casillas. Pares: $36 - 9 = 27$ . $P(\text{producto par}) = \dfrac{27}{36} = \dfrac{3}{4}$ (o, con el contrario, $1 - \dfrac{9}{36} = \dfrac{3}{4}$ ).
3. Media
En una caja hay 12 bolas, unas blancas y otras negras. La probabilidad de sacar una blanca es $\dfrac{1}{3}$ . a) ¿Cuántas blancas hay? b) ¿Cuántas blancas hay que quitar para que la probabilidad de sacar blanca sea $\dfrac{1}{5}$ ?

Ver solución
a) 4. b) 2.
a) $\dfrac{1}{3} \cdot 12 = 4$ bolas blancas. b) Si quitamos $x$ blancas: $\dfrac{4 - x}{12 - x} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow 20 - 5x = 12 - x \Rightarrow 8 = 4x \Rightarrow x = 2$ . Comprobación: $\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$ . ✔
4. Difícil
Pablo dice: «Al lanzar dos dados puede salir ningún 6, un 6 o dos seises; por tanto, la probabilidad de sacar dos seises es $\dfrac{1}{3}$ ». Explica su error y calcula las probabilidades correctas de los tres sucesos.
Ver solución
Los tres sucesos no son equiprobables. P(ningún 6) = 25/36; P(un 6) = 5/18; P(dos seises) = 1/36.
Esos tres sucesos no son equiprobables. Con la tabla de 36 casillas:
- Dos seises: solo $(6, 6)$ → $\dfrac{1}{36}$ .
- Ningún 6: cada dado del 1 al 5, $5 \cdot 5 = 25$ → $\dfrac{25}{36}$ .
- Un solo 6: $36 - 25 - 1 = 10$ → $\dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$ . Comprobación: $\dfrac{25 + 10 + 1}{36} = 1$ . ✔

Para practicar más

1. Fácil
Se lanzan dos dados y se suman los puntos. Calcula $P(\text{suma } 11)$ y $P(\text{suma } 9)$ .

Ver solución
1/18 y 1/9.
Suma 11: $(5, 6), (6, 5)$ → $\dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}$ . Suma 9: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ → $\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$ .
2. Media
Se lanzan dos dados con forma de tetraedro, con las caras numeradas del 1 al 4, y se suman los números que salen. a) Haz la tabla de sumas. ¿Cuántos casos posibles hay? b) Calcula $P(\text{suma } 5)$ . c) ¿Qué suma es la más probable?

Ver solución
a) 16. b) 1/4. c) La suma 5.
a)

1.º \ 2.º 1 2 3 4

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

$4 \cdot 4 = 16$ casos. b) La suma 5 aparece 4 veces: $\dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$ . c) La 5 (4 veces; las demás, 3 o menos).
3. Media
En una urna hay 6 bolas verdes y algunas negras. La probabilidad de sacar verde es $\dfrac{2}{5}$ . ¿Cuántas bolas negras hay?

Ver solución
9 bolas negras.
Si hay $n$ negras: $\dfrac{6}{6 + n} = \dfrac{2}{5} \Rightarrow 30 = 2(6 + n) \Rightarrow 30 = 12 + 2n \Rightarrow n = 9$ . Comprobación: $\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$ . ✔
4. Difícil
Marta y Jorge lanzan dos dados. Gana Marta si la diferencia entre el número mayor y el menor es 0 o 1; gana Jorge si es 2 o más. ¿Es justo el juego? Justifícalo con una tabla.

Ver solución
No: P(Marta) = 4/9 y P(Jorge) = 5/9.
En la tabla de diferencias (mayor − menor), el 0 aparece 6 veces (dobles) y el 1, 10 veces: $(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), \ldots, (5, 6), (6, 5)$ . $P(\text{Marta}) = \dfrac{16}{36} = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}44$ ; $P(\text{Jorge}) = \dfrac{20}{36} = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}56$ . No es justo: favorece a Jorge.

1.º \ 2.º	1	2	3	4
1	2	3	4	5
2	3	4	5	6
3	4	5	6	7
4	5	6	7	8