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Matemáticas 3.º ESO · Regla de Laplace en experimentos compuestos

Experimentos compuestos: árboles, tablas y regla de Laplace

Objetivo: Al terminar, sabrás obtener el espacio muestral de experimentos compuestos con árboles o tablas y calcular probabilidades con la regla de Laplace.

Explicación

Del recuento a la probabilidad

Para calcular probabilidades en un experimento compuesto seguimos tres pasos:

Escribir el espacio muestral con un diagrama de árbol o una tabla de doble entrada.
Contar los casos posibles (el principio de multiplicación da el total) y comprobar que son equiprobables. Lo son si cada experimento simple tiene resultados equiprobables: monedas, dados, ruletas de sectores iguales, elecciones al azar…
Contar los casos favorables marcándolos en el árbol o en la tabla y aplicar la regla de Laplace.

¿Árbol o tabla?

Tabla de doble entrada	Diagrama de árbol
Solo dos experimentos	Dos, tres o más etapas
Se ven muy bien las casillas que cumplen una condición	Se ve el orden de las etapas
Ejemplo: dos jugadores eligen a la vez	Ejemplo: dos monedas y un dado

«Y» y «o»

« $A$ y $B$ »: tienen que ocurrir las dos cosas (cara y número par).
« $A$ o $B$ »: basta con que ocurra una de las dos (o las dos). Al contar, no cuentes dos veces los resultados que cumplen ambas.

Puntos clave

Pasos: espacio muestral (árbol o tabla), casos posibles, casos favorables, Laplace.
Si cada experimento simple es equiprobable, los resultados compuestos también lo son.
Tabla para dos experimentos; árbol para dos o más etapas.
«y»: se cumplen las dos condiciones; «o»: al menos una. No cuentes dos veces los resultados comunes.

Errores frecuentes

ErrorAl calcular «cara o 6», sumar $6 + 2 = 8$ casos.
Cómo corregirloEl resultado (cara, 6) cumple las dos condiciones y se ha contado dos veces. Son $6 + 2 - 1 = 7$ casos.
ErrorOlvidar ramas al dibujar el árbol de tres etapas.
Cómo corregirloComprueba que el número de caminos coincide con el producto: $2 \cdot 2 \cdot 6 = 24$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una moneda y un dado diagrama de árbol
Se lanza una moneda y después un dado. a) Escribe el espacio muestral con un árbol. b) Calcula la probabilidad de: «cara y número par», «cruz y 6», «cara o 6».

Resolución
a)
- C → C1, C2, C3, C4, C5, C6
- X → X1, X2, X3, X4, X5, X6
$2 \cdot 6 = 12$ resultados equiprobables.

b) «Cara y par»: C2, C4, C6 → $P = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ . «Cruz y 6»: X6 → $P = \dfrac{1}{12}$ . «Cara o 6»: las 6 de cara más X6 (C6 ya está contado) → $P = \dfrac{7}{12}$ .
Ejemplo 2. Piedra, papel o tijera tabla de doble entrada (juego)
Ana y Bruno juegan a piedra, papel o tijera eligiendo al azar. La piedra gana a la tijera, la tijera al papel y el papel a la piedra. Calcula la probabilidad de que gane Ana, de que gane Bruno y de que empaten.

Resolución
Tabla (filas: Ana; columnas: Bruno):

Ana \ Bruno Piedra Papel Tijera

Piedra empate Bruno Ana

Papel Ana empate Bruno

Tijera Bruno Ana empate

9 casos equiprobables. Ana gana en 3, Bruno en 3 y empatan en 3: $P(\text{Ana}) = P(\text{Bruno}) = P(\text{empate}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ El juego es justo.

Ana \ Bruno	Piedra	Papel	Tijera
Piedra	empate	Bruno	Ana
Papel	Ana	empate	Bruno
Tijera	Bruno	Ana	empate

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Se lanzan dos monedas y un dado. a) ¿Cuántos resultados tiene el espacio muestral? b) Calcula $P(\text{dos caras y un } 6)$ y $P(\text{dos cruces})$ .

Ver solución
a) 24. b) 1/24 y 1/4.
a) $2 \cdot 2 \cdot 6 = 24$ resultados equiprobables. b) Dos caras y 6: solo CC6 → $\dfrac{1}{24}$ . Dos cruces (con cualquier número): XX1, …, XX6 → $\dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4}$ .
2. Media
Dos amigos juegan con dos ruletas de sectores iguales: la de Alba tiene los números 1, 2 y 3; la de Hugo, 1, 2, 3 y 4. Cada uno gira la suya y gana quien saque el número mayor. Haz una tabla y calcula la probabilidad de que gane Alba, de que gane Hugo y de que empaten.

Ver solución
P(Alba) = 1/4; P(Hugo) = 1/2; P(empate) = 1/4.
$3 \cdot 4 = 12$ casos (Alba, Hugo). Gana Alba: $(2, 1), (3, 1), (3, 2)$ → $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ . Empate: $(1, 1), (2, 2), (3, 3)$ → $\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ . Gana Hugo: el resto, $12 - 3 - 3 = 6$ → $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$ .
3. Media
En un juego de mesa se lanza un dado y se saca una ficha de una bolsa con 4 fichas: roja, azul, verde y amarilla. Calcula la probabilidad de sacar ficha roja y un número primo.

Ver solución
1/8.
Casos posibles: $6 \cdot 4 = 24$ . Favorables: roja con 2, 3 o 5 → 3. $P = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}$ .
4. Difícil
Un test tiene 2 preguntas, cada una con 4 opciones (a, b, c, d) y una sola correcta. Si se responde al azar, calcula la probabilidad de: a) acertar las dos; b) acertar exactamente una; c) no acertar ninguna.

Ver solución
a) 1/16. b) 3/8. c) 9/16.
Tabla de $4 \cdot 4 = 16$ casos. Supongamos que la correcta es la a) en las dos (da igual cuál sea). a) Solo (a, a): $\dfrac{1}{16}$ . b) Acierta la primera y falla la segunda: $1 \cdot 3 = 3$ casos; falla la primera y acierta la segunda: $3 \cdot 1 = 3$ . Total 6: $\dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}$ . c) Falla las dos: $3 \cdot 3 = 9$ casos: $\dfrac{9}{16}$ . Comprobación: $1 + 6 + 9 = 16$ . ✔

Para practicar más

1. Fácil
Se lanza una moneda y se gira una ruleta con tres sectores iguales: rojo, verde y azul. Haz el árbol y calcula $P(\text{cara y rojo})$ y $P(\text{cruz})$ .

Ver solución
1/6 y 1/2.
6 casos: CR, CV, CA, XR, XV, XA. $P(\text{cara y rojo}) = \dfrac{1}{6}$ ; $P(\text{cruz}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .
2. Media
Dos amigos juegan a pares o nones: cada uno saca al azar 1, 2 o 3 dedos. Si la suma es par, gana quien eligió «pares». ¿Es un juego justo?

Ver solución
No: P(pares) = 5/9 y P(nones) = 4/9.
Tabla de $3 \cdot 3 = 9$ casos. Suma par: $(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3)$ → 5 casos. $P(\text{pares}) = \dfrac{5}{9}$ ; $P(\text{nones}) = \dfrac{4}{9}$ . No es justo: es mejor elegir pares.
3. Media
Se forma un número de dos cifras eligiendo al azar cada cifra entre 1, 2 y 3 (se pueden repetir). Haz el árbol y calcula: a) $P(\text{el número es par})$ ; b) $P(\text{el número es mayor que } 20)$ ; c) $P(\text{las dos cifras son iguales})$ .

Ver solución
a) 1/3. b) 2/3. c) 1/3.
9 números: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33. a) Terminan en 2: 12, 22, 32 → $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ . b) 21, 22, 23, 31, 32, 33 → $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ . c) 11, 22, 33 → $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ .
4. Difícil
Se lanzan dos monedas y un dado. Calcula la probabilidad de obtener al menos una cara y un número par.

Ver solución
3/8.
Casos posibles: $2 \cdot 2 \cdot 6 = 24$ . Monedas con al menos una cara: CC, CX, XC (3 opciones). Número par: 2, 4, 6 (3 opciones). Favorables: $3 \cdot 3 = 9$ . $P = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}$ .