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Explicación

Árboles con probabilidades en las ramas

Cuando los resultados no son equiprobables (una ruleta con sectores desiguales, una tenista que mete el 80 % de sus primeros saques…), no podemos contar casos. Entonces escribimos en cada rama del árbol su probabilidad:

Las probabilidades de las ramas que salen de un mismo punto suman 1.
Si el resultado de una etapa no influye en las siguientes, se dice que los experimentos son independientes, y las probabilidades de cada etapa son siempre las mismas.

Regla del producto

La probabilidad de un camino del árbol es el producto de las probabilidades de sus ramas: $P(A \text{ y después } B) = P(A) \cdot P(B)$

Sumar caminos

Si un suceso está formado por varios caminos, su probabilidad es la suma de las probabilidades de esos caminos.

Comprobación: las probabilidades de todos los caminos del árbol suman 1.

Por ejemplo, con una moneda lanzada dos veces: $P(\text{CC}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ , que coincide con lo que da la regla de Laplace.

Puntos clave

En cada rama se escribe su probabilidad; las ramas que salen de un punto suman 1.
Regla del producto: la probabilidad de un camino es el producto de las probabilidades de sus ramas.
Si un suceso tiene varios caminos, se suman sus probabilidades.
Las probabilidades de todos los caminos suman 1.

Errores frecuentes

ErrorSumar las probabilidades a lo largo de un camino ( $0{,}8 + 0{,}8$ ) en lugar de multiplicarlas.
Cómo corregirloA lo largo de un camino se multiplica: $0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64$ . Se suma solo entre caminos distintos.
ErrorContar un solo camino para «exactamente uno» cuando hay varios (mete-falla y falla-mete).
Cómo corregirloBusca en el árbol todos los caminos que cumplen el suceso y suma sus probabilidades.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una ruleta con sectores desiguales diagrama de árbol con probabilidades
Una ruleta tiene la mitad pintada de rojo, un tercio de azul y el resto de verde. Se gira dos veces. a) ¿Qué probabilidad tiene el verde? b) Calcula la probabilidad de sacar dos rojos. c) Calcula la probabilidad de sacar dos veces el mismo color.

Resolución
a) $P(\text{V}) = 1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ .

Árbol (en cada rama, su probabilidad; de cada punto salen las mismas tres ramas):
- R $\left(\frac{1}{2}\right)$ → R $\left(\frac{1}{2}\right)$ , A $\left(\frac{1}{3}\right)$ , V $\left(\frac{1}{6}\right)$
- A $\left(\frac{1}{3}\right)$ → R $\left(\frac{1}{2}\right)$ , A $\left(\frac{1}{3}\right)$ , V $\left(\frac{1}{6}\right)$
- V $\left(\frac{1}{6}\right)$ → R $\left(\frac{1}{2}\right)$ , A $\left(\frac{1}{3}\right)$ , V $\left(\frac{1}{6}\right)$
b) $P(\text{RR}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ .

c) Tres caminos: RR, AA y VV. $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} = \frac{9 + 4 + 1}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$

Aquí no se puede usar Laplace con los 9 resultados (RR, RA, …), porque no son equiprobables.
Ejemplo 2. Dos primeros saques situación real (regla del producto)
Una tenista mete el 80 % de sus primeros saques. Nos fijamos en sus dos próximos primeros saques y suponemos que uno no influye en el otro. Calcula la probabilidad de que: a) meta los dos; b) meta exactamente uno; c) no meta ninguno.

Resolución
M = mete el saque; F = lo falla. $P(\text{M}) = 0{,}8$ ; $P(\text{F}) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$ .
- M (0,8)
  - M (0,8) → MM: $0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}64$
  - F (0,2) → MF: $0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}16$
- F (0,2)
  - M (0,8) → FM: $0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}16$
  - F (0,2) → FF: $0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04$
a) $P(\text{MM}) = 0{,}64$ . b) Dos caminos, MF y FM: $0{,}16 + 0{,}16 = 0{,}32$ . c) $P(\text{FF}) = 0{,}04$ .

Comprobación: $0{,}64 + 0{,}32 + 0{,}04 = 1$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una moneda está trucada de modo que la probabilidad de cara es 0,6. Se lanza dos veces. Dibuja el árbol y calcula $P(\text{dos caras})$ y $P(\text{dos cruces})$ .

Ver solución
0,36 y 0,16.
$P(\text{C}) = 0{,}6$ ; $P(\text{X}) = 0{,}4$ . $P(\text{CC}) = 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36$ ; $P(\text{XX}) = 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16$ .
2. Media
Para ir al instituto, Óscar coge un autobús y después el metro. El autobús llega puntual el 70 % de los días y el metro, el 40 % (suponemos que son independientes). Calcula la probabilidad de que: a) los dos lleguen puntuales; b) no llegue puntual ninguno; c) llegue puntual exactamente uno.

Ver solución
a) 0,28. b) 0,18. c) 0,54.
a) $0{,}7 \cdot 0{,}4 = 0{,}28$ . b) $0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18$ . c) Solo el autobús: $0{,}7 \cdot 0{,}6 = 0{,}42$ ; solo el metro: $0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12$ . Total: $0{,}42 + 0{,}12 = 0{,}54$ . Comprobación: $0{,}28 + 0{,}18 + 0{,}54 = 1$ . ✔
3. Media
En las fiestas del barrio hay dos tómbolas. En la tómbola A, el 20 % de las papeletas tiene premio; en la B, el 10 %. Compras una papeleta en cada una. Calcula la probabilidad de: a) que te toque premio en las dos; b) que no te toque ningún premio; c) que te toque premio en una sola.

Ver solución
a) 0,02. b) 0,72. c) 0,26.
Árbol: primero la tómbola A (premio 0,2; sin premio 0,8) y después la B (premio 0,1; sin premio 0,9). a) $0{,}2 \cdot 0{,}1 = 0{,}02$ . b) $0{,}8 \cdot 0{,}9 = 0{,}72$ . c) Premio solo en A: $0{,}2 \cdot 0{,}9 = 0{,}18$ ; solo en B: $0{,}8 \cdot 0{,}1 = 0{,}08$ . Total: $0{,}18 + 0{,}08 = 0{,}26$ . Comprobación: $0{,}02 + 0{,}72 + 0{,}26 = 1$ . ✔
4. Difícil
Una portera para el 25 % de los penaltis. En una tanda le tiran 3 penaltis (independientes). Calcula la probabilidad de que: a) los pare los tres; b) no pare ninguno; c) pare exactamente uno.

Ver solución
a) 1/64. b) 27/64. c) 27/64.
$P(\text{para}) = \dfrac{1}{4}$ ; $P(\text{no para}) = \dfrac{3}{4}$ . Árbol de 3 etapas (8 caminos). a) $\left(\dfrac{1}{4}\right)^3 = \dfrac{1}{64}$ . b) $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = \dfrac{27}{64}$ . c) Tres caminos (para el 1.º, el 2.º o el 3.º), cada uno con probabilidad $\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{64}$ : $3 \cdot \dfrac{9}{64} = \dfrac{27}{64}$ .

Para practicar más

1. Fácil
Una ruleta tiene 4 sectores iguales: 3 azules y 1 amarillo. Se gira dos veces. Calcula $P(\text{dos amarillos})$ y $P(\text{dos azules})$ .

Ver solución
1/16 y 9/16.
$P(\text{amarillo}) = \dfrac{1}{4}$ ; $P(\text{azul}) = \dfrac{3}{4}$ . $P(\text{dos amarillos}) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}$ ; $P(\text{dos azules}) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}$ .
2. Media
La probabilidad de aprobar el examen teórico del carné de conducir a la primera es 0,7 y la del práctico, 0,6 (suponemos que son independientes). Calcula la probabilidad de: a) aprobar los dos a la primera; b) suspender solo uno de los dos.

Ver solución
a) 0,42. b) 0,46.
a) $0{,}7 \cdot 0{,}6 = 0{,}42$ . b) Aprueba el teórico y suspende el práctico: $0{,}7 \cdot 0{,}4 = 0{,}28$ ; suspende el teórico y aprueba el práctico: $0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18$ . Total: $0{,}28 + 0{,}18 = 0{,}46$ .
3. Media
Una lista de reproducción aleatoria tiene un 60 % de canciones pop y un 40 % de rock. Suenan dos canciones (cada una se elige independientemente de la anterior). Calcula la probabilidad de que: a) las dos sean pop; b) haya una de cada estilo.

Ver solución
a) 0,36. b) 0,48.
a) $0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36$ . b) Pop-rock: $0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24$ ; rock-pop: $0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}24$ . Total: $0{,}48$ .
4. Difícil
Un arquero acierta en la diana con probabilidad 0,9. Dispara 3 flechas (independientes). Calcula la probabilidad de que: a) acierte las tres; b) falle solo la última; c) acierte exactamente dos.

Ver solución
a) 0,729. b) 0,081. c) 0,243.
a) $0{,}9^3 = 0{,}729$ . b) Camino AAF: $0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1 = 0{,}081$ . c) Tres caminos (AAF, AFA, FAA), cada uno $0{,}081$ : $3 \cdot 0{,}081 = 0{,}243$ .

La regla del producto en el diagrama de árbol