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Explicación

Extraer varias veces de una urna (o de una baraja)

Cuando se sacan varias bolas (o cartas) una detrás de otra, hay dos formas de hacerlo:

Con reemplazamiento	Sin reemplazamiento
Se saca, se mira y se devuelve antes de la siguiente extracción.	Se saca y no se devuelve (o se sacan varias a la vez).
La urna es siempre la misma: las probabilidades no cambian de una extracción a otra.	La urna cambia: en cada extracción hay una bola menos y las probabilidades cambian según lo que haya salido.
Extracciones independientes.	Extracciones dependientes.

En los dos casos se usa el diagrama de árbol con la regla del producto: la probabilidad de un camino es el producto de las probabilidades de sus ramas, y si un suceso tiene varios caminos, se suman.

Sin reemplazamiento, para escribir la probabilidad de cada rama de la segunda etapa pregúntate: después de lo que ha salido, ¿cuántas bolas quedan de cada color y cuántas en total?

Ejemplo: en una urna con 3 bolas rojas y 1 azul, sin reemplazamiento, $P(\text{RR}) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}$ ; con reemplazamiento, $P(\text{RR}) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}$ .

Sacar dos bolas a la vez es lo mismo que sacarlas una detrás de otra sin reemplazamiento.

Puntos clave

Con reemplazamiento: la urna no cambia, las probabilidades se repiten en cada extracción.
Sin reemplazamiento: en cada extracción hay una bola menos y las probabilidades cambian.
Regla del producto a lo largo de cada camino y suma de caminos.
Sacar varias a la vez equivale a sacarlas sin reemplazamiento.

Errores frecuentes

ErrorSin reemplazamiento, no cambiar el denominador en la segunda extracción ( $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}$ ).
Cómo corregirloDespués de sacar una bola quedan 4: $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}$ . Escribe en cada rama cuántas bolas quedan.
ErrorRestar una bola del color equivocado: si la primera fue blanca, quitar una roja.
Cómo corregirloSolo cambia el color que ha salido. Si salió blanca, las rojas siguen siendo las mismas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Con o sin devolver la bola diagrama de árbol (comparación)
En una urna hay 3 bolas rojas (R) y 2 blancas (B). Se sacan dos bolas. Calcula $P(\text{dos rojas})$ y $P(\text{dos del mismo color})$ : a) con reemplazamiento; b) sin reemplazamiento.

Resolución
a) Con reemplazamiento (las ramas de la 2.ª etapa son iguales a las de la 1.ª):
- R $\left(\frac{3}{5}\right)$ → R $\left(\frac{3}{5}\right)$ , B $\left(\frac{2}{5}\right)$
- B $\left(\frac{2}{5}\right)$ → R $\left(\frac{3}{5}\right)$ , B $\left(\frac{2}{5}\right)$
$P(\text{RR}) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$ . $P(\text{mismo color}) = P(\text{RR}) + P(\text{BB}) = \dfrac{9}{25} + \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{25} = \dfrac{13}{25}$ .

b) Sin reemplazamiento (en la 2.ª etapa quedan 4 bolas):
- R $\left(\frac{3}{5}\right)$ → quedan 2 R y 2 B: R $\left(\frac{2}{4}\right)$ , B $\left(\frac{2}{4}\right)$
- B $\left(\frac{2}{5}\right)$ → quedan 3 R y 1 B: R $\left(\frac{3}{4}\right)$ , B $\left(\frac{1}{4}\right)$
$P(\text{RR}) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$ . $P(\text{mismo color}) = \dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{2}{5}$ .

Sin devolver, es menos probable repetir color: al sacar una roja, quedan menos rojas.
Ejemplo 2. Dos cartas de la baraja situación real (baraja española)
Se sacan dos cartas de una baraja española (40 cartas: oros, copas, espadas y bastos; en cada palo, del as al 7, sota, caballo y rey) sin devolver la primera. Calcula la probabilidad de: a) sacar dos oros; b) sacar dos ases. c) ¿Cuánto valdrían si se devolviera la primera carta?

Resolución
a) 1.ª: 10 oros de 40. 2.ª: quedan 9 oros de 39. $P = \frac{10}{40} \cdot \frac{9}{39} = \frac{90}{1560} = \frac{3}{52} \approx 0{,}058$ b) $P = \dfrac{4}{40} \cdot \dfrac{3}{39} = \dfrac{12}{1560} = \dfrac{1}{130} \approx 0{,}008$ . c) Con reemplazamiento: $\dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{16} = 0{,}0625$ y $\dfrac{4}{40} \cdot \dfrac{4}{40} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$ . Son un poco mayores.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En una bolsa hay 4 caramelos de fresa y 6 de limón. Se cogen dos sin mirar, uno detrás de otro (sin devolver). Calcula la probabilidad de que: a) los dos sean de fresa; b) los dos sean de limón; c) sean de sabores distintos.

Ver solución
a) 2/15. b) 1/3. c) 8/15.
a) $\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{3}{9} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$ . b) $\dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{30}{90} = \dfrac{1}{3}$ . c) Por el contrario: $1 - \dfrac{2}{15} - \dfrac{1}{3} = 1 - \dfrac{2}{15} - \dfrac{5}{15} = \dfrac{8}{15}$ . (Por caminos: $\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{6}{9} + \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{48}{90} = \dfrac{8}{15}$ .)
2. Media
En una urna hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Se sacan dos bolas. Calcula la probabilidad de que las dos tengan número par: a) con reemplazamiento; b) sin reemplazamiento.

Ver solución
a) 4/25. b) 1/10.
Pares: 2 y 4 (2 de 5). a) $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$ . b) $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$ .
3. Media
En un cajón hay 6 calcetines sueltos: 4 negros y 2 blancos. Sin encender la luz, coges 2. ¿Qué probabilidad hay de que sean del mismo color?

Ver solución
7/15.
Sin reemplazamiento (se cogen a la vez). $P(\text{NN}) = \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{30}$ ; $P(\text{BB}) = \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{30}$ . $P(\text{mismo color}) = \dfrac{12}{30} + \dfrac{2}{30} = \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15}$ .
4. Difícil
Se sortean 3 entradas para un concierto en el WiZink Center entre 12 alumnos: 8 de 3.º A y 4 de 3.º B. Nadie puede ganar dos entradas. Calcula la probabilidad de que: a) las tres entradas sean para 3.º A; b) ninguna sea para 3.º A.

Ver solución
a) 14/55. b) 1/55.
Sin reemplazamiento, tres etapas. a) $\dfrac{8}{12} \cdot \dfrac{7}{11} \cdot \dfrac{6}{10} = \dfrac{336}{1320} = \dfrac{14}{55} \approx 0{,}25$ . b) Las tres para 3.º B: $\dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{3}{11} \cdot \dfrac{2}{10} = \dfrac{24}{1320} = \dfrac{1}{55} \approx 0{,}02$ .

Para practicar más

1. Fácil
En una urna hay 2 bolas verdes y 3 negras. Se saca una bola, se mira el color, se devuelve y se saca otra. Calcula $P(\text{dos verdes})$ y $P(\text{dos negras})$ .

Ver solución
4/25 y 9/25.
Con reemplazamiento: $P(\text{VV}) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$ ; $P(\text{NN}) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$ .
2. Media
En una caja hay 10 bombillas LED y 3 de ellas son defectuosas. Se cogen dos al azar. Calcula la probabilidad de que: a) las dos funcionen; b) alguna sea defectuosa.

Ver solución
a) 7/15. b) 8/15.
Sin reemplazamiento. Funcionan 7. a) $\dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{6}{9} = \dfrac{42}{90} = \dfrac{7}{15}$ . b) Es el contrario de a): $1 - \dfrac{7}{15} = \dfrac{8}{15}$ .
3. Media
Se sacan dos cartas de una baraja española (40 cartas; 12 figuras: sota, caballo y rey de cada palo) sin devolver la primera. Calcula la probabilidad de que: a) las dos sean figuras; b) la primera sea figura y la segunda no.

Ver solución
a) 11/130. b) 14/65.
a) $\dfrac{12}{40} \cdot \dfrac{11}{39} = \dfrac{132}{1560} = \dfrac{11}{130}$ . b) $\dfrac{12}{40} \cdot \dfrac{28}{39} = \dfrac{336}{1560} = \dfrac{14}{65}$ .
4. Difícil
En una bolsa hay 6 sobres y 2 de ellos tienen premio. Puedes coger dos sobres. ¿Qué te conviene más para conseguir al menos un premio: devolver el primer sobre antes de coger el segundo o no devolverlo? Calcula las dos probabilidades.

Ver solución
Con reemplazamiento: 5/9 ≈ 0,56. Sin reemplazamiento: 3/5 = 0,6. Conviene no devolverlo.
Usamos el contrario: «al menos un premio» = no «ningún premio». Con reemplazamiento: $P(\text{ninguno}) = \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{4}{6} = \dfrac{4}{9}$ → $P = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9} \approx 0{,}56$ . Sin reemplazamiento: $P(\text{ninguno}) = \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$ → $P = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ . Conviene no devolverlo: así no puedes volver a coger el mismo sobre sin premio.

Extracciones con y sin reemplazamiento