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Matemáticas 3.º ESO · Diagramas de árbol y técnicas de recuento

Diagramas de árbol y principio de multiplicación

Objetivo: Al terminar, sabrás representar recuentos de varias etapas con diagramas de árbol y contar el total con el principio de multiplicación (menús, matrículas, códigos).

Explicación

Contar sin dejarse ninguno

Muchas situaciones consisten en elegir en varias etapas: primero el pan y después el relleno; primero el primer plato, luego el segundo y luego el postre. Para contar todas las posibilidades sin repetir ni olvidar ninguna usamos un diagrama de árbol:

Del punto de partida salen tantas ramas como opciones tiene la primera etapa.
Del final de cada rama salen las ramas de la segunda etapa, y así sucesivamente.
Cada camino completo (del principio a un extremo) es un resultado. Contamos los extremos.

Por ejemplo, para vestirse con una camiseta (blanca o negra) y una gorra (roja, verde o azul):

Camiseta blanca
- roja → (blanca, roja)
- verde → (blanca, verde)
- azul → (blanca, azul)
Camiseta negra
- roja → (negra, roja)
- verde → (negra, verde)
- azul → (negra, azul)

Hay $2 \cdot 3 = 6$ formas de vestirse.

Principio de multiplicación

Si una elección se hace en $k$ etapas y la primera se puede hacer de $n_1$ maneras, la segunda de $n_2$ maneras (sea cual sea la primera), la tercera de $n_3$ maneras…, el número total de posibilidades es

$n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \ldots \cdot n_k$

Cuando hay muchos casos no hace falta dibujar el árbol entero: basta con imaginarlo (o dibujar una parte) y multiplicar.

¿Se pueden repetir?

Con repetición: en cada etapa hay las mismas opciones. Un PIN de 4 cifras: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000$ .
Sin repetición: cada etapa tiene una opción menos, porque lo ya elegido no se puede volver a usar. Ordenar 4 libros en una balda: $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ .

Puntos clave

Un diagrama de árbol organiza las elecciones por etapas; cada camino completo es un resultado.
Principio de multiplicación: si hay $n_1$ opciones en la primera etapa, $n_2$ en la segunda…, el total es $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots$
Con repetición, todas las etapas tienen las mismas opciones; sin repetición, cada etapa tiene una opción menos.
Si hay muchos casos, se dibuja solo una parte del árbol y se multiplica.

Errores frecuentes

ErrorSumar las opciones de cada etapa en lugar de multiplicarlas (3 primeros y 4 segundos = 7 menús).
Cómo corregirloPiensa en el árbol: de cada uno de los 3 primeros salen 4 ramas, así que hay $3 \cdot 4 = 12$ caminos.
ErrorOlvidar que, sin repetición, las opciones disminuyen (en un podio de 8 atletas, hacer $8 \cdot 8 \cdot 8$ ).
Cómo corregirloQuien gana el oro ya no puede ganar la plata: $8 \cdot 7 \cdot 6$ .
ErrorDibujar el árbol incompleto: poner las ramas de la segunda etapa solo en una de las ramas de la primera.
Cómo corregirloDe cada extremo tienen que salir todas las ramas de la etapa siguiente. Cuenta al final los extremos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Bocadillos en la cafetería del instituto gráfico (diagrama de árbol)
En la cafetería del instituto preparan bocadillos con pan de barra o integral y relleno de tortilla, jamón o queso (un solo relleno). Dibuja un diagrama de árbol y escribe todos los bocadillos posibles. ¿Cuántos hay?

Resolución
Etapa 1: pan (2 opciones). Etapa 2: relleno (3 opciones).
- Barra
  - Tortilla → (barra, tortilla)
  - Jamón → (barra, jamón)
  - Queso → (barra, queso)
- Integral
  - Tortilla → (integral, tortilla)
  - Jamón → (integral, jamón)
  - Queso → (integral, queso)
Hay 6 bocadillos. Con el principio de multiplicación: $2 \cdot 3 = 6$ .
Ejemplo 2. El menú del día situación real (principio de multiplicación)
Un restaurante de Malasaña ofrece un menú del día con 3 primeros, 4 segundos y 2 postres. a) ¿Cuántos menús distintos se pueden elegir? b) Si además se puede elegir bebida (agua, refresco o zumo), ¿cuántos menús hay ahora?

Resolución
a) El árbol tendría 3 ramas, de cada una saldrían 4 y de cada una de esas, 2. No hace falta dibujarlo entero: $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24\ \text{menús}$ b) Cada uno de los 24 menús se combina con 3 bebidas: $24 \cdot 3 = 72$ menús.
Ejemplo 3. Candados y matrículas numérico (con repetición y sin repetición)
a) Un candado de maleta tiene 3 ruedas con las cifras del 0 al 9. ¿Cuántas combinaciones tiene? b) Las matrículas de los coches en España tienen 4 cifras seguidas de 3 letras. Para las letras se usan 20 consonantes (no se usan las vocales, ni la Ñ ni la Q). ¿Cuántas matrículas distintas se pueden hacer? c) En la final de 100 m de un campeonato escolar corren 8 atletas. ¿De cuántas formas se puede repartir el podio (oro, plata y bronce)?

Resolución
a) Cada rueda tiene 10 opciones y se pueden repetir: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ combinaciones (del 000 al 999).

b) Cifras: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000$ . Letras: $20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$ . Total: $10\,000 \cdot 8000 = 80\,000\,000$ 80 millones de matrículas.

c) Sin repetición: el oro lo puede ganar cualquiera de los 8; la plata, cualquiera de los 7 restantes; el bronce, cualquiera de los 6 que quedan: $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\ \text{podios}$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En una heladería del Retiro puedes pedir el helado en cucurucho o en tarrina, y con una bola de uno de estos sabores: vainilla, chocolate, fresa, limón o turrón. Dibuja un diagrama de árbol y cuenta cuántos helados distintos puedes pedir.
Ver solución
10 helados.
Etapa 1: cucurucho (Cu) o tarrina (Ta). Etapa 2: 5 sabores.
- Cu → vainilla, chocolate, fresa, limón, turrón
- Ta → vainilla, chocolate, fresa, limón, turrón
$2 \cdot 5 = 10$ helados.
2. Fácil
Se lanza una moneda tres veces seguidas y se anota si sale cara (C) o cruz (X). Haz el diagrama de árbol y escribe todos los resultados posibles. ¿Cuántos hay?
Ver solución
8 resultados: CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX.
Cada lanzamiento tiene 2 resultados:
- C → C → C / X; X → C / X
- X → C → C / X; X → C / X
Resultados: CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX. Son $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .
3. Media
Un club deportivo de Alcobendas da a cada socio un código formado por una letra (de las 27 del abecedario) seguida de tres cifras. a) ¿Cuántos códigos distintos hay? b) El club tiene 25 000 socios. ¿Tiene suficientes códigos?

Ver solución
a) 27 000 códigos. b) Sí, sobran 2000.
a) $27 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 27\,000$ códigos. b) $27\,000 > 25\,000$ : sí, y sobran $27\,000 - 25\,000 = 2000$ códigos.
4. Media
En una clase de 3.º ESO hay 25 alumnos. Hay que elegir un delegado y un subdelegado (personas distintas). a) ¿De cuántas formas se puede hacer? b) ¿Y si además se elige un secretario?

Ver solución
a) 600 formas. b) 13 800 formas.
Sin repetición, y el orden importa (no es lo mismo ser delegado que subdelegado). a) $25 \cdot 24 = 600$ . b) $25 \cdot 24 \cdot 23 = 13\,800$ .

Para practicar más

1. Fácil
Lucía tiene 3 camisetas, 2 pantalones y 2 pares de zapatillas. Dibuja el diagrama de árbol de las formas de vestirse con una prenda de cada tipo. ¿Cuántas hay?

Ver solución
12 formas.
Árbol de 3 etapas: de cada camiseta salen 2 ramas (pantalones) y de cada una de ellas, 2 (zapatillas). $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ formas.
2. Fácil
En una pizzería de Chamberí eliges masa fina o gruesa, un ingrediente principal (champiñones, atún, pollo o jamón) y el tamaño (mediana o familiar). ¿Cuántas pizzas distintas puedes pedir?

Ver solución
16 pizzas.
$2 \cdot 4 \cdot 2 = 16$ pizzas.
3. Media
En la quiniela de fútbol hay que acertar el resultado de 14 partidos marcando 1 (gana el de casa), X (empate) o 2 (gana el visitante). ¿Cuántas quinielas distintas se pueden rellenar? Escribe el resultado como potencia y con todas sus cifras.

Ver solución
$3^{14} = 4\,782\,969$ quinielas.
Cada partido tiene 3 opciones y se pueden repetir: $3 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 3 = 3^{14} = 4\,782\,969$
4. Difícil
Una contraseña de una app de deportes tiene 2 letras (de 27) seguidas de 2 cifras. a) ¿Cuántas contraseñas hay? b) ¿Cuántas hay si las dos letras tienen que ser distintas y las dos cifras también?

Ver solución
a) 72 900. b) 63 180.
a) Con repetición: $27 \cdot 27 \cdot 10 \cdot 10 = 72\,900$ . b) Sin repetir letras ni cifras: $27 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 9 = 63\,180$ .