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Matemáticas 3.º ESO · El estudio estadístico: población, muestra y sesgos

¿Es representativa la muestra? Los sesgos

Objetivo: Al terminar, sabrás reconocer cuándo una muestra no es representativa, explicar por qué sus conclusiones no se pueden generalizar a toda la población y proponer una muestra mejor (elegida al azar, de tamaño suficiente y proporcional).

Explicación

Muestras representativas

Una muestra es representativa si se parece a la población en lo que nos interesa, de modo que lo que ocurre en la muestra ocurre, aproximadamente, en toda la población. Para conseguirlo:

Elegir al azar: todos los individuos de la población deben tener la misma posibilidad de ser elegidos (por ejemplo, sorteando en una lista).
Tamaño suficiente: con muy pocos individuos, uno solo cambia mucho el resultado.
Que estén todos los grupos, en la misma proporción que en la población (cursos, edades, barrios…).

Los sesgos

Un sesgo es un fallo en el diseño del estudio que hace que los resultados se desvíen siempre hacia el mismo lado. Los más frecuentes:

Elegir la muestra en un lugar o a una hora especial: preguntar por el deporte en la puerta de un gimnasio, o por el uso del Metro dentro de una estación.
Dejar que contesten solo los voluntarios: en una encuesta en redes sociales responde quien tiene interés en el tema.
Preguntar solo a conocidos (amigos, familia), que suelen parecerse a nosotros.
Preguntas que empujan hacia una respuesta: «¿Verdad que…?».

Con una muestra sesgada, las conclusiones no se pueden generalizar a toda la población, aunque la muestra sea muy grande.

Muestras proporcionales

Si la población está formada por grupos, se puede repartir la muestra proporcionalmente al tamaño de cada grupo: si un grupo es la cuarta parte de la población, también será la cuarta parte de la muestra. Dentro de cada grupo, se elige al azar.

Puntos clave

Una muestra representativa se parece a la población en lo que se estudia.
Para que lo sea: elegir al azar, con tamaño suficiente y con todos los grupos en su proporción.
Un sesgo desvía los resultados siempre hacia el mismo lado.
Sesgos típicos: lugar u hora especial, solo voluntarios, solo conocidos, preguntas que empujan.
Una muestra grande pero sesgada no sirve para sacar conclusiones de toda la población.

Errores frecuentes

ErrorPensar que una muestra es buena solo porque es grande («han contestado 5000 personas en la web»).
Cómo corregirloSi solo contestan voluntarios o personas de un mismo tipo, el resultado está sesgado aunque sean miles.
ErrorElegir «al azar» a los que pasan por delante o a los que están más cerca.
Cómo corregirloAl azar significa que todos tienen la misma posibilidad: sorteo en una lista, números aleatorios…

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una encuesta en Sol situación real (detectar el sesgo)
Para saber qué porcentaje de madrileños usa el Metro a diario, una empresa pregunta a 500 personas en la estación de Sol un martes a las 8 de la mañana. Contestan que sí 460. a) ¿Qué porcentaje de la muestra usa el Metro a diario? b) ¿Es representativa la muestra? ¿El porcentaje real de madrileños será mayor o menor? c) Propón una muestra mejor.

Resolución
a) $\dfrac{460}{500} = 0{,}92 = 92\ \%$ .

b) No es representativa: todas las personas encuestadas estaban dentro del Metro en hora punta, así que es lógico que casi todas lo usen a diario. Faltan los madrileños que van andando, en coche, en autobús o que no salen de casa ese día. El porcentaje real será bastante menor (el sesgo empuja el resultado hacia arriba).

c) Elegir al azar 500 madrileños (por ejemplo, de la lista del padrón o llamando a teléfonos elegidos al azar), de todos los distritos y edades, y preguntarles cuántos días a la semana usan el Metro.
Ejemplo 2. Una muestra proporcional numérico (repartir la muestra)
Un instituto tiene 600 alumnos de ESO: 160 en 1.º, 150 en 2.º, 150 en 3.º y 140 en 4.º. Se quiere elegir una muestra de 60 alumnos en la que cada curso tenga el peso que le corresponde. ¿Cuántos alumnos hay que elegir de cada curso? ¿Cómo se eligen dentro de cada curso?

Resolución
La muestra es $\dfrac{60}{600} = \dfrac{1}{10}$ de la población, así que se elige la décima parte de cada curso:

Curso Alumnos En la muestra

1.º 160 $160 : 10 = 16$

2.º 150 $15$

3.º 150 $15$

4.º 140 $14$

Total 600 60 ✔

Dentro de cada curso se eligen por sorteo (por ejemplo, numerando la lista y sacando números al azar), no los que estén más a mano.

Curso	Alumnos	En la muestra
1.º	160	$160 : 10 = 16$
2.º	150	$15$
3.º	150	$15$
4.º	140	$14$
Total	600	60 ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
¿Es representativa cada muestra? Explica por qué. a) Para conocer la altura de los alumnos de 3.º, se mide a los jugadores del equipo de baloncesto del instituto. b) Para saber cuánto tiempo pasan ante las pantallas los alumnos del instituto, se sortean 10 alumnos de cada grupo en las listas. c) Para saber si los alumnos quieren más horas de Educación Física, se hace una encuesta en la cuenta de Instagram del equipo de fútbol del instituto. d) Para saber qué programas de televisión ve la gente, se llama a teléfonos fijos los martes a las 11 de la mañana.

Ver solución
a) No (los jugadores de baloncesto suelen ser más altos). b) Sí (al azar y de todos los grupos). c) No (contestan voluntarios aficionados al deporte). d) No (a esa hora solo contestan quienes están en casa y tienen fijo).
a) No: los jugadores de baloncesto suelen ser más altos que la media; la altura saldría mayor. b) Sí: se elige al azar y están todos los grupos. c) No: contestan voluntarios que siguen al equipo de fútbol, que probablemente quieren más Educación Física. d) No: un martes por la mañana muchas personas trabajan o estudian, y muchos jóvenes no tienen teléfono fijo.
2. Media
En 3.º de ESO de un instituto hay tres grupos: 3.º A con 30 alumnos, 3.º B con 25 y 3.º C con 25. Se quiere una muestra proporcional de 16 alumnos. ¿Cuántos se eligen de cada grupo?

Ver solución
3.º A: 6; 3.º B: 5; 3.º C: 5.
Total: $30 + 25 + 25 = 80$ alumnos. La muestra es $\dfrac{16}{80} = \dfrac{1}{5}$ de la población. 3.º A: $30 : 5 = 6$ ; 3.º B: $25 : 5 = 5$ ; 3.º C: $25 : 5 = 5$ . Total: $6 + 5 + 5 = 16$ ✔.
3. Media
Para saber si los vecinos de un edificio de 40 viviendas quieren poner ascensor, se pregunta a 4 vecinos y 3 dicen que sí. a) ¿Qué porcentaje de la muestra quiere el ascensor? b) Si el cuarto vecino hubiera dicho que sí, ¿cuánto cambiaría el porcentaje? c) ¿Te parece una muestra fiable? ¿Qué harías?

Ver solución
a) 75 %. b) Pasaría a 100 %: cambia 25 puntos. c) No: es demasiado pequeña. Mejor preguntar a todas las viviendas (son solo 40).
a) $\dfrac{3}{4} = 75\ \%$ . b) Con 4 de 4 sería el $100\ \%$ : una sola respuesta cambia el resultado 25 puntos. c) No es fiable: la muestra es muy pequeña. Como la población es pequeña (40 viviendas), lo mejor es un censo: preguntar a todas.
4. Difícil
Una tienda de videojuegos publica en su web: «El 85 % de los jóvenes juega a videojuegos todos los días. Lo dice nuestra encuesta, con 5000 respuestas». a) ¿Quién ha contestado probablemente la encuesta? b) ¿Qué sesgos tiene? c) ¿Sirve el tamaño (5000) para arreglar el problema?

Ver solución
a) Clientes y seguidores de la tienda, aficionados a los videojuegos. b) Lugar especial (la web de la tienda) y respuestas voluntarias. c) No: una muestra sesgada sigue estando sesgada aunque sea grande.
a) Quienes visitan la web de una tienda de videojuegos: personas a las que les gustan mucho los videojuegos. b) Sesgo de lugar (la web de la tienda) y de voluntarios (contesta quien quiere, los más interesados). El 85 % saldrá más alto que el real. c) No: aunque haya 5000 respuestas, todas vienen del mismo tipo de personas. El tamaño no corrige el sesgo.

Para practicar más

1. Fácil
¿Es representativa cada muestra? Justifica. a) Para saber si los vecinos de Chamberí quieren un nuevo carril bici, se pregunta a los clientes de una tienda de bicicletas del barrio. b) Para conocer la nota media de Matemáticas de los alumnos de 3.º, se pregunta a los que están estudiando en la biblioteca la semana de exámenes. c) Para conocer la opinión de los vecinos de un municipio sobre la recogida de basuras, se sortean 300 nombres en el padrón municipal. d) Para saber qué música prefieren los madrileños, se pregunta a la salida de un concierto de rock.

Ver solución
a) No. b) No. c) Sí. d) No.
a) No: los clientes de una tienda de bicis usan la bici y estarán a favor del carril. b) No: quien estudia en la biblioteca en época de exámenes suele sacar mejores notas; la media saldría más alta. c) Sí: sorteo en el padrón, donde están todos los vecinos. d) No: casi todos dirán rock.
2. Media
Un municipio de la sierra tiene tres barrios: el centro, con 1200 habitantes; la urbanización, con 800, y la zona de la estación, con 400. Se quiere hacer una encuesta a 120 personas con una muestra proporcional. ¿A cuántas personas de cada barrio hay que encuestar?

Ver solución
Centro: 60; urbanización: 40; estación: 20.
Población: $1200 + 800 + 400 = 2400$ . La muestra es $\dfrac{120}{2400} = \dfrac{1}{20}$ . Centro: $1200 : 20 = 60$ ; urbanización: $800 : 20 = 40$ ; estación: $400 : 20 = 20$ . Total: $120$ ✔.
3. Media
En la puerta de un gimnasio se pregunta a 50 personas cuántos días a la semana hacen deporte, y 45 dicen que tres o más. En otra encuesta, a 200 vecinos del mismo barrio elegidos al azar, dicen tres o más días 64 personas. a) Calcula el porcentaje de «tres o más días» en cada encuesta. b) ¿Por qué salen tan distintos? ¿Cuál representa mejor a los vecinos del barrio?

Ver solución
a) Gimnasio: 90 %; vecinos al azar: 32 %. b) La primera está sesgada (solo personas que van al gimnasio). La segunda representa mejor al barrio.
a) Gimnasio: $\dfrac{45}{50} = 0{,}9 = 90\ \%$ . Vecinos al azar: $\dfrac{64}{200} = 0{,}32 = 32\ \%$ . b) En la puerta del gimnasio solo hay personas que hacen deporte: la muestra está sesgada hacia arriba. La segunda, elegida al azar entre todos los vecinos y más grande, representa mejor al barrio.
4. Media
Lucía quiere saber cuánto dinero reciben de paga semanal los alumnos de su instituto. Ha pensado preguntar a los 10 compañeros con los que se sienta en el comedor. a) Explica dos razones por las que su muestra no es buena. b) Propón una muestra mejor para un instituto con 4 cursos de ESO de 120 alumnos cada uno, si quiere encuestar a 48 alumnos.

Ver solución
a) Es muy pequeña y no está elegida al azar (son sus amigos y solo los que se quedan al comedor). b) 12 alumnos de cada curso, elegidos por sorteo en las listas.
a) Es muy pequeña (10 alumnos para todo el instituto) y no es al azar: son sus amigos, quizá de su curso, y solo alumnos que se quedan al comedor. b) Los 4 cursos tienen el mismo número de alumnos, así que se reparten por igual: $48 : 4 = 12$ alumnos de cada curso, elegidos por sorteo en las listas. (Comprobación: $\dfrac{48}{480} = \dfrac{1}{10}$ y $\dfrac{120}{10} = 12$ .)