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Explicación

El modo estadístico

Con muchos datos, calcular a mano la media y la desviación típica es largo y es fácil equivocarse. La calculadora científica lo hace en segundos. Los pasos son parecidos en casi todos los modelos (aquí, los de las Casio de la serie ClassWiz):

Entrar en el modo estadístico: MENU → Estadística → 1-Variable (una sola variable). Al entrar, se borran los datos anteriores.
Si los datos tienen frecuencias, activa la columna de frecuencias (solo hace falta una vez): SHIFT + MENU (CONFIG) → Estadística → Frecuencia: Activado. Aparecerán dos columnas: x y FREC.
Introducir los datos: teclea cada valor en la columna x y pulsa =. Si hay frecuencias, pasa con las flechas a la columna FREC y escribe cada frecuencia.
Ver los resultados: pulsa AC y después OPTN → Cálculo 1-variable. Aparece una lista con:

En pantalla	Significado
$\bar{x}$	media
$\Sigma x$	suma de los datos
$\Sigma x^2$	suma de los cuadrados de los datos
$\sigma_x$	desviación típica (dividiendo entre $N$ )
$s_x$	desviación típica «muestral» (dividiendo entre $N - 1$ )
$n$	número de datos

En otros modelos $\sigma_x$ aparece como $x\sigma_n$ o $\sigma_n$ , y $s_x$ como $x\sigma_{n-1}$ o $\sigma_{n-1}$ . En 3.º ESO usamos $\sigma_x$ , que es la que hemos definido dividiendo entre $N$ . La $s_x$ se usa en cursos superiores cuando se estudia una muestra. Para la varianza, eleva al cuadrado: $\sigma^2 = \sigma_x^2$ (algunos modelos la dan directamente como $\sigma^2_x$ ).

Con $\Sigma x$ y $\Sigma x^2$ de la pantalla también se puede comprobar la varianza con la fórmula abreviada («la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media»): $\sigma^2 = \dfrac{\Sigma x^2}{N} - \bar{x}^2$

Comprueba siempre

Mira que $n$ coincide con el número de datos que tienes: si sobra o falta uno, has tecleado mal.
Haz una estimación de la media «a ojo»: tiene que estar entre el dato menor y el mayor y cerca de donde se acumulan los datos.
Copia los resultados redondeados con su unidad y el signo ≈ (por ejemplo, $\sigma \approx 3{,}87$ min).

Puntos clave

MENU → Estadística → 1-Variable; con frecuencias, activa la columna FREC.
Resultados: AC → OPTN → Cálculo 1-variable.
$\bar{x}$ es la media y $\sigma_x$ la desviación típica (dividiendo entre $N$ ); $s_x$ divide entre $N - 1$ y no es la que usamos.
La varianza es $\sigma_x^2$ .
Comprueba que $n$ es el número de datos y que la media es razonable.

Errores frecuentes

ErrorCopiar $s_x$ (o $x\sigma_{n-1}$ ) como desviación típica.
Cómo corregirloEn 3.º ESO la desviación típica es $\sigma_x$ (o $x\sigma_n$ ), la que divide entre $N$ . Es siempre un poco menor que $s_x$ .
ErrorTeclear los valores repetidos uno a uno con la columna de frecuencias activada y además poner frecuencias, o meter la tabla sin activar la columna FREC.
Cómo corregirloCon tabla: cada valor una sola vez y su frecuencia en FREC. Comprueba que $n$ coincide con $N = \sum f_i$ .
ErrorDejar datos de un ejercicio anterior.
Cómo corregirloVuelve a entrar en el modo estadístico (o borra la tabla) antes de cada ejercicio y mira el valor de $n$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una prueba de orientación con calculadora (datos sueltos)
Ocho amigos hacen un recorrido de orientación en la Casa de Campo. Sus tiempos, en minutos, son: 24, 27, 31, 22, 35, 29, 26, 30. Obtén con la calculadora la media, la desviación típica y la varianza.

Resolución
1. MENU → Estadística → 1-Variable.
2. Tecleamos: 24 = 27 = 31 = 22 = 35 = 29 = 26 = 30 =
3. AC → OPTN → Cálculo 1-variable. La pantalla muestra: $n = 8$ ; $\Sigma x = 224$ ; $\Sigma x^2 = 6392$ ; $\bar{x} = 28$ ; $\sigma_x = 3{,}872983…$ ; $s_x = 4{,}140393…$
Resultados: $\bar{x} = 28$ min; $\sigma \approx 3{,}87$ min; $\sigma^2 = 15$ min².

Comprobación: con la fórmula abreviada, $\sigma^2 = \dfrac{6392}{8} - 28^2 = 799 - 784 = 15$ ✔. El valor 4,14 ( $s_x$ ) no es el que buscamos.
Ejemplo 2. Redes sociales en 3.º con calculadora (tabla de frecuencias)
Se pregunta a 40 alumnos de 3.º en cuántas redes sociales tienen cuenta. Resultados:

Redes, $x_i$ 0 1 2 3 4 5 6

Alumnos, $f_i$ 3 5 9 10 7 4 2

Obtén con la calculadora la media y la desviación típica.

Resolución
1. Activamos la columna de frecuencias (CONFIG → Estadística → Frecuencia: Activado) y entramos en MENU → Estadística → 1-Variable.
2. Columna x: 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 =. Columna FREC: 3 = 5 = 9 = 10 = 7 = 4 = 2 =
3. AC → OPTN → Cálculo 1-variable: $n = 40$ ✔ (coincide con el total de alumnos); $\Sigma x = 113$ ; $\Sigma x^2 = 415$ ; $\bar{x} = 2{,}825$ ; $\sigma_x = 1{,}547376…$
Resultados: $\bar{x} \approx 2{,}83$ redes; $\sigma \approx 1{,}55$ redes.

Si hubiéramos olvidado activar las frecuencias, saldría $n = 7$ : la calculadora habría tomado cada valor una sola vez.

Redes, $x_i$	0	1	2	3	4	5	6
Alumnos, $f_i$	3	5	9	10	7	4	2

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Estas son las temperaturas medias aproximadas (°C) de cada mes en Madrid, de enero a diciembre: 6, 7, 11, 13, 17, 23, 26, 25, 21, 15, 9, 7. Obtén con la calculadora la media y la desviación típica.

Ver solución
$\bar{x} = 15$ °C; $\sigma \approx 7{,}01$ °C
Modo 1-Variable, 12 datos. Pantalla: $n = 12$ , $\Sigma x = 180$ , $\bar{x} = 15$ , $\sigma_x = 7{,}0118…$ → $\bar{x} = 15$ °C, $\sigma \approx 7{,}01$ °C.
2. Fácil
Las puntuaciones de 30 alumnos en un test de 10 preguntas son:

Puntos 3 4 5 6 7 8 9

Alumnos 2 4 6 7 5 4 2

Obtén con la calculadora la media, la desviación típica y la varianza.

Ver solución
$\bar{x} \approx 5{,}97$ ; $\sigma \approx 1{,}62$ ; $\sigma^2 \approx 2{,}63$
Con la columna FREC activada. Pantalla: $n = 30$ ✔, $\Sigma x = 179$ , $\bar{x} = 5{,}9666…$ , $\sigma_x = 1{,}6224…$ → $\bar{x} \approx 5{,}97$ puntos; $\sigma \approx 1{,}62$ puntos; $\sigma^2 = 1{,}6224…^2 \approx 2{,}63$ .
3. Media
Diego introduce en la calculadora las edades de los 6 miembros de su familia: 45, 43, 15, 12, 72, 70. En la pantalla lee: $n = 6$ ; $\bar{x} = 42{,}8333…$ ; $\sigma_x = 23{,}5189…$ ; $s_x = 25{,}7636…$ a) ¿Qué valor es la desviación típica que usamos en 3.º ESO? b) ¿Cuál es la varianza? c) Comprueba la media sumando a mano.

Ver solución
a) $\sigma \approx 23{,}52$ años. b) $\sigma^2 \approx 553{,}14$ años². c) $257 : 6 \approx 42{,}83$ .
a) La que divide entre $N$ : $\sigma_x \approx 23{,}52$ años. b) $\sigma^2 = 23{,}5189…^2 \approx 553{,}14$ años² (mejor con el valor sin redondear de la pantalla). c) $45 + 43 + 15 + 12 + 72 + 70 = 257$ ; $\dfrac{257}{6} \approx 42{,}83$ ✔.
4. Media
Se compara el precio (€) de un mismo móvil en 6 tiendas online y en 6 tiendas físicas. Online: 299, 315, 289, 305, 320, 296. Físicas: 329, 310, 349, 299, 335, 318. a) Obtén con la calculadora la media y la desviación típica de cada grupo. b) ¿Dónde es más barato de media? ¿Dónde varían más los precios?

Ver solución
a) Online: $\bar{x} = 304$ €, $\sigma \approx 10{,}74$ €. Físicas: $\bar{x} \approx 323{,}33$ €, $\sigma \approx 16{,}46$ €. b) Online es más barato; en las físicas varían más.
a) Online: $n = 6$ , $\bar{x} = 304$ €, $\sigma_x = 10{,}739…$ ≈ 10,74 €. Físicas: $n = 6$ , $\bar{x} = 323{,}333…$ ≈ 323,33 €, $\sigma_x = 16{,}458…$ ≈ 16,46 €. b) De media es unos 19 € más barato online, y allí los precios están además más agrupados: la dispersión es mayor en las tiendas físicas.
5. Difícil
Marta mete en la calculadora los minutos que tarda en 10 trayectos en Metro: 18, 22, 25, 19, 31, 21, 24, 20, 27, 23. La pantalla dice $n = 10$ , $\Sigma x = 203$ y $\bar{x} = 20{,}3$ . a) Sin repetir todo, ¿cómo sabes que se ha equivocado? b) ¿Cuál es la media correcta y la desviación típica?

Ver solución
a) La suma real es 230, no 203. b) $\bar{x} = 23$ min; $\sigma \approx 3{,}74$ min.
a) $n$ está bien, pero sumando a mano: $18 + 22 + 25 + 19 + 31 + 21 + 24 + 20 + 27 + 23 = 230 \neq 203$ . Ha tecleado mal algún dato (le faltan 27 minutos: por ejemplo, pudo escribir 4 en vez de 31). b) Con los datos bien introducidos: $\bar{x} = 23$ min, $\sigma_x = 3{,}7416…$ ≈ 3,74 min.

Puntos	3	4	5	6	7	8	9
Alumnos	2	4	6	7	5	4	2

Para practicar más

1. Fácil
Obtén con la calculadora la media y la desviación típica de estos datos: 12, 15, 11, 18, 14, 16, 13, 17. Comprueba la varianza con la fórmula abreviada usando $\Sigma x^2$ de la pantalla.

Ver solución
$\bar{x} = 14{,}5$ ; $\sigma \approx 2{,}29$ ; $\sigma^2 = 5{,}25$
Pantalla: $n = 8$ , $\Sigma x = 116$ , $\Sigma x^2 = 1724$ , $\bar{x} = 14{,}5$ , $\sigma_x = 2{,}2912…$ $\sigma^2 = \dfrac{1724}{8} - 14{,}5^2 = 215{,}5 - 210{,}25 = 5{,}25$ ✔ ( $\sqrt{5{,}25} \approx 2{,}29$ ).
2. Fácil
Se pregunta a 50 personas cuántos días a la semana van al trabajo o a clase en bici:

Días 0 1 2 3 4 5

Personas 4 9 14 12 7 4

Obtén con la calculadora la media y la desviación típica.

Ver solución
$\bar{x} = 2{,}42$ días; $\sigma \approx 1{,}36$ días
Con la columna FREC: $n = 50$ ✔, $\Sigma x = 121$ , $\Sigma x^2 = 385$ , $\bar{x} = 2{,}42$ , $\sigma_x = 1{,}3577…$ ≈ 1,36 días.
3. Media
Las notas de un examen en dos grupos son: 3.º A: 5, 6, 6, 7, 5, 6, 7, 6, 5, 7. 3.º B: 2, 9, 4, 10, 3, 8, 6, 9, 5, 4. Obtén con la calculadora la media y la desviación típica de cada grupo y compara los resultados.

Ver solución
3.º A: $\bar{x} = 6$ , $\sigma \approx 0{,}77$ . 3.º B: $\bar{x} = 6$ , $\sigma \approx 2{,}68$ . Misma media; 3.º B mucho más disperso.
3.º A: $n = 10$ , $\bar{x} = 6$ , $\sigma_x = 0{,}7745…$ ≈ 0,77. 3.º B: $n = 10$ , $\bar{x} = 6$ , $\sigma_x = 2{,}6832…$ ≈ 2,68. Tienen la misma media, pero en 3.º A las notas están muy agrupadas alrededor del 6 y en 3.º B hay notas muy altas y muy bajas.
4. Difícil
Una calculadora muestra, tras introducir unos datos: $n = 5$ , $\Sigma x = 40$ , $\Sigma x^2 = 360$ . a) Calcula la media, la varianza y la desviación típica a partir de estos tres números. b) Escribe cinco datos que den exactamente esos valores y compruébalo con la calculadora.

Ver solución
a) $\bar{x} = 8$ ; $\sigma^2 = 8$ ; $\sigma \approx 2{,}83$ . b) Por ejemplo: 4, 6, 8, 10, 12.
a) $\bar{x} = \dfrac{40}{5} = 8$ ; $\sigma^2 = \dfrac{360}{5} - 8^2 = 72 - 64 = 8$ ; $\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ . b) Por ejemplo, 4, 6, 8, 10, 12: suman 40 y sus cuadrados, $16 + 36 + 64 + 100 + 144 = 360$ ✔.

Media y desviación típica con la calculadora