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Matemáticas 3.º ESO · Parámetros de datos agrupados

Media de datos agrupados e intervalo modal

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la media aproximada de datos agrupados en intervalos usando las marcas de clase, identificar el intervalo modal en una tabla o en un histograma e interpretar ambos resultados.

Explicación

La media cuando los datos están en intervalos

En una tabla de datos agrupados no sabemos el valor exacto de cada dato, solo en qué intervalo está. Para calcular la media suponemos que todos los datos de un intervalo valen su marca de clase $x_i$ (el punto medio):

$x_i = \dfrac{a + b}{2} \qquad \bar{x} \approx \dfrac{\sum x_i \cdot f_i}{N}$

Intervalo	$x_i$	$f_i$	$x_i \cdot f_i$
$[a, b)$	$\frac{a+b}{2}$	…	…
		$N$	$\sum x_i f_i$

La media que se obtiene es aproximada: suele estar muy cerca de la media de los datos originales, pero no tiene por qué coincidir.

El intervalo modal

En datos agrupados no hablamos de un valor que se repite, sino del intervalo modal: el intervalo con mayor frecuencia. En un histograma (con intervalos de la misma amplitud) es el de la barra más alta.

Con calculadora

Se introducen las marcas de clase en la columna x y las frecuencias en la columna FREC; $\bar{x}$ es la media aproximada.

Puntos clave

Marca de clase: $x_i = \dfrac{a+b}{2}$ , el punto medio del intervalo.
Media de datos agrupados: $\bar{x} \approx \dfrac{\sum x_i f_i}{N}$ , usando las marcas de clase.
Es una media aproximada: se supone que todos los datos del intervalo valen la marca de clase.
Intervalo modal: el de mayor frecuencia (la barra más alta del histograma).

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar la frecuencia por un extremo del intervalo en lugar de por la marca de clase.
Cómo corregirloCalcula primero la columna $x_i = \frac{a+b}{2}$ y usa siempre esa columna.
ErrorDar como moda la frecuencia más alta o la marca de clase sin decir que es un intervalo.
Cómo corregirloLa respuesta es un intervalo: «el intervalo modal es $[20, 25)$ ».
ErrorDividir entre el número de intervalos.
Cómo corregirloSe divide entre $N = \sum f_i$ , el número total de datos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Recién nacidos situación real (tabla)

En un hospital de Madrid se ha registrado el peso de 40 recién nacidos durante una semana:

Peso (kg)	$[2;\ 2{,}5)$	$[2{,}5;\ 3)$	$[3;\ 3{,}5)$	$[3{,}5;\ 4)$	$[4;\ 4{,}5)$
Bebés	3	8	15	10	4

Calcula el peso medio y el intervalo modal.

Resolución

Intervalo	$x_i$	$f_i$	$x_i \cdot f_i$
$[2;\ 2{,}5)$	2,25	3	6,75
$[2{,}5;\ 3)$	2,75	8	22
$[3;\ 3{,}5)$	3,25	15	48,75
$[3{,}5;\ 4)$	3,75	10	37,5
$[4;\ 4{,}5)$	4,25	4	17
		40	132

$\bar{x} \approx \dfrac{132}{40} = 3{,}3$ kg. El intervalo con más bebés (15) es el intervalo modal: $[3;\ 3{,}5)$ kg. El peso medio de un recién nacido de este hospital es de unos 3,3 kg, y lo más frecuente es que pese entre 3 y 3,5 kg.

Ejemplo 2. Un concierto en el WiZink Center gráfico (histograma)

El histograma muestra las edades de 200 personas elegidas al azar entre el público de un concierto en el WiZink Center. Calcula la edad media aproximada y di cuál es el intervalo modal.

Resolución

Leemos el histograma: $[15, 20)$ : 40; $[20, 25)$ : 70; $[25, 30)$ : 50; $[30, 35)$ : 25; $[35, 40)$ : 15. Total: $N = 200$ ✔.

Intervalo	$x_i$	$f_i$	$x_i \cdot f_i$
$[15, 20)$	17,5	40	700
$[20, 25)$	22,5	70	1575
$[25, 30)$	27,5	50	1375
$[30, 35)$	32,5	25	812,5
$[35, 40)$	37,5	15	562,5
		200	5025

$\bar{x} \approx \dfrac{5025}{200} = 25{,}125 \approx 25{,}1$ años. La barra más alta es la de $[20, 25)$ : es el intervalo modal.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una web de electrónica vende 25 modelos de auriculares inalámbricos. Sus precios son:

Precio (€) $[0, 20)$ $[20, 40)$ $[40, 60)$ $[60, 80)$ $[80, 100)$

Modelos 3 8 7 4 3

Calcula el precio medio aproximado y el intervalo modal.

Ver solución
$\bar{x} \approx 46{,}80$ €; intervalo modal $[20, 40)$
Marcas: 10, 30, 50, 70, 90. $\sum x_i f_i = 30 + 240 + 350 + 280 + 270 = 1170$ . $\bar{x} \approx \dfrac{1170}{25} = 46{,}80$ €. Intervalo modal: $[20, 40)$ (8 modelos).
2. Media
El histograma recoge los tiempos de 60 corredores de un club en una carrera de 10 km. Calcula el tiempo medio aproximado y el intervalo modal.

Ver solución
$\bar{x} \approx 58{,}33$ min; intervalo modal $[55, 65)$
Del histograma: $[35, 45)$ : 6; $[45, 55)$ : 18; $[55, 65)$ : 21; $[65, 75)$ : 10; $[75, 85)$ : 5. $N = 60$ . Marcas: 40, 50, 60, 70, 80. $\sum x_i f_i = 240 + 900 + 1260 + 700 + 400 = 3500$ . $\bar{x} \approx \dfrac{3500}{60} \approx 58{,}33$ min (unos 58 min 20 s). Intervalo modal: $[55, 65)$ .
3. Media
Un radar de la M-30, en un tramo limitado a 70 km/h, mide la velocidad de 50 coches:

Velocidad (km/h) $[50, 60)$ $[60, 70)$ $[70, 80)$ $[80, 90)$

Coches 8 22 15 5

a) Calcula la velocidad media aproximada y el intervalo modal. b) ¿Qué porcentaje de coches iba a 70 km/h o más?

Ver solución
a) $\bar{x} \approx 68{,}4$ km/h; intervalo modal $[60, 70)$ . b) 40 %.
a) Marcas: 55, 65, 75, 85. $\sum x_i f_i = 440 + 1430 + 1125 + 425 = 3420$ → $\bar{x} \approx \dfrac{3420}{50} = 68{,}4$ km/h. Intervalo modal: $[60, 70)$ . b) $15 + 5 = 20$ coches de 50 → $\dfrac{20}{50} = 0{,}4$ → 40 %. Aunque la media está por debajo del límite, muchos coches lo superan.
4. Difícil
Estas son las puntuaciones (de 0 a 40) de 20 jugadores en un juego de lógica: 4, 8, 12, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 36, 39. a) Calcula la media exacta. b) Agrupa los datos en $[0, 10)$ , $[10, 20)$ , $[20, 30)$ y $[30, 40]$ y calcula la media con las marcas de clase. c) ¿Cuánto se diferencian? ¿Por qué?

Ver solución
a) 22,85. b) 22,5. c) 0,35 puntos; la agrupada es aproximada.
a) Suma: 457 → $\bar{x} = \dfrac{457}{20} = 22{,}85$ puntos. b) Frecuencias: $[0, 10)$ : 2; $[10, 20)$ : 5; $[20, 30)$ : 9; $[30, 40]$ : 4. Marcas: 5, 15, 25, 35. $\sum x_i f_i = 10 + 75 + 225 + 140 = 450$ → $\bar{x} \approx \dfrac{450}{20} = 22{,}5$ puntos. c) Se diferencian en $0{,}35$ puntos. Al agrupar, cada dato se sustituye por la marca de su intervalo (por ejemplo, el 4 cuenta como 5 y el 19 como 15): se pierde información y la media es solo aproximada.

Precio (€)	$[0, 20)$	$[20, 40)$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	$[80, 100)$
Modelos	3	8	7	4	3

Velocidad (km/h)	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$
Coches	8	22	15	5

Para practicar más

1. Fácil
Una compañía eléctrica mide el consumo diario de 30 hogares:

Consumo (kWh) $[0, 4)$ $[4, 8)$ $[8, 12)$ $[12, 16)$

Hogares 5 12 8 5

Calcula el consumo medio aproximado y el intervalo modal.

Ver solución
$\bar{x} \approx 7{,}73$ kWh; intervalo modal $[4, 8)$
Marcas: 2, 6, 10, 14. $\sum x_i f_i = 10 + 72 + 80 + 70 = 232$ → $\bar{x} \approx \dfrac{232}{30} \approx 7{,}73$ kWh. Intervalo modal: $[4, 8)$ .
2. Fácil
El histograma muestra la duración de los 40 partidos de un torneo de tenis. Calcula la duración media aproximada y el intervalo modal.

Ver solución
$\bar{x} \approx 125$ min; intervalo modal $[100, 120)$
Del histograma: $[80, 100)$ : 4; $[100, 120)$ : 14; $[120, 140)$ : 12; $[140, 160)$ : 8; $[160, 180)$ : 2. $N = 40$ . Marcas: 90, 110, 130, 150, 170. $\sum x_i f_i = 360 + 1540 + 1560 + 1200 + 340 = 5000$ → $\bar{x} \approx \dfrac{5000}{40} = 125$ min. Intervalo modal: $[100, 120)$ .
3. Media
Un servicio de atención al cliente anota la duración de 25 llamadas: 5 duran entre 0 y 10 min, 10 duran entre 10 y 20 min y 10 duran entre 20 y 30 min (intervalos $[0, 10)$ , $[10, 20)$ y $[20, 30)$ ). a) Calcula la duración media aproximada. b) ¿Por qué no se puede dar un único intervalo modal?

Ver solución
a) 17 min. b) Hay dos intervalos con la frecuencia máxima.
a) Marcas: 5, 15, 25. $\sum x_i f_i = 25 + 150 + 250 = 425$ → $\bar{x} \approx \dfrac{425}{25} = 17$ min. b) $[10, 20)$ y $[20, 30)$ tienen la misma frecuencia (10), la mayor: hay dos intervalos modales.
4. Difícil
En una tabla de datos agrupados se ha borrado una frecuencia:

Intervalo $[0, 10)$ $[10, 20)$ $[20, 30)$

$f_i$ 6 ? 9

Sabiendo que la media aproximada es 16, halla la frecuencia que falta.

Ver solución
15
Marcas: 5, 15, 25. Si la frecuencia que falta es $f$ : $\dfrac{5 \cdot 6 + 15 f + 25 \cdot 9}{6 + f + 9} = 16 \;\Rightarrow\; 255 + 15 f = 16(15 + f) = 240 + 16 f \;\Rightarrow\; f = 15$ Comprobación: $\dfrac{30 + 225 + 225}{30} = \dfrac{480}{30} = 16$ ✔.