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Matemáticas 3.º ESO · Medidas de dispersión con calculadora

Varianza y desviación típica en tablas de frecuencias: la fórmula abreviada

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la varianza y la desviación típica de datos dados en una tabla de frecuencias con la fórmula abreviada, usando las columnas $x_i \cdot f_i$ y $x_i^2 \cdot f_i$ .

Explicación

Una fórmula más cómoda

Cuando hay muchos datos (y sobre todo si la media no es un número redondo), la tabla de desviaciones es pesada. Desarrollando el cuadrado se llega a una fórmula equivalente, la fórmula abreviada:

$\sigma^2 = \dfrac{\sum x_i^2 \cdot f_i}{N} - \bar{x}^2$

«La media de los cuadrados menos el cuadrado de la media.»

Tabla para datos con frecuencias:

$x_i$	$f_i$	$x_i \cdot f_i$	$x_i^2 \cdot f_i$
…	…	…	…
	$N$	$\sum x_i f_i$	$\sum x_i^2 f_i$

$\bar{x} = \dfrac{\sum x_i f_i}{N}$ .
$\sigma^2 = \dfrac{\sum x_i^2 f_i}{N} - \bar{x}^2$ .
$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ .

Con datos sueltos es lo mismo con todas las $f_i = 1$ : $\sigma^2 = \dfrac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$ .

Cuidado con el redondeo: usa la media sin redondear (en fracción o con la memoria de la calculadora); si la redondeas antes de elevarla al cuadrado, la varianza puede salir distinta.

Puntos clave

Fórmula abreviada: $\sigma^2 = \dfrac{\sum x_i^2 f_i}{N} - \bar{x}^2$ .
La columna $x_i^2 \cdot f_i$ es el cuadrado del dato por su frecuencia, no $(x_i \cdot f_i)^2$ .
Da lo mismo que la definición; es más rápida con tablas.
No redondees la media antes de elevarla al cuadrado.

Errores frecuentes

ErrorCalcular la columna como $(x_i \cdot f_i)^2$ .
Cómo corregirloEs $x_i^2 \cdot f_i$ : primero el cuadrado del dato y luego por la frecuencia. Truco: $x_i^2 f_i = x_i \cdot (x_i f_i)$ .
ErrorOlvidar restar $\bar{x}^2$ o restar $\bar{x}$ sin elevar.
Cómo corregirloLa fórmula resta el cuadrado de la media. Si te sale una varianza negativa, hay un error seguro.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Cuántos deportes practicas? numérico (tabla)
Se pregunta a 20 personas que van a un polideportivo cuántos deportes practican: 1 deporte, 6 personas; 2, 9; 3, 4; 4, 1. Calcula la varianza y la desviación típica.

Resolución

$x_i$ $f_i$ $x_i f_i$ $x_i^2 f_i$

1 6 6 6

2 9 18 36

3 4 12 36

4 1 4 16

20 40 94

$\bar{x} = \dfrac{40}{20} = 2$ deportes. $\sigma^2 = \dfrac{94}{20} - 2^2 = 4{,}7 - 4 = 0{,}7$ ; $\sigma = \sqrt{0{,}7} \approx 0{,}84$ deportes.

$x_i$	$f_i$	$x_i f_i$	$x_i^2 f_i$
1	6	6	6
2	9	18	36
3	4	12	36
4	1	4	16
	20	40	94

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula la varianza de 3, 5, 6, 8, 8 con la definición y con la fórmula abreviada. Comprueba que coinciden y halla la desviación típica.

Ver solución
$\sigma^2 = 3{,}6$ ; $\sigma \approx 1{,}90$
$\bar{x} = \dfrac{30}{5} = 6$ . Definición: desviaciones −3, −1, 0, 2, 2 → cuadrados 9, 1, 0, 4, 4 → $\dfrac{18}{5} = 3{,}6$ . Abreviada: $\sum x_i^2 = 9 + 25 + 36 + 64 + 64 = 198$ → $\dfrac{198}{5} - 6^2 = 39{,}6 - 36 = 3{,}6$ . ✔ $\sigma = \sqrt{3{,}6} \approx 1{,}90$ .
2. Media
Veinte alumnos indican cuántas horas semanales dedican a actividades extraescolares: 0 h, 3 alumnos; 2 h, 7; 4 h, 8; 6 h, 2. Calcula la media y la desviación típica.

Ver solución
$\bar{x} = 2{,}9$ h; $\sigma \approx 1{,}73$ h
$\sum x_i f_i = 0 + 14 + 32 + 12 = 58$ → $\bar{x} = 2{,}9$ h. $\sum x_i^2 f_i = 0 + 28 + 128 + 72 = 228$ → $\sigma^2 = \dfrac{228}{20} - 2{,}9^2 = 11{,}4 - 8{,}41 = 2{,}99$ ; $\sigma \approx 1{,}73$ h.
3. Difícil
Se pregunta a 100 trabajadores de una oficina cuántos cafés toman al día: 0 cafés, 18 personas; 1, 40; 2, 27; 3, 11; 4, 4. Calcula la media y la desviación típica.

Ver solución
$\bar{x} = 1{,}43$ cafés; $\sigma \approx 1{,}03$ cafés
$\sum x_i f_i = 0 + 40 + 54 + 33 + 16 = 143$ → $\bar{x} = 1{,}43$ cafés. $\sum x_i^2 f_i = 0 + 40 + 108 + 99 + 64 = 311$ → $\sigma^2 = 3{,}11 - 1{,}43^2 = 3{,}11 - 2{,}0449 = 1{,}0651$ ; $\sigma \approx 1{,}03$ cafés.

Para practicar más

1. Fácil
Comprueba que la varianza de 1, 2, 2, 3, 7 es la misma con la definición y con la fórmula abreviada.

Ver solución
$\sigma^2 = 4{,}4$ por los dos caminos
$\bar{x} = \dfrac{15}{5} = 3$ . Definición: cuadrados de las desviaciones 4, 1, 1, 0, 16 → $\dfrac{22}{5} = 4{,}4$ . Abreviada: $\sum x_i^2 = 1 + 4 + 4 + 9 + 49 = 67$ → $\dfrac{67}{5} - 9 = 13{,}4 - 9 = 4{,}4$ . ✔
2. Media
Se cuentan las plantas de los 20 edificios de una calle: 3 plantas, 2 edificios; 4, 5; 5, 6; 6, 4; 8, 3. Calcula la media y la desviación típica.

Ver solución
$\bar{x} = 5{,}2$ plantas; $\sigma \approx 1{,}47$ plantas
$\sum x_i f_i = 6 + 20 + 30 + 24 + 24 = 104$ → $\bar{x} = 5{,}2$ . $\sum x_i^2 f_i = 18 + 80 + 150 + 144 + 192 = 584$ → $\sigma^2 = 29{,}2 - 27{,}04 = 2{,}16$ ; $\sigma \approx 1{,}47$ .
3. Difícil
Número de tarjetas amarillas en 30 partidos de una liga juvenil: 0 tarjetas, 4 partidos; 1, 6; 2, 9; 3, 7; 4, 4. Calcula la media y la desviación típica (usa la media sin redondear).

Ver solución
$\bar{x} \approx 2{,}03$ ; $\sigma \approx 1{,}22$
$\sum x_i f_i = 0 + 6 + 18 + 21 + 16 = 61$ → $\bar{x} = \dfrac{61}{30} \approx 2{,}03$ . $\sum x_i^2 f_i = 0 + 6 + 36 + 63 + 64 = 169$ → $\sigma^2 = \dfrac{169}{30} - \left(\dfrac{61}{30}\right)^2 \approx 5{,}6333 - 4{,}1344 = 1{,}4989$ ; $\sigma \approx 1{,}22$ . (Si se redondea antes la media a 2,03, sale $\sigma \approx 1{,}23$ : por eso conviene no redondear.)