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Matemáticas 3.º ESO · Medidas de dispersión con calculadora

Recuerda: recorrido y desviación media

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el recorrido y la desviación media de un conjunto de datos e interpretar qué indican sobre lo agrupados o dispersos que están.

Recuerda

¿Están juntos o separados los datos?

Dos conjuntos de datos pueden tener la misma media y ser muy distintos: en uno los datos están todos cerca de la media y en otro, muy separados. Las medidas de dispersión miden esa separación.

Recorrido

Recorrido (o rango): la diferencia entre el dato mayor y el menor. $R = x_{\text{máx}} - x_{\text{mín}}$ Es muy fácil de calcular, pero solo usa dos datos.

Para calcularlo:

Busca el dato mayor y el menor (si los datos están desordenados, ordénalos o repásalos todos; ¡no restes el último menos el primero!).
Resta: mayor − menor.
Escribe la unidad: el recorrido de unas temperaturas va en °C; el de unos precios, en €.

Recorrido pequeño → los datos son parecidos entre sí y la media los representa bien. Recorrido grande → hay datos muy distintos.

Desviación media

Desviación media: la media de las distancias de cada dato a la media.

Calcula la media $\bar{x}$ .
Calcula cada desviación $x_i - \bar{x}$ y quítale el signo: $|x_i - \bar{x}|$ .
Haz la media de esas distancias: $DM = \dfrac{\sum |x_i - \bar{x}|}{N}$

Las desviaciones con signo siempre suman 0 (las de los datos de arriba compensan las de abajo); por eso se usa el valor absoluto.

Cuanto mayores son el recorrido y la desviación media, más dispersos están los datos y menos representativa es la media.

Puntos clave

Recorrido: $R = x_{\text{máx}} - x_{\text{mín}}$ .
Recorrido pequeño: datos parecidos y media representativa. Recorrido grande: datos muy distintos.
Desviación media: $DM = \dfrac{\sum |x_i - \bar{x}|}{N}$ .
Las desviaciones $x_i - \bar{x}$ suman 0; por eso se toman en valor absoluto.
Más dispersión → la media representa peor a los datos.

Errores frecuentes

ErrorSumar las desviaciones con su signo y obtener 0.
Cómo corregirloUsa el valor absoluto: $|-2| = 2$ . Todas las distancias son positivas.
ErrorCalcular el recorrido como el último dato menos el primero de la lista desordenada.
Cómo corregirloBusca el mayor y el menor de todos los datos.
ErrorDar el recorrido sin unidades o confundirlo con el dato mayor.
Cómo corregirloEl recorrido es una resta (mayor − menor) y lleva la misma unidad que los datos: 15 °C, 9 €, 26 cm…

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Quién es más regular? numérico (comparar dos listas)
Lucía y Marcos han hecho cinco exámenes. Lucía: 4, 6, 5, 7, 8. Marcos: 2, 9, 6, 10, 3. Los dos tienen media 6. Calcula el recorrido y la desviación media de cada uno. ¿Quién es más regular?

Resolución
Comprobamos la media: Lucía $\dfrac{30}{5} = 6$ ; Marcos $\dfrac{30}{5} = 6$ .

Recorrido: Lucía $R = 8 - 4 = 4$ ; Marcos $R = 10 - 2 = 8$ .

Desviación media:

Lucía $x_i$ 4 6 5 7 8

$\lvert x_i - 6 \rvert$ 2 0 1 1 2

$DM = \dfrac{2 + 0 + 1 + 1 + 2}{5} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$

Marcos $x_i$ 2 9 6 10 3

$\lvert x_i - 6 \rvert$ 4 3 0 4 3

$DM = \dfrac{4 + 3 + 0 + 4 + 3}{5} = \dfrac{14}{5} = 2{,}8$

Lucía es más regular: sus notas se alejan de la media 1,2 puntos de promedio; las de Marcos, 2,8.

Lucía $x_i$	4	6	5	7	8
$\lvert x_i - 6 \rvert$	2	0	1	1	2

Marcos $x_i$	2	9	6	10	3
$\lvert x_i - 6 \rvert$	4	3	0	4	3

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Las temperaturas (°C) a lo largo de un día de julio en Madrid fueron: 22, 26, 31, 35, 37, 33, 27. Calcula el recorrido.

Ver solución
$R = 15$ °C
$R = 37 - 22 = 15$ °C.
2. Fácil
Los minutos de espera en una consulta durante 5 días fueron: 10, 15, 5, 20, 10. Calcula la media y la desviación media.

Ver solución
$\bar{x} = 12$ min; $DM = 4{,}4$ min
$\bar{x} = \dfrac{60}{5} = 12$ min. $|x_i - 12|$ : 2, 3, 7, 8, 2 → $DM = \dfrac{22}{5} = 4{,}4$ min.
3. Media
Dos panaderías venden barras de 250 g. Se pesan cinco barras de cada una (en g). Panadería A: 248, 252, 250, 249, 251. Panadería B: 240, 260, 250, 245, 255. a) Comprueba que el peso medio es el mismo. b) Calcula el recorrido y la desviación media de cada una. c) ¿En cuál es más fiable el peso de la barra?

Ver solución
a) 250 g las dos. b) A: $R = 4$ g, $DM = 1{,}2$ g; B: $R = 20$ g, $DM = 6$ g. c) En la A.
a) A: $\dfrac{1250}{5} = 250$ g; B: $\dfrac{1250}{5} = 250$ g. b) A: $R = 252 - 248 = 4$ g; desviaciones 2, 2, 0, 1, 1 → $DM = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$ g. B: $R = 260 - 240 = 20$ g; desviaciones 10, 10, 0, 5, 5 → $DM = \dfrac{30}{5} = 6$ g. c) En la A: sus barras se separan mucho menos de 250 g.

Para practicar más

1. Fácil
El precio (€) de un kilo de tomates en 6 fruterías de un barrio es: 2,10; 2,50; 1,90; 2,30; 2,60; 2,40. Calcula el recorrido, la media y la desviación media.

Ver solución
$R = 0{,}70$ €; $\bar{x} = 2{,}30$ €; $DM = 0{,}20$ €
$R = 2{,}60 - 1{,}90 = 0{,}70$ €. $\bar{x} = \dfrac{13{,}8}{6} = 2{,}30$ €. $|x_i - 2{,}30|$ : 0,20; 0,20; 0,40; 0; 0,30; 0,10 → suma 1,20 → $DM = \dfrac{1{,}2}{6} = 0{,}20$ €.
2. Media
Considera los conjuntos A: 1, 5, 5, 5, 9 y B: 1, 1, 5, 9, 9. a) Calcula la media y el recorrido de cada uno. b) Calcula la desviación media de cada uno. c) ¿Basta el recorrido para comparar la dispersión?

Ver solución
a) Media 5 y $R = 8$ en los dos. b) A: 1,6; B: 3,2. c) No.
a) Las dos medias son $\dfrac{25}{5} = 5$ ; los dos recorridos, $9 - 1 = 8$ . b) A: distancias 4, 0, 0, 0, 4 → $DM = \dfrac{8}{5} = 1{,}6$ . B: 4, 4, 0, 4, 4 → $DM = \dfrac{16}{5} = 3{,}2$ . c) No: tienen el mismo recorrido, pero los datos de B están más separados de la media. El recorrido solo mira los extremos.
3. Media
Calcula la media de 3, 7 y 8 y las desviaciones $x_i - \bar{x}$ con su signo. ¿Cuánto suman? ¿Por qué crees que ocurre siempre?

Ver solución
Media 6; desviaciones −3, 1, 2; suman 0.
$\bar{x} = \dfrac{18}{3} = 6$ . Desviaciones: $3 - 6 = -3$ , $7 - 6 = 1$ , $8 - 6 = 2$ . Suma: $-3 + 1 + 2 = 0$ . Ocurre siempre: la media es el «punto de equilibrio», así que lo que unos datos están por encima lo compensan los que están por debajo.