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Matemáticas 3.º ESO · Medidas de dispersión con calculadora

Recuerda: varianza y desviación típica

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la varianza y la desviación típica de datos sueltos con la definición (tabla de desviaciones al cuadrado) y usarlas para comparar la dispersión de dos conjuntos.

Recuerda

Varianza y desviación típica

En lugar de quitar el signo a las desviaciones con el valor absoluto, se pueden elevar al cuadrado. Así se obtienen las medidas de dispersión más usadas:

Varianza $\sigma^2$ : la media de los cuadrados de las desviaciones. $\sigma^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}$

Desviación típica $\sigma$ : la raíz cuadrada de la varianza. $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Cómo se calcula (tabla de tres columnas):

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$

Calcula la media.
Rellena las desviaciones (con signo; su suma debe dar 0: sirve de comprobación).
Eleva al cuadrado, suma y divide entre $N$ : es la varianza.
Haz la raíz: es la desviación típica.

La varianza tiene las unidades al cuadrado (€², cm²…), así que para interpretar se usa la desviación típica, que tiene las mismas unidades que los datos. A mayor desviación típica, más dispersos están los datos. Si todos los datos son iguales, $\sigma = 0$ .

¿Qué indica la desviación típica?

La desviación típica es una especie de «distancia típica» de los datos a la media:

Si $\sigma$ es pequeña, los datos están muy agrupados alrededor de la media: el conjunto es homogéneo y la media lo representa bien.
Si $\sigma$ es grande, los datos están muy separados: el conjunto es heterogéneo.
En muchos conjuntos de datos, la mayoría de los datos están entre $\bar{x} - \sigma$ y $\bar{x} + \sigma$ .

Si a todos los datos se les suma el mismo número, la media aumenta en ese número, pero la desviación típica no cambia: los datos se desplazan todos juntos y siguen igual de separados.

Con la calculadora

Las calculadoras científicas tienen un modo estadístico (STAT o SD): se introducen los datos y dan la media $\bar{x}$ y la desviación típica, que suele aparecer como $\sigma_x$ o $\sigma_n$ . Úsala para comprobar el resultado de la tabla. Cuidado: $s_x$ (o $\sigma_{n-1}$ ) es otro parámetro, que divide entre $N - 1$ .

Puntos clave

Varianza: $\sigma^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}$ .
Desviación típica: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ , en las mismas unidades que los datos.
Las desviaciones con signo suman 0: es la comprobación de la tabla.
Mayor $\sigma$ → datos más dispersos; $\sigma = 0$ → todos los datos iguales.
Sumar el mismo número a todos los datos cambia la media, pero no la desviación típica.

Errores frecuentes

ErrorElevar al cuadrado los datos en vez de las desviaciones.
Cómo corregirloPrimero resta la media a cada dato y después eleva al cuadrado: $(x_i - \bar{x})^2$ .
ErrorDar la varianza como desviación típica (olvidar la raíz).
Cómo corregirloLa varianza es el cuadrado: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ . Comprueba las unidades: $\sigma$ va en las mismas unidades que los datos.
ErrorEscribir $-2^2 = -4$ en la tabla.
Cómo corregirloEl cuadrado de una desviación negativa es positivo: $(-2)^2 = 4$ .
ErrorTomar en la calculadora $s_x$ (o $\sigma_{n-1}$ ) en lugar de $\sigma_x$ .
Cómo corregirloLa desviación típica de esta unidad divide entre $N$ : en la calculadora es $\sigma_x$ (o $\sigma_n$ ). Comprueba con la tabla al menos una vez.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Goles de waterpolo numérico (tabla de desviaciones)
Un equipo de waterpolo ha marcado en 6 partidos: 3, 5, 2, 6, 4, 4 goles. Calcula la varianza y la desviación típica.

Resolución
Media: $\bar{x} = \dfrac{24}{6} = 4$ goles.

$x_i$ $x_i - \bar{x}$ $(x_i - \bar{x})^2$

3 −1 1

5 1 1

2 −2 4

6 2 4

4 0 0

4 0 0

suma 0 ✔ 10

$\sigma^2 = \dfrac{10}{6} \approx 1{,}67$ goles²; $\sigma = \sqrt{1{,}67} \approx 1{,}29$ goles.
Ejemplo 2. Dos atletas de 400 m situación real (comparar)
Dos atletas corren cinco carreras de 400 m. Tiempos (s) de Alba: 61,1; 61,3; 61,2; 61,4; 61,0. Tiempos de Berta: 60,8; 61,6; 61,0; 61,7; 60,9. Las dos tienen media 61,2 s. ¿Cuál es más regular?

Resolución
Alba: desviaciones −0,1; 0,1; 0; 0,2; −0,2 → cuadrados 0,01; 0,01; 0; 0,04; 0,04 → suma 0,10. $\sigma^2 = \dfrac{0{,}10}{5} = 0{,}02$ ; $\sigma = \sqrt{0{,}02} \approx 0{,}14$ s.

Berta: desviaciones −0,4; 0,4; −0,2; 0,5; −0,3 → cuadrados 0,16; 0,16; 0,04; 0,25; 0,09 → suma 0,70. $\sigma^2 = \dfrac{0{,}70}{5} = 0{,}14$ ; $\sigma = \sqrt{0{,}14} \approx 0{,}37$ s.

Alba es más regular (su desviación típica es menor), aunque Berta ha hecho la mejor marca (60,8 s).

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
3	−1	1
5	1	1
2	−2	4
6	2	4
4	0	0
4	0	0
	suma 0 ✔	10

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula la varianza y la desviación típica de: 2, 4, 4, 6, 9.

Ver solución
$\sigma^2 = 5{,}6$ ; $\sigma \approx 2{,}37$
$\bar{x} = \dfrac{25}{5} = 5$ . Desviaciones: −3, −1, −1, 1, 4 (suman 0 ✔). Cuadrados: 9, 1, 1, 1, 16 → suma 28. $\sigma^2 = \dfrac{28}{5} = 5{,}6$ ; $\sigma = \sqrt{5{,}6} \approx 2{,}37$ .
2. Fácil
Carla anota las horas diarias que usa el móvil durante 5 días: 3, 2, 4, 5, 1. Calcula la media y la desviación típica.

Ver solución
$\bar{x} = 3$ h; $\sigma \approx 1{,}41$ h
$\bar{x} = \dfrac{15}{5} = 3$ h. Desviaciones: 0, −1, 1, 2, −2. Cuadrados: 0, 1, 1, 4, 4 → suma 10. $\sigma^2 = \dfrac{10}{5} = 2$ h²; $\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ h.
3. Media
Dos gimnastas obtienen estas puntuaciones en cinco ejercicios. Ana: 8,5; 9; 8; 9,5; 9. Bea: 7; 10; 9,5; 8; 9,5. a) Comprueba que tienen la misma media. b) Calcula la desviación típica de cada una. c) ¿Quién es más regular?

Ver solución
a) 8,8. b) Ana ≈ 0,51; Bea ≈ 1,12. c) Ana.
a) Las dos suman 44 → $\bar{x} = \dfrac{44}{5} = 8{,}8$ . b) Ana: desviaciones −0,3; 0,2; −0,8; 0,7; 0,2 → cuadrados 0,09; 0,04; 0,64; 0,49; 0,04 → suma 1,30 → $\sigma^2 = 0{,}26$ ; $\sigma \approx 0{,}51$ . Bea: desviaciones −1,8; 1,2; 0,7; −0,8; 0,7 → cuadrados 3,24; 1,44; 0,49; 0,64; 0,49 → suma 6,30 → $\sigma^2 = 1{,}26$ ; $\sigma \approx 1{,}12$ . c) Ana, porque su desviación típica es menor.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula la varianza y la desviación típica de: 10, 12, 14, 16, 18.

Ver solución
$\sigma^2 = 8$ ; $\sigma \approx 2{,}83$
$\bar{x} = 14$ . Desviaciones: −4, −2, 0, 2, 4. Cuadrados: 16, 4, 0, 4, 16 → 40. $\sigma^2 = \dfrac{40}{5} = 8$ ; $\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ .
2. Media
Un repartidor anota cuántos paquetes entrega en cada una de las 6 horas de su turno: 18, 22, 20, 25, 15, 20. Calcula la media y la desviación típica.

Ver solución
$\bar{x} = 20$ paquetes; $\sigma \approx 3{,}11$ paquetes
$\bar{x} = \dfrac{120}{6} = 20$ paquetes. Desviaciones: −2, 2, 0, 5, −5, 0. Cuadrados: 4, 4, 0, 25, 25, 0 → 58. $\sigma^2 = \dfrac{58}{6} \approx 9{,}67$ ; $\sigma \approx 3{,}11$ paquetes.
3. Media
Sin hacer cálculos, ordena de menor a mayor desviación típica los conjuntos A: 7, 7, 7, 7; B: 6, 7, 7, 8; C: 1, 7, 7, 13. Después, calcula la desviación típica de cada uno para comprobarlo.

Ver solución
A < B < C: $\sigma_A = 0$ ; $\sigma_B \approx 0{,}71$ ; $\sigma_C \approx 4{,}24$
Los tres tienen media 7. A no tiene dispersión; en C los extremos están mucho más lejos que en B: A < B < C. A: todas las desviaciones son 0 → $\sigma = 0$ . B: cuadrados 1, 0, 0, 1 → $\sigma^2 = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$ ; $\sigma \approx 0{,}71$ . C: cuadrados 36, 0, 0, 36 → $\sigma^2 = \dfrac{72}{4} = 18$ ; $\sigma \approx 4{,}24$ .