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Matemáticas 3.º ESO · Media, mediana y moda

Problemas inversos con la media: el dato que falta y la unión de grupos

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas inversos con la media: hallar un dato desconocido, calcular la nota necesaria para llegar a una media y obtener la media de la unión de dos grupos.

Explicación

La idea clave

Si $N$ datos tienen media $\bar{x}$ , su suma es

$\sum x_i = \bar{x} \cdot N$

Con esto se resuelven los problemas «al revés»:

Dato que falta. Suma total que debería haber ( $\bar{x} \cdot N$ ) menos la suma de los datos conocidos.
Nota necesaria. Igual: la suma que necesitas para llegar a la media que quieres, menos lo que ya llevas.
Unión de dos grupos. Se suman los totales de cada grupo y se divide entre el número total de datos: $\bar{x} = \dfrac{N_1 \cdot \bar{x}_1 + N_2 \cdot \bar{x}_2}{N_1 + N_2}$ ¡Ojo! Si los grupos tienen distinto tamaño, la media de la unión no es la media de las dos medias: el grupo más grande pesa más.

Puntos clave

Suma de los datos = media · número de datos.
Dato que falta = $\bar{x} \cdot N$ − suma de los datos conocidos.
Unión de grupos: $\bar{x} = \dfrac{N_1 \bar{x}_1 + N_2 \bar{x}_2}{N_1 + N_2}$ , no la media de las medias.

Errores frecuentes

ErrorCalcular la media de la unión como $\dfrac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2}$ .
Cómo corregirloSolo vale si los dos grupos tienen el mismo número de datos. En general, recupera las sumas: $N_1 \bar{x}_1 + N_2 \bar{x}_2$ .
ErrorOlvidar contar el dato nuevo en $N$ al buscar la nota necesaria.
Cómo corregirloSi llevas 3 exámenes y falta el cuarto, la media final se divide entre 4.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Qué necesito en el último examen? situación real
Carmen ha sacado 6, 7 y 5 en los tres primeros exámenes del trimestre. Queda un cuarto examen, y todos cuentan lo mismo. ¿Qué nota necesita para que su media sea 6,5?

Resolución
Para tener media 6,5 con 4 exámenes, la suma de las notas tiene que ser $6{,}5 \cdot 4 = 26$ . Ya lleva $6 + 7 + 5 = 18$ . Le faltan $26 - 18 = 8$ . Necesita un 8. Comprobación: $\dfrac{6 + 7 + 5 + 8}{4} = \dfrac{26}{4} = 6{,}5$ . ✔ (También se puede plantear la ecuación $\dfrac{18 + x}{4} = 6{,}5$ .)
Ejemplo 2. Dos grupos de 3.º numérico (unión de grupos)
En un examen común, los 25 alumnos de 3.º A sacan de media 6,2 y los 20 de 3.º B, 7,1. ¿Cuál es la media de los 45 alumnos?

Resolución
Sumas de notas: 3.º A, $25 \cdot 6{,}2 = 155$ ; 3.º B, $20 \cdot 7{,}1 = 142$ . $\bar{x} = \dfrac{155 + 142}{25 + 20} = \dfrac{297}{45} = 6{,}6$ La media de las medias sería $\dfrac{6{,}2 + 7{,}1}{2} = 6{,}65$ , que no es correcta: 3.º A tiene más alumnos y acerca la media a su 6,2.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
La media de los números 12, 15, $x$ , 9 y 14 es 12. Halla $x$ .

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$x = 10$
Suma total: $12 \cdot 5 = 60$ . Conocidos: $12 + 15 + 9 + 14 = 50$ . $x = 60 - 50 = 10$ .
2. Media
Un restaurante ha servido una media de 14 menús vegetarianos al día durante 9 días. ¿Cuántos tiene que servir el décimo día para que la media pase a ser 15 menús al día?

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24 menús
En 9 días ha servido $14 \cdot 9 = 126$ menús. Para media 15 en 10 días necesita $15 \cdot 10 = 150$ . El décimo día debe servir $150 - 126 = 24$ menús.
3. Difícil
La edad media de los 40 socios de un club de escalada es 32 años. Se apuntan 10 socios nuevos y la edad media de los 50 pasa a ser 30 años. ¿Cuál es la edad media de los socios nuevos?

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22 años
Suma de edades antes: $40 \cdot 32 = 1280$ . Después: $50 \cdot 30 = 1500$ . Los nuevos suman $1500 - 1280 = 220$ años → media $= \dfrac{220}{10} = 22$ años.

Para practicar más

1. Fácil
La media de cuatro números es 7. Tres de ellos son 5, 8 y 10. ¿Cuál es el cuarto?

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5
Suma: $7 \cdot 4 = 28$ . $28 - (5 + 8 + 10) = 28 - 23 = 5$ .
2. Media
La media de un examen en una clase de 30 alumnos es 5,8. Al revisar, a dos alumnos se les sube 1,5 puntos a cada uno. ¿Cuál es la nueva media?

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5,9
Suma antes: $30 \cdot 5{,}8 = 174$ . Sube $2 \cdot 1{,}5 = 3$ puntos → $177$ . Nueva media: $\dfrac{177}{30} = 5{,}9$ .
3. Difícil
Lucas tiene un 4,5 y un 5,5 en las dos primeras evaluaciones. La tercera evaluación cuenta el doble que cada una de las otras. ¿Qué nota mínima necesita en la tercera para que su media final sea al menos 6?

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7
Media ponderada con pesos 1, 1 y 2: $\dfrac{4{,}5 + 5{,}5 + 2x}{4} \geq 6$ . $10 + 2x \geq 24 \Rightarrow 2x \geq 14 \Rightarrow x \geq 7$ . Necesita al menos un 7.