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Matemáticas 3.º ESO · Cuartiles y diagrama de caja y bigotes

Recuerda: los cuartiles de un conjunto de datos

Objetivo: Al terminar, sabrás ordenar un conjunto pequeño de datos, calcular sus tres cuartiles ( $Q_1$ , $Q_2 = Me$ y $Q_3$ ) e interpretar qué parte de los datos queda por debajo de cada uno.

Recuerda

Los cuartiles

Los cuartiles son tres valores que dividen los datos ordenados en cuatro partes con el mismo número de datos (un 25 % cada una):

Primer cuartil, $Q_1$ : deja por debajo (o igual) al menos el 25 % de los datos.
Segundo cuartil, $Q_2$ : deja por debajo la mitad de los datos. Es la mediana: $Q_2 = Me$ .
Tercer cuartil, $Q_3$ : deja por debajo al menos el 75 % de los datos.

Cómo se calculan

Ordena los datos de menor a mayor y cuenta cuántos hay: $N$ .
Calcula la posición: $\dfrac{N}{4}$ para $Q_1$ , $\dfrac{N}{2}$ para la mediana y $\dfrac{3N}{4}$ para $Q_3$ .
Mira el resultado:
- si no es entero, el cuartil es el dato que ocupa el lugar siguiente (por ejemplo, $2{,}75 \to$ 3.º dato);
- si es entero, el cuartil es la media del dato que ocupa ese lugar y el del siguiente (por ejemplo, $3 \to$ media del 3.º y el 4.º dato).

	25 %	25 %	25 %	25 %
mínimo		$Q_1$	$Me$	$Q_3$	máximo

El 50 % central y el rango intercuartílico

Entre $Q_1$ y $Q_3$ queda la mitad central de los datos. La diferencia $RIC = Q_3 - Q_1$ se llama rango intercuartílico y mide lo separados que están los datos de esa mitad central. A diferencia del recorrido, no le afectan los datos muy alejados, porque deja fuera el 25 % de los datos más bajos y el 25 % de los más altos.

Cuantiles y percentiles

Los cuartiles son un tipo de cuantiles: valores que reparten los datos ordenados en partes con el mismo número de datos. Los percentiles los reparten en 100 partes: el percentil 90, $P_{90}$ , deja por debajo (o igual) el 90 % de los datos y por encima, el 10 %. Así, $Q_1 = P_{25}$ , $Me = P_{50}$ y $Q_3 = P_{75}$ .

Los percentiles se usan mucho para decir qué posición ocupa un dato dentro de un grupo: por ejemplo, en las tablas de peso y estatura de los pediatras o en las pruebas de acceso.

Puntos clave

Antes de nada, ordena los datos.
$Q_1$ , $Q_2$ y $Q_3$ dividen los datos ordenados en cuatro partes con el 25 % de los datos cada una.
$Q_2$ es la mediana.
Posiciones: $N/4$ , $N/2$ y $3N/4$ . Si no sale entero, se toma el dato siguiente; si sale entero, la media de ese dato y el siguiente.
Rango intercuartílico: $RIC = Q_3 - Q_1$ . Mide la dispersión del 50 % central y no le afectan los datos muy alejados.
El percentil $P_k$ deja por debajo el $k$ % de los datos: $Q_1 = P_{25}$ , $Me = P_{50}$ , $Q_3 = P_{75}$ .

Errores frecuentes

ErrorCalcular los cuartiles con los datos sin ordenar.
Cómo corregirloEscribe primero la lista ordenada y numera las posiciones debajo de cada dato.
ErrorDar como cuartil la posición (por ejemplo, « $Q_1 = 3$ » porque es el 3.º dato) en lugar del valor del dato.
Cómo corregirloLa posición dice dónde mirar; el cuartil es el valor que hay en ese lugar.
ErrorCuando $N/4$ es entero, quedarse solo con ese dato.
Cómo corregirloSi la posición es entera, haz la media de ese dato y el siguiente, igual que con la mediana cuando $N$ es par.
ErrorPensar que estar en el percentil 80 significa haber sacado un 8 o haber acertado el 80 %.
Cómo corregirloEl percentil indica la posición dentro del grupo: en el percentil 80, el 80 % del grupo tiene un valor menor o igual que el tuyo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Días de lluvia en Madrid numérico (número impar de datos)
Estos son los días de lluvia que se registraron en Madrid en 11 meses seguidos:

3, 5, 2, 7, 4, 4, 1, 6, 3, 8, 5

Calcula los cuartiles e interpreta $Q_3$ .

Resolución
1. Ordenamos: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8 → $N = 11$ .
2. Posiciones:
  - $Q_1$ : $\dfrac{11}{4} = 2{,}75$ → no es entero → 3.er dato: $Q_1 = 3$ .
  - $Me$ : $\dfrac{11}{2} = 5{,}5$ → 6.º dato: $Me = 4$ .
  - $Q_3$ : $\dfrac{3 \cdot 11}{4} = 8{,}25$ → 9.º dato: $Q_3 = 6$ .
Interpretación: en al menos el 75 % de los meses llovió 6 días o menos; solo en unos pocos meses (los de 7 y 8 días) llovió más.
Ejemplo 2. La biblioteca en el recreo situación real (número par de datos, posiciones enteras)
La biblioteca del instituto ha contado cuántos alumnos la usaron en cada uno de los últimos 12 recreos:

18, 21, 15, 19, 23, 17, 20, 22, 16, 19, 24, 21

Calcula $Q_1$ , la mediana y $Q_3$ . ¿Entre qué valores estuvo la mitad central de los recreos?

Resolución
1. Ordenamos: 15, 16, 17, 18, 19, 19, 20, 21, 21, 22, 23, 24 → $N = 12$ .
2. Posiciones:
  - $Q_1$ : $\dfrac{12}{4} = 3$ → entero → media del 3.º y el 4.º: $Q_1 = \dfrac{17 + 18}{2} = 17{,}5$ alumnos.
  - $Me$ : $\dfrac{12}{2} = 6$ → media del 6.º y el 7.º: $Me = \dfrac{19 + 20}{2} = 19{,}5$ alumnos.
  - $Q_3$ : $\dfrac{3 \cdot 12}{4} = 9$ → media del 9.º y el 10.º: $Q_3 = \dfrac{21 + 22}{2} = 21{,}5$ alumnos.
Interpretación: en la mitad central de los recreos (entre $Q_1$ y $Q_3$ ) fueron a la biblioteca entre 17,5 y 21,5 alumnos; es decir, entre 18 y 21. Los cuartiles pueden tener decimales aunque los datos sean enteros: solo marcan posiciones.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula $Q_1$ , $Q_2$ y $Q_3$ de estos datos:

12, 15, 9, 20, 14, 11, 17, 13, 16
Ver solución
$Q_1 = 12$ ; $Q_2 = 14$ ; $Q_3 = 16$
Ordenados: 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20 ( $N = 9$ ).
- $Q_1$ : $9/4 = 2{,}25$ → 3.er dato → $Q_1 = 12$ .
- $Q_2$ : $9/2 = 4{,}5$ → 5.º dato → $Q_2 = 14$ .
- $Q_3$ : $27/4 = 6{,}75$ → 7.º dato → $Q_3 = 16$ .
2. Media
Ocho amigos apuntan los minutos que dedicaron ayer a leer por gusto:

6, 15, 10, 25, 18, 12, 4, 30

a) Calcula los tres cuartiles. b) ¿Qué significa el valor de $Q_3$ en este contexto?
Ver solución
a) $Q_1 = 8$ min; $Me = 13{,}5$ min; $Q_3 = 21{,}5$ min. b) Tres de cada cuatro leyeron 21,5 min o menos; una cuarta parte, más.
a) Ordenados: 4, 6, 10, 12, 15, 18, 25, 30 ( $N = 8$ ).
- $Q_1$ : $8/4 = 2$ (entero) → $\dfrac{6 + 10}{2} = 8$ min.
- $Me$ : $8/2 = 4$ → $\dfrac{12 + 15}{2} = 13{,}5$ min.
- $Q_3$ : $24/4 = 6$ → $\dfrac{18 + 25}{2} = 21{,}5$ min.
b) El 75 % de los amigos (6 de 8) leyó 21,5 min o menos y el 25 % (2 de 8) leyó más de 21,5 min.
3. Media
En un examen de Matemáticas de una clase de 28 alumnos, las notas tienen $Q_1 = 4{,}5$ , $Q_2 = 6$ y $Q_3 = 7{,}5$ .

a) ¿Qué porcentaje de alumnos tiene un 6 o menos? b) ¿Entre qué notas está el 50 % central de la clase? c) ¿Cuántos alumnos, aproximadamente, sacaron más de un 7,5?

Ver solución
a) El 50 %. b) Entre 4,5 y 7,5. c) Unos 7 alumnos.
a) $Q_2 = 6$ es la mediana: la mitad (50 %) tiene 6 o menos. b) Entre $Q_1 = 4{,}5$ y $Q_3 = 7{,}5$ está el 50 % central. c) Por encima de $Q_3$ queda el 25 %: $0{,}25 \cdot 28 = 7$ alumnos, aproximadamente.

Para practicar más

1. Fácil
Estas son las puntuaciones (sobre 100) de 10 alumnos en una prueba de comprensión lectora:

72, 65, 80, 70, 68, 75, 62, 78, 70, 85

Calcula los tres cuartiles.
Ver solución
$Q_1 = 68$ ; $Me = 71$ ; $Q_3 = 78$
Ordenados: 62, 65, 68, 70, 70, 72, 75, 78, 80, 85 ( $N = 10$ ).
- $Q_1$ : $10/4 = 2{,}5$ → 3.er dato → 68.
- $Me$ : $10/2 = 5$ (entero) → $\dfrac{70 + 72}{2} = 71$ .
- $Q_3$ : $30/4 = 7{,}5$ → 8.º dato → 78.
2. Media
Quince alumnos dicen cuántas series de televisión terminaron de ver el trimestre pasado:

0, 2, 1, 4, 3, 2, 5, 1, 0, 6, 2, 3, 8, 2, 4

a) Calcula $Q_1$ , la mediana y $Q_3$ . b) Completa: «Al menos el 75 % de estos alumnos terminó … series o menos».
Ver solución
a) $Q_1 = 1$ ; $Me = 2$ ; $Q_3 = 4$ . b) 4 series.
a) Ordenados: 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 8 ( $N = 15$ ).
- $Q_1$ : $15/4 = 3{,}75$ → 4.º dato → 1.
- $Me$ : $15/2 = 7{,}5$ → 8.º dato → 2.
- $Q_3$ : $45/4 = 11{,}25$ → 12.º dato → 4.
b) $Q_3 = 4$ : al menos el 75 % terminó 4 series o menos.
3. Difícil
Escribe una lista de 8 números enteros que tenga $Q_1 = 4$ , mediana 6 y $Q_3 = 9$ . Comprueba que lo cumple.
Ver solución
Respuesta abierta. Por ejemplo: 3, 4, 4, 5, 7, 8, 10, 11.
Con $N = 8$ las posiciones son enteras: $Q_1$ es la media del 2.º y 3.er dato, la mediana la del 4.º y 5.º y $Q_3$ la del 6.º y 7.º.

Por ejemplo, 3, 4, 4, 5, 7, 8, 10, 11:
- $Q_1 = \dfrac{4 + 4}{2} = 4$ ✔
- $Me = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$ ✔
- $Q_3 = \dfrac{8 + 10}{2} = 9$ ✔