Alumnos | AulaDual

Explicación

Varianza con marcas de clase

Igual que con la media, cada dato se sustituye por la marca de clase $x_i$ de su intervalo y se usa la fórmula abreviada:

$\sigma^2 \approx \dfrac{\sum x_i^2 \cdot f_i}{N} - \bar{x}^2 \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Se añade una columna a la tabla de la media:

Intervalo	$x_i$	$f_i$	$x_i \cdot f_i$	$x_i^2 \cdot f_i$
$[a, b)$	$\frac{a+b}{2}$	…	…	…
		$N$	$\sum x_i f_i$	$\sum x_i^2 f_i$

Truco: la última columna es la anterior multiplicada otra vez por $x_i$ .

Con calculadora: marcas de clase en la columna x, frecuencias en FREC, y se lee $\sigma_x$ . Es la forma más segura de no cometer errores de redondeo.

Comparar la dispersión de dos grupos

Si las medias son parecidas y las unidades iguales, tiene más dispersión el grupo con mayor desviación típica.
Si las medias son muy distintas, se usa el coeficiente de variación, que mide la dispersión en relación con la media: $CV = \dfrac{\sigma}{\bar{x}}$ Se suele dar en porcentaje. A mayor $CV$ , más dispersión relativa (y menos representativa es la media).

Puntos clave

Varianza de datos agrupados: $\sigma^2 \approx \dfrac{\sum x_i^2 f_i}{N} - \bar{x}^2$ , con las marcas de clase.
$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ , en las unidades de los datos; el resultado es aproximado.
Con calculadora: marcas en x, frecuencias en FREC, leer $\sigma_x$ .
Coeficiente de variación: $CV = \dfrac{\sigma}{\bar{x}}$ , para comparar grupos con medias distintas.

Errores frecuentes

ErrorRedondear la media (por ejemplo, a 34,2) antes de elevarla al cuadrado.
Cómo corregirloUsa la media en fracción, con todos los decimales de la pantalla o directamente la calculadora: un pequeño redondeo en $\bar{x}^2$ cambia bastante la varianza.
ErrorUsar $(x_i \cdot f_i)^2$ en la última columna.
Cómo corregirloEs $x_i^2 \cdot f_i$ (o $x_i \cdot (x_i f_i)$ ).
ErrorComparar desviaciones típicas de grupos con medias muy distintas y concluir sin más.
Cómo corregirloSi las medias son muy diferentes, compara los coeficientes de variación.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Cuánto pesa un móvil? numérico (tabla completa)

Una web de tecnología recoge el peso de 50 modelos de teléfono móvil:

Peso (g)	$[120, 140)$	$[140, 160)$	$[160, 180)$	$[180, 200)$	$[200, 220)$
Modelos	6	14	18	9	3

Calcula la media, la varianza y la desviación típica.

Resolución

Intervalo	$x_i$	$f_i$	$x_i f_i$	$x_i^2 f_i$
$[120, 140)$	130	6	780	101 400
$[140, 160)$	150	14	2100	315 000
$[160, 180)$	170	18	3060	520 200
$[180, 200)$	190	9	1710	324 900
$[200, 220)$	210	3	630	132 300
		50	8280	1 393 800

$\bar{x} \approx \dfrac{8280}{50} = 165{,}6$ g. $\sigma^2 \approx \dfrac{1\,393\,800}{50} - 165{,}6^2 = 27\,876 - 27\,423{,}36 = 452{,}64$ g². $\sigma \approx \sqrt{452{,}64} \approx 21{,}28$ g.

Con calculadora (x: 130, 150, 170, 190, 210; FREC: 6, 14, 18, 9, 3): $n = 50$ , $\bar{x} = 165{,}6$ , $\sigma_x = 21{,}2753…$ ✔

Ejemplo 2. ¿Qué vela es más regular? comparar (con calculadora)
Una tienda de decoración enciende 40 velas de cada una de dos marcas y anota cuántas horas dura cada una:

Duración (h) $[10, 14)$ $[14, 18)$ $[18, 22)$ $[22, 26)$

Marca A 4 12 18 6

Marca B 10 8 10 12

¿Cuál dura más de media? ¿Cuál es más regular?

Resolución
Marcas: 12, 16, 20, 24.

Marca A: $\sum x_i f_i = 744$ ; $\sum x_i^2 f_i = 14\,304$ . $\bar{x} \approx \dfrac{744}{40} = 18{,}6$ h; $\sigma^2 \approx \dfrac{14\,304}{40} - 18{,}6^2 = 357{,}6 - 345{,}96 = 11{,}64$ ; $\sigma \approx 3{,}41$ h.

Marca B: $\sum x_i f_i = 736$ ; $\sum x_i^2 f_i = 14\,400$ . $\bar{x} \approx \dfrac{736}{40} = 18{,}4$ h; $\sigma^2 \approx 360 - 18{,}4^2 = 360 - 338{,}56 = 21{,}44$ ; $\sigma \approx 4{,}63$ h.

Las medias son casi iguales (18,6 h y 18,4 h), pero A es más regular: su desviación típica es menor. Con B es más fácil que una vela dure muy poco… o mucho.

Duración (h)	$[10, 14)$	$[14, 18)$	$[18, 22)$	$[22, 26)$
Marca A	4	12	18	6
Marca B	10	8	10	12

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Un supermercado mide el tiempo que tardan 30 clientes en hacer la compra:

Tiempo (min) $[0, 10)$ $[10, 20)$ $[20, 30)$ $[30, 40)$

Clientes 4 11 9 6

Completa la tabla con $x_i$ , $x_i f_i$ y $x_i^2 f_i$ y calcula la media y la desviación típica.

Ver solución
$\bar{x} \approx 20{,}67$ min; $\sigma \approx 9{,}55$ min
Marcas: 5, 15, 25, 35. $x_i f_i$ : 20, 165, 225, 210 → suma 620. $x_i^2 f_i$ : 100, 2475, 5625, 7350 → suma 15 550. $\bar{x} \approx \dfrac{620}{30} \approx 20{,}67$ min. $\sigma^2 \approx \dfrac{15\,550}{30} - \left(\dfrac{620}{30}\right)^2 \approx 518{,}33 - 427{,}11 = 91{,}22$ ; $\sigma \approx 9{,}55$ min.
2. Fácil
Una empresa pregunta a sus 50 empleados la distancia de su casa al trabajo:

Distancia (km) $[0, 5)$ $[5, 10)$ $[10, 15)$ $[15, 20)$ $[20, 25)$

Empleados 12 18 10 6 4

Calcula con la calculadora la media y la desviación típica. Escribe qué números has introducido.

Ver solución
$\bar{x} = 9{,}7$ km; $\sigma \approx 6{,}01$ km
x: 2,5; 7,5; 12,5; 17,5; 22,5. FREC: 12, 18, 10, 6, 4. Pantalla: $n = 50$ ✔, $\bar{x} = 9{,}7$ , $\sigma_x = 6{,}0133…$ → $\bar{x} \approx 9{,}7$ km; $\sigma \approx 6{,}01$ km. (A mano: $\sum x_i f_i = 485$ , $\sum x_i^2 f_i = 6512{,}5$ ; $\sigma^2 = 130{,}25 - 94{,}09 = 36{,}16$ .)
3. Difícil
Estas son las temperaturas máximas (°C) de los 31 días de un mes de julio en Madrid y en A Coruña:

Madrid (°C) $[28, 31)$ $[31, 34)$ $[34, 37)$ $[37, 40)$

Días 4 10 12 5

A Coruña (°C) $[19, 22)$ $[22, 25)$ $[25, 28)$ $[28, 31)$

Días 6 18 6 1

a) Calcula con la calculadora la media y la desviación típica de cada ciudad. b) ¿En qué ciudad es mayor la desviación típica? c) Calcula los coeficientes de variación. ¿Dónde es mayor la dispersión relativa?

Ver solución
a) Madrid: 34,24 °C y 2,72 °C; A Coruña: 23,69 °C y 2,15 °C. b) Madrid. c) Madrid ≈ 7,95 %; A Coruña ≈ 9,06 %: mayor en A Coruña.
a) Madrid (x: 29,5; 32,5; 35,5; 38,5): $\bar{x} \approx 34{,}24$ °C; $\sigma \approx 2{,}72$ °C. A Coruña (x: 20,5; 23,5; 26,5; 29,5): $\bar{x} \approx 23{,}69$ °C; $\sigma \approx 2{,}15$ °C. b) En Madrid (2,72 °C frente a 2,15 °C). c) Con los valores de la pantalla, sin redondear: $CV_{\text{Madrid}} = \dfrac{2{,}7234…}{34{,}2419…} \approx 0{,}0795 \approx 7{,}95\ \%$ ; $CV_{\text{Coruña}} = \dfrac{2{,}1465…}{23{,}6935…} \approx 0{,}0906 \approx 9{,}06\ \%$ . En relación con su media, las temperaturas de A Coruña están algo más dispersas.
4. Media
El histograma muestra las edades de los 80 voluntarios de una ONG de Madrid. Calcula la edad media y la desviación típica.

Ver solución
$\bar{x} \approx 38{,}25$ años; $\sigma \approx 13{,}30$ años
Del histograma: $[10, 20)$ : 8; $[20, 30)$ : 14; $[30, 40)$ : 22; $[40, 50)$ : 20; $[50, 60)$ : 12; $[60, 70)$ : 4. $N = 80$ . Marcas: 15, 25, 35, 45, 55, 65. $\sum x_i f_i = 3060$ ; $\sum x_i^2 f_i = 131\,200$ . $\bar{x} \approx \dfrac{3060}{80} = 38{,}25$ años; $\sigma^2 \approx 1640 - 38{,}25^2 = 1640 - 1463{,}0625 = 176{,}9375$ ; $\sigma \approx 13{,}30$ años.

Tiempo (min)	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$
Clientes	4	11	9	6

Distancia (km)	$[0, 5)$	$[5, 10)$	$[10, 15)$	$[15, 20)$	$[20, 25)$
Empleados	12	18	10	6	4

Madrid (°C)	$[28, 31)$	$[31, 34)$	$[34, 37)$	$[37, 40)$
Días	4	10	12	5

A Coruña (°C)	$[19, 22)$	$[22, 25)$	$[25, 28)$	$[28, 31)$
Días	6	18	6	1

Para practicar más

1. Fácil
En el aeropuerto de Barajas se pesan 40 maletas facturadas:

Peso (kg) $[5, 10)$ $[10, 15)$ $[15, 20)$ $[20, 25)$

Maletas 4 10 16 10

Calcula la media, la varianza y la desviación típica.

Ver solución
$\bar{x} \approx 16{,}5$ kg; $\sigma^2 \approx 21{,}5$ kg²; $\sigma \approx 4{,}64$ kg
Marcas: 7,5; 12,5; 17,5; 22,5. $\sum x_i f_i = 30 + 125 + 280 + 225 = 660$ ; $\sum x_i^2 f_i = 225 + 1562{,}5 + 4900 + 5062{,}5 = 11\,750$ . $\bar{x} \approx \dfrac{660}{40} = 16{,}5$ kg; $\sigma^2 \approx \dfrac{11\,750}{40} - 16{,}5^2 = 293{,}75 - 272{,}25 = 21{,}5$ ; $\sigma \approx 4{,}64$ kg.
2. Media
El histograma recoge la altura de 30 árboles de un parque. Calcula la altura media y la desviación típica (puedes usar la calculadora).

Ver solución
$\bar{x} \approx 12{,}27$ m; $\sigma \approx 3{,}96$ m
Del histograma: $[4, 8)$ : 5; $[8, 12)$ : 9; $[12, 16)$ : 10; $[16, 20)$ : 6. $N = 30$ . Marcas: 6, 10, 14, 18. $\sum x_i f_i = 368$ ; $\sum x_i^2 f_i = 4984$ . $\bar{x} \approx \dfrac{368}{30} \approx 12{,}27$ m; $\sigma^2 \approx \dfrac{4984}{30} - \left(\dfrac{368}{30}\right)^2 \approx 15{,}66$ ; $\sigma \approx 3{,}96$ m.
3. Media
Se mide el tiempo de entrega de 40 pedidos de dos aplicaciones de comida a domicilio:

Tiempo (min) $[10, 20)$ $[20, 30)$ $[30, 40)$ $[40, 50)$

App A 5 20 12 3

App B 12 10 8 10

a) Calcula la media y la desviación típica de cada una. b) ¿Cuál elegirías si quieres saber con más seguridad cuándo llegará la comida? Justifícalo.

Ver solución
a) A: 28,25 min y 7,87 min; B: 29 min y 11,58 min. b) La A.
Marcas: 15, 25, 35, 45. A: $\sum x_i f_i = 1130$ , $\sum x_i^2 f_i = 34\,400$ → $\bar{x} \approx 28{,}25$ min; $\sigma^2 \approx 860 - 798{,}0625 = 61{,}9375$ ; $\sigma \approx 7{,}87$ min. B: $\sum x_i f_i = 1160$ , $\sum x_i^2 f_i = 39\,000$ → $\bar{x} \approx 29$ min; $\sigma^2 \approx 975 - 841 = 134$ ; $\sigma \approx 11{,}58$ min. b) La A: las medias son parecidas, pero sus tiempos están mucho menos dispersos.
4. Media
En una clínica veterinaria, el peso medio de los perros adultos atendidos un mes fue de 22 kg con una desviación típica de 6 kg, y el de los gatos, de 4,5 kg con una desviación típica de 0,9 kg. a) ¿Qué grupo tiene mayor desviación típica? b) ¿Cuál tiene mayor dispersión relativa? Calcula los coeficientes de variación.

Ver solución
a) Los perros. b) Los perros: CV ≈ 27,3 % frente a 20 %.
a) Los perros (6 kg frente a 0,9 kg); pero las medias son muy distintas, así que hay que comparar en relación con la media. b) $CV_{\text{perros}} = \dfrac{6}{22} \approx 0{,}273 = 27{,}3\ \%$ ; $CV_{\text{gatos}} = \dfrac{0{,}9}{4{,}5} = 0{,}2 = 20\ \%$ . También en términos relativos, los pesos de los perros son más dispersos.

Varianza y desviación típica de datos agrupados