Percentiles y cuartiles con tablas de frecuencias. Rango intercuartílico

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorBuscar $k \cdot N / 100$ en la columna de frecuencias absolutas $f_i$ en lugar de en la de acumuladas $F_i$.

  Cómo corregirloConstruye siempre la columna $F_i$ y busca en ella.

• ErrorDar como percentil el valor de $F_i$ (por ejemplo, «$Q_1 = 16$») en lugar del valor de la variable.

  Cómo corregirloEl percentil es un valor de la variable, el $x_i$ de la fila que has encontrado.

• ErrorPensar que estar en el percentil 30 significa sacar un 3 o tener 30 puntos.

  Cómo corregirloEl percentil indica una posición: el 30 % del grupo tiene un resultado igual o menor que el tuyo.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. ¿Cuántas veces habéis ido a la piscina? numérico (tabla de frecuencias acumuladas)

   Se pregunta a 40 alumnos cuántas veces fueron a la piscina municipal el último mes:

   Veces, $x_i$	0	1	2	3	4	5
   Alumnos, $f_i$	6	10	9	7	5	3

   Calcula los cuartiles, el rango intercuartílico, $P_{90}$ y $P_{40}$.

   Resolución

   Añadimos la fila de frecuencias acumuladas:

   $x_i$	0	1	2	3	4	5
   $f_i$	6	10	9	7	5	3
   $F_i$	6	16	25	32	37	40

   • $Q_1$: $\dfrac{40}{4} = 10$ → el primer $F_i$ mayor que 10 es 16 → $Q_1 = 1$.
   • $Me$: $\dfrac{40}{2} = 20$ → primer $F_i$ mayor que 20: 25 → $Me = 2$.
   • $Q_3$: $\dfrac{3 \cdot 40}{4} = 30$ → primer $F_i$ mayor que 30: 32 → $Q_3 = 3$.
   • $\text{RIC} = 3 - 1 = 2$ veces.
   • $P_{90}$: $\dfrac{90 \cdot 40}{100} = 36$ → primer $F_i$ mayor que 36: 37 → $P_{90} = 4$.
   • $P_{40}$: $\dfrac{40 \cdot 40}{100} = 16$ → coincide con $F_i = 16$ → media de 1 y 2: $P_{40} = 1{,}5$.

   Interpretación de $P_{90}$: al menos el 90 % de los alumnos fue a la piscina 4 veces o menos.

2. Ejemplo 2. Actividad física en un instituto de Getafe situación real (interpretar percentiles y el RIC)

   Un estudio sobre los minutos diarios de actividad física de los alumnos de 3.º ESO de un instituto de Getafe da estos resultados:

   $P_{10}$	$Q_1$	$Me$	$Q_3$	$P_{90}$
   20 min	30 min	45 min	70 min	90 min

   a) Explica qué significa $Q_3 = 70$ min. b) Calcula el rango intercuartílico e interprétalo. c) Andrés hace 80 min de actividad física al día. ¿Entre qué dos percentiles de la tabla está? ¿Qué porcentaje de sus compañeros, aproximadamente, hace más que él?

   Resolución

   a) Al menos el 75 % de los alumnos hace 70 min o menos de actividad física al día; el 25 % restante, más.

   b) $\text{RIC} = Q_3 - Q_1 = 70 - 30 = 40$ min. La mitad central de los alumnos se reparte en una franja de 40 min (entre 30 y 70 min).

   c) 80 min está entre $Q_3 = 70$ min ($P_{75}$) y $P_{90} = 90$ min. Por tanto, hacen más que él entre un 10 % y un 25 % de sus compañeros.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Estas son las notas (redondeadas a enteros) de 30 alumnos en un examen:

   Nota	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   Alumnos	1	2	3	6	5	5	4	3	1

   Calcula los tres cuartiles y el rango intercuartílico.

   Ver solución

   $Q_1 = 5$; $Me = 6$; $Q_3 = 8$; $\text{RIC} = 3$

   $F_i$: 1, 3, 6, 12, 17, 22, 26, 29, 30.

   • $Q_1$: $30/4 = 7{,}5$ → primer $F_i > 7{,}5$: 12 → nota 5.
   • $Me$: $30/2 = 15$ → primer $F_i > 15$: 17 → nota 6.
   • $Q_3$: $90/4 = 22{,}5$ → primer $F_i > 22{,}5$: 26 → nota 8.
   • $\text{RIC} = 8 - 5 = 3$.

2. 2. Media

   Estas son las faltas de ortografía que cometieron 25 alumnos en un dictado:

   Faltas	0	1	2	3	4	5
   Alumnos	4	7	6	4	3	1

   Calcula $P_{20}$, $P_{60}$ y $P_{90}$ e interpreta $P_{90}$.

   Ver solución

   $P_{20} = 1$; $P_{60} = 2$; $P_{90} = 4$. Al menos el 90 % de los alumnos cometió 4 faltas o menos.

   $F_i$: 4, 11, 17, 21, 24, 25.

   • $P_{20}$: $\dfrac{20 \cdot 25}{100} = 5$ → primer $F_i > 5$: 11 → 1 falta.
   • $P_{60}$: $\dfrac{60 \cdot 25}{100} = 15$ → primer $F_i > 15$: 17 → 2 faltas.
   • $P_{90}$: $\dfrac{90 \cdot 25}{100} = 22{,}5$ → primer $F_i > 22{,}5$: 24 → 4 faltas.

3. 3. Media

   Se pregunta a 20 alumnos a cuántos conciertos fueron el año pasado:

   Conciertos	0	1	2	3	4
   Alumnos	5	8	4	2	1

   Calcula los cuartiles y el rango intercuartílico. ¡Atención a $Q_1$!

   Ver solución

   $Q_1 = 0{,}5$; $Me = 1$; $Q_3 = 2$; $\text{RIC} = 1{,}5$

   $F_i$: 5, 13, 17, 19, 20.

   • $Q_1$: $20/4 = 5$ → coincide con $F_i = 5$ → media de 0 y 1: $Q_1 = 0{,}5$.
   • $Me$: $20/2 = 10$ → primer $F_i > 10$: 13 → 1.
   • $Q_3$: $60/4 = 15$ → primer $F_i > 15$: 17 → 2.
   • $\text{RIC} = 2 - 0{,}5 = 1{,}5$.

   Un cuartil puede no ser un valor que tome la variable (nadie va a medio concierto): solo marca una posición.

4. 4. Difícil

   En la prueba de resistencia de 1000 m de Educación Física se ha cronometrado a 120 alumnos de 3.º. El tiempo de Pablo está en el percentil 15.

   a) ¿Cuántos alumnos, aproximadamente, tardaron lo mismo o menos que él? b) ¿Es un buen resultado? Explícalo.

   Ver solución

   a) Unos 18. b) Sí: es de los más rápidos, porque solo un 15 % tardó lo mismo o menos.

   a) El 15 % de 120: $0{,}15 \cdot 120 = 18$ alumnos, aproximadamente.

   b) Sí. En una carrera, cuanto menos tiempo, mejor. Que solo el 15 % tarde lo mismo o menos que Pablo significa que el 85 % tardó más: es de los más rápidos del grupo.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Una asociación de vecinos de Alcobendas pregunta a 40 vecinos cuántos días de la semana pasada usaron el transporte público:

   Días	0	1	2	3	4	5	6
   Vecinos	2	5	8	10	7	5	3

   Calcula los cuartiles y el rango intercuartílico.

   Ver solución

   $Q_1 = 2$; $Me = 3$; $Q_3 = 4$; $\text{RIC} = 2$ días

   $F_i$: 2, 7, 15, 25, 32, 37, 40.

   • $Q_1$: $40/4 = 10$ → primer $F_i > 10$: 15 → 2 días.
   • $Me$: $40/2 = 20$ → primer $F_i > 20$: 25 → 3 días.
   • $Q_3$: $120/4 = 30$ → primer $F_i > 30$: 32 → 4 días.
   • $\text{RIC} = 4 - 2 = 2$ días.

2. 2. Media

   Una zapatería recoge la talla de calzado de 50 alumnos de un instituto:

   Talla	36	37	38	39	40	41	42	43
   Alumnos	3	6	9	11	9	6	4	2

   a) Calcula $P_{10}$, $Q_1$, $Me$, $Q_3$ y $P_{90}$. b) Calcula el rango intercuartílico.

   Ver solución

   a) $P_{10} = 37$; $Q_1 = 38$; $Me = 39$; $Q_3 = 40$; $P_{90} = 42$. b) $\text{RIC} = 2$

   $F_i$: 3, 9, 18, 29, 38, 44, 48, 50.

   • $P_{10}$: $\dfrac{10 \cdot 50}{100} = 5$ → primer $F_i > 5$: 9 → 37.
   • $Q_1$: $50/4 = 12{,}5$ → primer $F_i > 12{,}5$: 18 → 38.
   • $Me$: $50/2 = 25$ → primer $F_i > 25$: 29 → 39.
   • $Q_3$: $150/4 = 37{,}5$ → primer $F_i > 37{,}5$: 38 → 40.
   • $P_{90}$: $\dfrac{90 \cdot 50}{100} = 45$ → primer $F_i > 45$: 48 → 42.

   b) $\text{RIC} = 40 - 38 = 2$.

3. 3. Media

   Se ha medido el tiempo de espera (en minutos) en dos centros de salud:

   	$Q_1$	$Me$	$Q_3$
   Centro A	8	12	15
   Centro B	5	12	22

   a) Calcula el rango intercuartílico de cada centro. b) ¿En cuál es más previsible lo que vas a esperar? Explícalo.

   Ver solución

   a) A: 7 min; B: 17 min. b) En el A: la mitad central de las esperas está en una franja más estrecha.

   a) $\text{RIC}_A = 15 - 8 = 7$ min; $\text{RIC}_B = 22 - 5 = 17$ min.

   b) Las medianas son iguales (12 min), pero en el centro A el 50 % central de las esperas está entre 8 y 15 min, mientras que en el B va de 5 a 22 min. En el A los tiempos están menos dispersos: es más previsible.

4. 4. Media

   En un estudio sobre el peso de las mochilas de 60 alumnos de 1.º ESO, la de Irene pesa 6,8 kg y está justo en el percentil 75.

   a) ¿Cuántos alumnos llevan una mochila de 6,8 kg o menos? b) ¿A qué cuartil corresponde 6,8 kg? c) Si $Q_1 = 4{,}2$ kg, ¿cuánto vale el rango intercuartílico?

   Ver solución

   a) Unos 45 (al menos el 75 %). b) $Q_3$. c) 2,6 kg

   a) Al menos el 75 % de 60: $0{,}75 \cdot 60 = 45$, es decir, unos 45 alumnos. b) $P_{75} = Q_3 = 6{,}8$ kg. c) $\text{RIC} = 6{,}8 - 4{,}2 = 2{,}6$ kg.