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Matemáticas 3.º ESO · Cuartiles y diagrama de caja y bigotes

El diagrama de caja y bigotes

Objetivo: Al terminar, sabrás dibujar el diagrama de caja y bigotes a partir del mínimo, los cuartiles y el máximo, y leer en él cómo se reparten los datos.

Explicación

El resumen de los cinco números

Para describir cómo se reparten unos datos basta con cinco valores:

$\text{mínimo} \quad Q_1 \quad Me \quad Q_3 \quad \text{máximo}$

Cómo se dibuja el diagrama de caja y bigotes

Dibuja una recta numérica (horizontal) con una escala adecuada que vaya del mínimo al máximo.
Dibuja una caja (un rectángulo) que vaya de $Q_1$ a $Q_3$ .
Traza dentro de la caja una línea en la mediana.
Dibuja los bigotes: un segmento desde la caja hasta el mínimo y otro hasta el máximo.

Cómo se lee

Los cuatro trozos (bigote izquierdo, las dos partes de la caja y bigote derecho) contienen, cada uno, aproximadamente el 25 % de los datos.
La caja contiene el 50 % central de los datos. Su longitud es el rango intercuartílico: $\text{RIC} = Q_3 - Q_1$ .
Del extremo de un bigote al otro está el recorrido: máximo − mínimo.
Un trozo más largo no tiene más datos: tiene los datos más dispersos (más separados). Un trozo corto indica datos concentrados.

Puntos clave

Cinco números: mínimo, $Q_1$ , mediana, $Q_3$ y máximo.
La caja va de $Q_1$ a $Q_3$ , con una línea en la mediana; los bigotes llegan al mínimo y al máximo.
Cada uno de los cuatro trozos tiene aproximadamente el 25 % de los datos.
Longitud de la caja = RIC; de bigote a bigote = recorrido.
Trozo largo = datos dispersos; trozo corto = datos concentrados.

Errores frecuentes

ErrorPensar que el bigote o la parte de la caja más larga tiene más datos.
Cómo corregirloTodos los trozos tienen el mismo porcentaje de datos (25 %); la longitud indica lo separados que están.
ErrorDibujar sin escala o con una escala irregular, de modo que la caja no refleja los valores.
Cómo corregirloMarca primero en la recta números a intervalos iguales y después sitúa los cinco valores.
ErrorPoner la línea de dentro de la caja en el punto medio entre $Q_1$ y $Q_3$ .
Cómo corregirloLa línea va en la mediana, que no tiene por qué estar en el centro de la caja.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Tiempo de deberes de 3.º B gráfico (construir el diagrama)
Los minutos que dedican al día a los deberes los alumnos de 3.º B tienen este resumen:

Mínimo $Q_1$ $Me$ $Q_3$ Máximo

10 25 40 50 90

Dibuja el diagrama de caja y bigotes y explica qué te dice.

Resolución
1. Recta de 0 a 100 min, marcando de 10 en 10.
2. Caja de 25 a 50, con una línea en 40.
3. Bigotes de 10 a 25 y de 50 a 90.
(Diagrama en la gráfica.)

Lectura:
- La mitad de la clase dedica 40 min o menos.
- El 50 % central está entre 25 y 50 min: $\text{RIC} = 50 - 25 = 25$ min.
- El bigote derecho (de 50 a 90) es el trozo más largo: el 25 % que más tiempo dedica está muy disperso, hay quien dedica mucho más que el resto.
- Recorrido: $90 - 10 = 80$ min.
Ejemplo 2. ¿Cuánto cuesta cortarse el pelo? gráfico (leer e interpretar)
El diagrama resume el precio (en €) de un corte de pelo en 24 peluquerías de un barrio de Madrid.

a) Escribe el resumen de los cinco números. b) ¿En cuántas peluquerías, aproximadamente, el corte cuesta 14 € o menos? c) Calcula el rango intercuartílico y el recorrido. d) ¿En qué cuarta parte de los datos están los precios más concentrados?

Resolución
a) Mínimo 9 €; $Q_1 = 12$ €; $Me = 14$ €; $Q_3 = 17$ €; máximo 23 €.

b) 14 € es la mediana: la mitad de las peluquerías, unas 12.

c) $\text{RIC} = 17 - 12 = 5$ €. Recorrido $= 23 - 9 = 14$ €.

d) Longitudes de los trozos: de 9 a 12 → 3 €; de 12 a 14 → 2 €; de 14 a 17 → 3 €; de 17 a 23 → 6 €. El más corto es el que va de $Q_1$ a la mediana: ese 25 % de las peluquerías tiene precios muy parecidos, entre 12 € y 14 €. El bigote derecho es el más largo: entre las más caras hay mucha diferencia de precio.

Mínimo	$Q_1$	$Me$	$Q_3$	Máximo
10	25	40	50	90

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Las edades de los socios de un club de senderismo de Collado Villalba tienen este resumen:

Mínimo $Q_1$ $Me$ $Q_3$ Máximo

12 16 22 41 67

a) Dibuja el diagrama de caja y bigotes en los ejes. b) ¿Qué cuarta parte de los socios tiene las edades más dispersas? ¿Y la más concentrada?

Ver solución
b) Más dispersa: el 25 % de mayor edad (de 41 a 67). Más concentrada: el 25 % más joven (de 12 a 16).
a) Caja de 16 a 41 con una línea en 22; bigotes de 12 a 16 y de 41 a 67.

b) Longitudes: 4, 6, 19 y 26 años. El bigote derecho (26 años) es el más largo: los socios mayores tienen edades muy distintas. El bigote izquierdo (4 años) es el más corto: el 25 % más joven tiene entre 12 y 16 años.
2. Media
El diagrama resume las notas del examen de Inglés de 3.º C.

a) Escribe el resumen de los cinco números. b) ¿Qué porcentaje de la clase ha sacado más de un 7? c) ¿Ha aprobado (nota de 5 o más) más de la mitad de la clase? ¿Más del 75 %? Razónalo.

Ver solución
a) 2,5; 4,5; 6; 7; 9,5. b) El 25 %. c) Más de la mitad sí; más del 75 %, no.
a) Mínimo 2,5; $Q_1 = 4{,}5$ ; $Me = 6$ ; $Q_3 = 7$ ; máximo 9,5.

b) Por encima de $Q_3 = 7$ queda el 25 %.

c) La mediana es 6 > 5, así que al menos la mitad tiene un 6 o más: ha aprobado más de la mitad. Pero $Q_1 = 4{,}5 < 5$ : al menos el 25 % tiene 4,5 o menos y ha suspendido, así que no llegan al 75 % los aprobados.
3. Media
Di si cada frase es verdadera o falsa y explica por qué. En un diagrama de caja, la caja va de 30 a 50 y el bigote derecho, de 50 a 100.

a) Hay más datos entre 50 y 100 que entre 30 y 50. b) El rango intercuartílico es 20. c) Al menos el 75 % de los datos es menor o igual que 50.

Ver solución
a) Falsa. b) Verdadera. c) Verdadera.
a) Falsa. Entre 30 y 50 está el 50 % central y entre 50 y 100, el 25 %: hay más datos dentro de la caja. Que el bigote sea largo solo indica que esos datos están muy separados. b) Verdadera. $\text{RIC} = Q_3 - Q_1 = 50 - 30 = 20$ . c) Verdadera. El extremo derecho de la caja es $Q_3 = 50$ , y deja por debajo al menos el 75 %.
4. Media
Los tiempos (en segundos) que tardan 40 alumnos en completar un circuito de agilidad en Educación Física tienen este resumen: mínimo 12,8; $Q_1 = 14{,}1$ ; $Me = 14{,}9$ ; $Q_3 = 15{,}6$ ; máximo 18,2.

a) Dibuja el diagrama de caja y bigotes. b) ¿Cuántos alumnos, aproximadamente, hicieron un tiempo entre 14,1 s y 15,6 s? c) ¿Cuántos tardaron más de 14,9 s?

Ver solución
b) Unos 20. c) Unos 20.
a) Caja de 14,1 a 15,6 con una línea en 14,9; bigotes de 12,8 a 14,1 y de 15,6 a 18,2.

b) Entre $Q_1$ y $Q_3$ está el 50 %: $0{,}5 \cdot 40 = 20$ alumnos.

c) Por encima de la mediana, la mitad: unos 20 alumnos.

Mínimo	$Q_1$	$Me$	$Q_3$	Máximo
12	16	22	41	67

Para practicar más

1. Media
Las temperaturas mínimas diarias (en °C) de un mes de enero en Madrid tienen este resumen aproximado:

Mínimo $Q_1$ $Me$ $Q_3$ Máximo

−4 0 2 4 7

a) Dibuja el diagrama de caja y bigotes. b) De los 31 días del mes, ¿cuántos, como mucho, tuvieron una mínima bajo cero? c) ¿En cuántos días, aproximadamente, la mínima fue de 2 °C o más?

Ver solución
b) Como mucho 7 días (algo menos del 25 %). c) Al menos 16 días (la mitad, aproximadamente).
a) Recta de −6 a 8. Caja de 0 a 4 con una línea en 2; bigotes de −4 a 0 y de 4 a 7.

b) Con $N = 31$ , $Q_1$ es el 8.º dato ordenado ( $31/4 = 7{,}75$ ) y vale 0 °C: del 8.º día en adelante la mínima fue de 0 °C o más. Bajo cero solo pudieron estar, como mucho, los 7 primeros: unos 7 días, algo menos del 25 % ( $0{,}25 \cdot 31 = 7{,}75$ ).

c) La mediana es el 16.º dato ( $31/2 = 15{,}5$ ) y vale 2 °C: del 16.º al 31.º, al menos 16 días (la mitad, aproximadamente), la mínima fue de 2 °C o más.
2. Fácil
El diagrama resume el consumo de agua (en litros por persona y día) de 40 hogares de un barrio de Madrid.

a) Escribe el resumen de los cinco números. b) Calcula el rango intercuartílico y el recorrido. c) ¿Cuántos hogares, aproximadamente, gastan más de 130 L por persona y día? ¿Y 115 L o más?

Ver solución
a) 100; 115; 125; 130; 160. b) RIC = 15 L; recorrido = 60 L. c) Unos 10; unos 30.
a) Mínimo 100 L; $Q_1 = 115$ L; $Me = 125$ L; $Q_3 = 130$ L; máximo 160 L.

b) $\text{RIC} = 130 - 115 = 15$ L. Recorrido $= 160 - 100 = 60$ L.

c) Por encima de $Q_3$ queda el 25 %: $0{,}25 \cdot 40 = 10$ hogares. De $Q_1$ en adelante, el 75 %: $0{,}75 \cdot 40 = 30$ hogares.
3. Fácil
En un diagrama de caja y bigotes, el bigote izquierdo es mucho más largo que el derecho. Lucas dice: «Eso significa que hay muchos más datos pequeños que grandes». ¿Tiene razón? Explícalo.

Ver solución
No: los dos bigotes tienen el 25 % de los datos cada uno.
No tiene razón. Cada bigote contiene aproximadamente el 25 % de los datos. Que el izquierdo sea más largo significa que el 25 % de los datos más pequeños está más disperso (más separado) que el 25 % de los más grandes, que están más concentrados.
4. Difícil
Estos son los precios (en €) de 12 mochilas en una tienda:

18, 25, 32, 22, 40, 28, 35, 20, 30, 45, 26, 24

a) Calcula el mínimo, los cuartiles y el máximo. b) Dibuja el diagrama de caja y bigotes.
Ver solución
a) 18; 23; 27; 33,5; 45 (€)
a) Ordenados: 18, 20, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 35, 40, 45 ( $N = 12$ ).
- $Q_1$ : $12/4 = 3$ → $\dfrac{22 + 24}{2} = 23$ €.
- $Me$ : $12/2 = 6$ → $\dfrac{26 + 28}{2} = 27$ €.
- $Q_3$ : $36/4 = 9$ → $\dfrac{32 + 35}{2} = 33{,}5$ €.
- Mínimo 18 €, máximo 45 €.
b) Caja de 23 a 33,5 con una línea en 27; bigotes de 18 a 23 y de 33,5 a 45.