Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

Matemáticas 3.º ESO · Media, mediana y moda

Media ponderada: notas, precios y compras

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular medias ponderadas en contextos cotidianos (notas con porcentajes, precios medios de compras) y explicar por qué no coinciden con la media simple.

Explicación

Cuando no todos los datos pesan lo mismo

En la media aritmética todos los datos cuentan igual. Pero a veces unos datos importan más que otros: el examen cuenta más que el cuaderno, o compras más litros a un precio que a otro. Entonces se usa la media ponderada: cada dato $x_i$ se multiplica por su peso $p_i$ y se divide entre la suma de los pesos.

$\bar{x}_p = \dfrac{x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + \dots + x_n \cdot p_n}{p_1 + p_2 + \dots + p_n} = \dfrac{\sum x_i \cdot p_i}{\sum p_i}$

Si los pesos son porcentajes que suman 100 %, basta con multiplicar cada dato por su porcentaje en forma decimal y sumar: $\bar{x}_p = 0{,}6 \cdot x_1 + 0{,}4 \cdot x_2$ .
Si los pesos son cantidades (litros, kilos, unidades), se divide entre la cantidad total.
La media ponderada queda más cerca de los datos que tienen más peso.

«Cuenta el doble»

Si un dato cuenta el doble, es como si lo escribiéramos dos veces. Con notas de 8 y 6 y un examen de 5 que cuenta el doble: $\bar{x}_p = \dfrac{8 + 6 + 5 \cdot 2}{1 + 1 + 2} = \dfrac{24}{4} = 6$ .

La media de una tabla de frecuencias

Cuando los datos se repiten y están en una tabla, cada valor $x_i$ pesa tantas veces como se repite: su frecuencia $f_i$ hace de peso. Se añade a la tabla una columna con los productos $x_i \cdot f_i$ , se suma y se divide entre el número total de datos $N$ : $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i \cdot f_i}{N}$

Puntos clave

Media ponderada: $\bar{x}_p = \dfrac{\sum x_i \cdot p_i}{\sum p_i}$ .
Si un dato «cuenta el doble», su peso es 2: es como escribirlo dos veces.
Con porcentajes que suman 100 %: se multiplica cada dato por su porcentaje en decimal y se suma.
Con cantidades: se divide entre la cantidad total, no entre el número de datos.
La media ponderada se acerca a los datos con más peso.
En una tabla de frecuencias, la media es $\dfrac{\sum x_i \cdot f_i}{N}$ : cada valor pesa lo que su frecuencia.

Errores frecuentes

ErrorHacer la media simple de dos precios aunque se hayan comprado cantidades distintas.
Cómo corregirloMultiplica cada precio por la cantidad comprada, suma y divide entre la cantidad total.
ErrorDividir entre 100 o entre el número de notas después de haber multiplicado por los porcentajes en decimal.
Cómo corregirloSi usas 0,6; 0,25 y 0,15 (que suman 1), el resultado ya es la media: no dividas otra vez.
ErrorEn una tabla de frecuencias, sumar solo los valores $x_i$ y dividir entre el número de valores distintos.
Cómo corregirloMultiplica cada valor por su frecuencia, suma esos productos y divide entre el número total de datos $N$ (la suma de las frecuencias).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La nota de la evaluación situación real (porcentajes)
En la evaluación de Matemáticas los exámenes cuentan un 60 %, los trabajos un 25 % y el cuaderno un 15 %. Irene tiene un 6 de media en exámenes, un 8 en trabajos y un 9 en el cuaderno. ¿Qué nota saca? ¿Y si todo contara lo mismo?

Resolución
$\bar{x}_p = 0{,}60 \cdot 6 + 0{,}25 \cdot 8 + 0{,}15 \cdot 9 = 3{,}6 + 2 + 1{,}35 = 6{,}95$ Si todo contara igual: $\bar{x} = \dfrac{6 + 8 + 9}{3} \approx 7{,}67$ . La nota ponderada es más baja porque la nota más baja (el 6) es la que más pesa.
Ejemplo 2. Llenar el depósito numérico (cantidades)
Un conductor echa 20 L de gasolina a 1,55 €/L en una gasolinera y luego 30 L a 1,45 €/L en otra. ¿Cuál es el precio medio por litro?

Resolución
Cada precio pesa según los litros comprados: $\bar{x}_p = \dfrac{20 \cdot 1{,}55 + 30 \cdot 1{,}45}{20 + 30} = \dfrac{31 + 43{,}5}{50} = \dfrac{74{,}5}{50} = 1{,}49\ \text{€/L}$ La media simple, $\dfrac{1{,}55 + 1{,}45}{2} = 1{,}50$ €/L, no sirve: ha comprado más litros de la barata.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En un instituto, la nota final del curso se calcula así: 1.ª evaluación 30 %, 2.ª evaluación 30 % y 3.ª evaluación 40 %. Mario ha sacado 5, 7 y 8. ¿Cuál es su nota final?

Ver solución
6,8
$0{,}3 \cdot 5 + 0{,}3 \cdot 7 + 0{,}4 \cdot 8 = 1{,}5 + 2{,}1 + 3{,}2 = 6{,}8$ .
2. Fácil
Ana compra en la papelería 3 cuadernos a 2,50 € cada uno, 2 bolígrafos a 1,20 € y 5 lápices a 0,40 €. ¿Cuál es el precio medio por artículo?

Ver solución
1,19 €
$\bar{x}_p = \dfrac{3 \cdot 2{,}50 + 2 \cdot 1{,}20 + 5 \cdot 0{,}40}{3 + 2 + 5} = \dfrac{7{,}5 + 2{,}4 + 2}{10} = \dfrac{11{,}9}{10} = 1{,}19$ €.
3. Media
En una asignatura el examen vale un 70 % y el trabajo un 30 %. Hugo saca un 3 en el examen y un 9 en el trabajo. Él dice: «La media es 6, he aprobado». ¿Tiene razón?

Ver solución
No: su nota es 4,8.
$0{,}7 \cdot 3 + 0{,}3 \cdot 9 = 2{,}1 + 2{,}7 = 4{,}8$ . La media simple (6) no vale porque el examen pesa mucho más: no aprueba.

Para practicar más

1. Fácil
Un sábado, una piscina municipal vende 200 entradas: 120 de adulto a 4,50 €, 60 de joven a 3,60 € y 20 infantiles a 2,70 €. ¿Cuál es el precio medio por entrada?

Ver solución
4,05 €
$\bar{x}_p = \dfrac{120 \cdot 4{,}50 + 60 \cdot 3{,}60 + 20 \cdot 2{,}70}{200} = \dfrac{540 + 216 + 54}{200} = \dfrac{810}{200} = 4{,}05$ €.
2. Media
Para un restaurante se compran 5 L de aceite de oliva a 8,90 €/L y 3 L de otra marca a 9,50 €/L. ¿Cuál es el precio medio por litro? Redondea a los céntimos.

Ver solución
≈ 9,13 €/L
$\bar{x}_p = \dfrac{5 \cdot 8{,}90 + 3 \cdot 9{,}50}{8} = \dfrac{44{,}5 + 28{,}5}{8} = \dfrac{73}{8} = 9{,}125 \approx 9{,}13$ €/L.
3. Media
Un colegio calcula la nota media de cada alumno ponderando por las horas semanales de cada asignatura. Nerea tiene: Matemáticas (4 h) un 7, Lengua (4 h) un 6, Inglés (3 h) un 8 y Música (2 h) un 9. a) Calcula su media ponderada. b) Calcula su media simple y explica por qué es mayor.

Ver solución
a) ≈ 7,23. b) 7,5; Música, su mejor nota, pesa poco en la ponderada.
a) $\bar{x}_p = \dfrac{7 \cdot 4 + 6 \cdot 4 + 8 \cdot 3 + 9 \cdot 2}{4 + 4 + 3 + 2} = \dfrac{94}{13} \approx 7{,}23$ . b) $\bar{x} = \dfrac{7 + 6 + 8 + 9}{4} = 7{,}5$ . En la ponderada, el 9 de Música solo pesa 2 horas de 13, y el 6 de Lengua pesa 4: por eso baja.