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Matemáticas 3.º ESO · Media, mediana y moda

Recuerda: la media aritmética y la moda

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la media aritmética y la moda de un conjunto de datos sueltos y explicar qué significan en el contexto del problema.

Recuerda

La media aritmética y la moda

La media aritmética $\bar{x}$ es el resultado de repartir el total a partes iguales: se suman todos los datos y se divide entre el número de datos, $N$ .

$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N} = \dfrac{\sum x_i}{N}$

La moda $Mo$ es el valor que más se repite (el de mayor frecuencia).

Puede haber dos modas (distribución bimodal) o más; si todos los datos se repiten lo mismo, no hay moda.
La moda también sirve para variables cualitativas (color, deporte, medio de transporte…). La media, no: solo se calcula con números.
La media no tiene por qué ser uno de los datos: si la media de goles es 1,5, ningún partido acabó con 1,5 goles; significa que, repartidos por igual, salen 1,5 goles por partido.

La media como reparto

Si tres amigos tienen 2, 5 y 8 cromos y los juntan para repartirlos a partes iguales, a cada uno le tocan $\dfrac{2 + 5 + 8}{3} = \dfrac{15}{3} = 5$ cromos: la media es 5. Lo que le sobra a uno (8 tiene 3 más que 5) compensa lo que le falta a otro (2 tiene 3 menos).

Pasos

Media: suma todos los datos (¡también los ceros!), cuenta cuántos datos hay y divide. Escribe la unidad.
Moda: haz un recuento y busca el valor que más se repite.
Comprueba: la media tiene que estar entre el dato más pequeño y el más grande.

Puntos clave

Media: $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{N}$ (suma de los datos entre el número de datos).
Moda: el valor más repetido. Puede haber más de una.
Con variables cualitativas solo tiene sentido la moda.
La media lleva las mismas unidades que los datos y no tiene por qué ser uno de ellos.
La media es lo que tocaría a cada uno si se repartiera el total a partes iguales; siempre está entre el dato menor y el mayor.

Errores frecuentes

ErrorDividir entre el número de valores distintos en lugar de entre el número de datos.
Cómo corregirloCuenta todos los datos, también los repetidos y los ceros: $N$ es cuántos datos hay.
ErrorDar como moda la frecuencia (las veces que se repite) en vez del valor.
Cómo corregirloSi el 5 aparece tres veces, la moda es 5, no 3.
ErrorOlvidar los ceros al sumar o al contar.
Cómo corregirloUn 0 es un dato: no cambia la suma, pero sí cuenta en $N$ .
ErrorDar una media mayor que el dato más grande o menor que el más pequeño por un error de cuentas.
Cómo corregirloComprueba siempre que la media queda entre el menor y el mayor de los datos; si no, repasa la suma y el número de datos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Los retrasos del tren situación real (numérico)
Lucía apunta cuántos minutos se retrasa su tren de Cercanías durante 8 días de clase: 3, 5, 2, 5, 8, 4, 5, 0. Calcula la media y la moda e interpreta los resultados.

Resolución
Media: sumamos los 8 datos (el 0 también cuenta): $\bar{x} = \dfrac{3 + 5 + 2 + 5 + 8 + 4 + 5 + 0}{8} = \dfrac{32}{8} = 4\ \text{min}$ Si todos los retrasos fueran iguales, el tren llegaría 4 minutos tarde cada día.

Moda: el 5 aparece 3 veces, más que ningún otro valor → $Mo = 5$ min. El retraso más frecuente es de 5 minutos.
Ejemplo 2. El helado favorito variable cualitativa
Se pregunta a 20 alumnos de 3.º por su sabor de helado favorito: 9 dicen chocolate, 6 vainilla, 3 fresa y 2 limón. ¿Se puede calcular la media? ¿Y la moda?

Resolución
La variable «sabor favorito» es cualitativa: sus valores no son números, así que no se puede sumar ni calcular la media.

Sí tiene moda: el valor con más frecuencia es chocolate (9 alumnos). $Mo$ = chocolate.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Cada mañana a las 8:30, durante una semana, se cuentan las plazas libres del aparcamiento de bicis de un instituto: 21, 23, 22, 19, 18, 22, 22. Calcula la media y la moda.

Ver solución
$\bar{x} = 21$ plazas; $Mo = 22$ plazas
$\bar{x} = \dfrac{21 + 23 + 22 + 19 + 18 + 22 + 22}{7} = \dfrac{147}{7} = 21$ plazas. El 22 aparece tres veces: $Mo = 22$ plazas.
2. Fácil
Diez amigos dicen a cuántos conciertos han ido este año: 2, 0, 1, 3, 2, 4, 2, 1, 0, 5. Halla la media y la moda. ¿Qué significa la media?

Ver solución
$\bar{x} = 2$ conciertos; $Mo = 2$ conciertos
$\bar{x} = \dfrac{2 + 0 + 1 + 3 + 2 + 4 + 2 + 1 + 0 + 5}{10} = \dfrac{20}{10} = 2$ conciertos. El 2 se repite tres veces: $Mo = 2$ . Si todos hubieran ido al mismo número de conciertos, cada uno habría ido a 2.
3. Media
Una tienda de telefonía anota la memoria (GB) de los móviles que vende una mañana: 128, 256, 128, 64, 256, 512, 128, 256. a) Calcula la media y la moda. b) Si la tienda tiene que pedir más móviles, ¿qué parámetro le es más útil? ¿Tiene sentido la media?

Ver solución
a) $\bar{x} = 216$ GB; modas 128 GB y 256 GB. b) La moda; ningún móvil tiene 216 GB.
a) $\bar{x} = \dfrac{128 + 256 + 128 + 64 + 256 + 512 + 128 + 256}{8} = \dfrac{1728}{8} = 216$ GB. El 128 y el 256 aparecen tres veces cada uno: hay dos modas, 128 GB y 256 GB (bimodal). b) Le sirve la moda: son las memorias que más se venden. La media, 216 GB, no corresponde a ningún móvil a la venta.

Para practicar más

1. Fácil
Sara anota los kilómetros que recorre en bici cada día durante 6 días: 12, 8, 15, 12, 9, 16. Calcula la media y la moda.

Ver solución
$\bar{x} = 12$ km; $Mo = 12$ km
$\bar{x} = \dfrac{12 + 8 + 15 + 12 + 9 + 16}{6} = \dfrac{72}{6} = 12$ km. El 12 aparece dos veces: $Mo = 12$ km.
2. Fácil
Pablo apunta los kilos de papel que su familia lleva al contenedor azul cada semana durante 5 semanas: 4,2; 3,8; 5,1; 4,6; 3,8. Calcula la media y la moda.

Ver solución
$\bar{x} = 4{,}3$ kg; $Mo = 3{,}8$ kg
$\bar{x} = \dfrac{4{,}2 + 3{,}8 + 5{,}1 + 4{,}6 + 3{,}8}{5} = \dfrac{21{,}5}{5} = 4{,}3$ kg. El 3,8 se repite: $Mo = 3{,}8$ kg.
3. Media
En una encuesta en la Puerta del Sol, 15 turistas dicen qué museo de Madrid prefieren: Prado, Reina Sofía, Prado, Thyssen, Prado, Reina Sofía, Prado, Thyssen, Prado, Reina Sofía, Prado, Sorolla, Reina Sofía, Prado, Thyssen. a) ¿Qué parámetro puedes calcular? Hállalo. b) Explica por qué no tiene sentido hablar de la media.

Ver solución
a) La moda: el Prado. b) La variable es cualitativa.
a) Contamos: Prado 7, Reina Sofía 4, Thyssen 3, Sorolla 1. $Mo$ = el Prado. b) Los valores son nombres de museos, no números: no se pueden sumar, así que no hay media (variable cualitativa).