Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

Matemáticas 3.º ESO · Media, mediana y moda

Recuerda: la mediana

Objetivo: Al terminar, sabrás ordenar un conjunto de datos sueltos y hallar su mediana, tanto si el número de datos es impar como si es par.

Recuerda

La mediana

La mediana $Me$ es el valor que ocupa la posición central cuando los datos están ordenados de menor a mayor. Deja la mitad de los datos por debajo y la otra mitad por encima.

Cómo se calcula:

Ordena los datos (sin quitar los repetidos).
Si $N$ es impar, hay un dato central: el que ocupa el lugar $\dfrac{N + 1}{2}$ .
Si $N$ es par, hay dos datos centrales (lugares $\dfrac{N}{2}$ y $\dfrac{N}{2} + 1$ ): la mediana es la media de esos dos.

Por ejemplo, en 2, 3, 5, 8, 9 la mediana es 5; en 2, 3, 5, 7, 8, 9 la mediana es $\dfrac{5 + 7}{2} = 6$ .

La mediana y los datos muy alejados

La media usa el valor de todos los datos, así que un dato muy alejado de los demás (muy grande o muy pequeño) la desplaza mucho. La mediana solo depende del dato (o de los dos datos) del centro: aunque el dato mayor fuera muchísimo más grande, la mediana seguiría igual.

Si no hay datos muy alejados, la media y la mediana salen parecidas.
Si hay algún dato muy alejado, la mediana representa mejor a la mayoría de los datos.

Para hallar la mediana hay que poder ordenar los datos: no se calcula con variables cualitativas como el color o el deporte favorito.

Puntos clave

Antes de buscar la mediana, ordena los datos.
$N$ impar: la mediana es el dato central, en el lugar $\frac{N+1}{2}$ .
$N$ par: la mediana es la media de los dos datos centrales.
La mediana deja el 50 % de los datos por debajo y el 50 % por encima.
Un dato muy alejado de los demás desplaza mucho la media, pero casi no cambia la mediana: en ese caso, la mediana representa mejor a la mayoría.

Errores frecuentes

ErrorTomar el dato que está en el medio de la lista sin ordenarla.
Cómo corregirloEscribe siempre primero la lista ordenada; el dato del medio de la lista desordenada no significa nada.
ErrorQuitar los datos repetidos al ordenar.
Cómo corregirloCada dato cuenta: si el 10 aparece dos veces, escríbelo dos veces.
ErrorCon $N$ par, dar como mediana la posición $\frac{N}{2}$ (por ejemplo, «la mediana es 5» porque hay 10 datos).
Cómo corregirlo $\frac{N}{2}$ es un lugar, no la mediana. Busca qué datos ocupan los lugares $\frac{N}{2}$ y $\frac{N}{2}+1$ y haz su media.
ErrorDar siempre la media como «valor típico», aunque haya un dato muy alejado.
Cómo corregirloCalcula también la mediana y compáralas. Si son muy distintas, mira si hay algún dato muy alejado: la mediana describe mejor a la mayoría.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Vídeos de divulgación situación real (N impar)
Un canal de divulgación científica ha subido 9 vídeos este mes. Sus duraciones, en minutos, son: 12, 5, 20, 8, 15, 10, 25, 7, 10. Halla la mediana e interprétala.

Resolución
Ordenamos: 5, 7, 8, 10, 10, 12, 15, 20, 25. $N = 9$ es impar: el dato central ocupa el lugar $\dfrac{9 + 1}{2} = 5$ . $Me = 10$ min. La mitad de los vídeos dura 10 minutos o menos y la otra mitad, 10 minutos o más.
Ejemplo 2. El menú del día numérico (N par, decimales)
Estos son los precios (€) del menú del día en 8 restaurantes de un barrio de Madrid: 12,5; 11; 14; 13,5; 10; 13; 15; 12. Halla la mediana.

Resolución
Ordenamos: 10; 11; 12; 12,5; 13; 13,5; 14; 15. $N = 8$ es par: los datos centrales ocupan los lugares $\dfrac{8}{2} = 4$ y $5$ : son 12,5 y 13. $Me = \dfrac{12{,}5 + 13}{2} = 12{,}75\ \text{€}$ La mediana no es ninguno de los precios: es el punto medio entre los dos centrales.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Halla la mediana de: 4, 9, 2, 7, 7, 1, 5.

Ver solución
$Me = 5$
Ordenados: 1, 2, 4, 5, 7, 7, 9. $N = 7$ : lugar $\frac{7+1}{2} = 4$ → $Me = 5$ .
2. Fácil
Las estaturas (cm) de los 10 jugadores de un equipo de remo son: 182, 175, 190, 178, 185, 188, 172, 180, 179, 186. Halla la mediana.

Ver solución
$Me = 181$ cm
Ordenadas: 172, 175, 178, 179, 180, 182, 185, 186, 188, 190. $N = 10$ : datos en los lugares 5 y 6 → $Me = \dfrac{180 + 182}{2} = 181$ cm.
3. Media
Las notas de un examen de 10 alumnos son: 6, 8, 5, 7, 9, 6, 4, 6, 10, 9. Calcula la media, la mediana y la moda.

Ver solución
$\bar{x} = 7$ ; $Me = 6{,}5$ ; $Mo = 6$
$\bar{x} = \dfrac{70}{10} = 7$ . Ordenadas: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10 → $Me = \dfrac{6 + 7}{2} = 6{,}5$ . El 6 aparece tres veces → $Mo = 6$ .

Para practicar más

1. Fácil
Estas son las edades de las 11 personas apuntadas a un taller de informática para mayores en un centro cultural: 68, 72, 60, 75, 70, 64, 80, 66, 72, 58, 71. Halla la mediana.

Ver solución
$Me = 70$ años
Ordenados: 58, 60, 64, 66, 68, 70, 71, 72, 72, 75, 80. $N = 11$ : lugar $\frac{11+1}{2} = 6$ → $Me = 70$ .
2. Media
En una competición escolar, 6 atletas logran estas marcas en lanzamiento de peso (m): 5,12; 4,87; 5,40; 5,05; 4,95; 5,30. Halla la mediana.

Ver solución
$Me = 5{,}085$ m
Ordenadas: 4,87; 4,95; 5,05; 5,12; 5,30; 5,40. $N = 6$ : lugares 3 y 4 → $Me = \dfrac{5{,}05 + 5{,}12}{2} = 5{,}085$ m.
3. Difícil
Escribe cinco números enteros distintos cuya mediana sea 8 y cuya media sea 10.

Ver solución
Por ejemplo: 4, 6, 8, 15, 17
Ordenados, el tercero tiene que ser 8. Si la media es 10, la suma de los cinco es $5 \cdot 10 = 50$ . Por ejemplo: 4, 6, 8, 15, 17 → suma $= 50$ , $\bar{x} = 10$ y $Me = 8$ . (Hay muchas respuestas: basta con que dos números sean menores que 8, dos mayores y que la suma total sea 50.)