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Matemáticas 3.º ESO · Media, mediana y moda

Media, mediana y moda a partir de una tabla de frecuencias

Objetivo: Al terminar, sabrás obtener la media, la mediana y la moda de datos presentados en una tabla de frecuencias o en un diagrama de barras, usando las frecuencias acumuladas para la mediana.

Explicación

Datos en una tabla

Cuando hay muchos datos repetidos, se resumen en una tabla de frecuencias: cada valor $x_i$ con su frecuencia absoluta $f_i$ (cuántas veces aparece). Añadimos dos columnas:

$x_i \cdot f_i$ , para la media;
$F_i$ , la frecuencia absoluta acumulada (suma de las frecuencias hasta ese valor), para la mediana.

Media: $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i \cdot f_i}{N}$ , donde $N = \sum f_i$ es el número total de datos.

Moda: el valor con mayor frecuencia $f_i$ (en el diagrama de barras, la barra más alta).

Mediana: calcula $\dfrac{N}{2}$ y busca en la columna $F_i$ :

el primer valor cuya $F_i$ supera $\dfrac{N}{2}$ es la mediana;
si alguna $F_i$ es exactamente igual a $\dfrac{N}{2}$ , la mediana es la media entre ese valor y el siguiente.

Puntos clave

$N = \sum f_i$ es el número de datos, no el número de filas de la tabla.
Media: $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i \cdot f_i}{N}$ .
Moda: el valor de mayor frecuencia.
Mediana: primer valor con $F_i > \frac{N}{2}$ ; si $F_i = \frac{N}{2}$ justo, media de ese valor y el siguiente.

Errores frecuentes

ErrorDividir $\sum x_i \cdot f_i$ entre el número de valores distintos (filas de la tabla).
Cómo corregirloDivide entre $N$ , la suma de las frecuencias.
ErrorDar como mediana la frecuencia acumulada que supera $\frac{N}{2}$ .
Cómo corregirloLa mediana es el valor $x_i$ de esa fila, no su $F_i$ .
ErrorDar como moda la frecuencia más alta.
Cómo corregirloLa moda es el valor $x_i$ que tiene esa frecuencia.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Visitas a museos numérico (tabla)
Se pregunta a 30 alumnos cuántas veces han visitado un museo en el último año. Resultados: 0 veces, 4 alumnos; 1, 12; 2, 9; 3, 4; 4, 1. Calcula la media, la mediana y la moda.

Resolución

$x_i$ $f_i$ $F_i$ $x_i \cdot f_i$

0 4 4 0

1 12 16 12

2 9 25 18

3 4 29 12

4 1 30 4

$N = 30$ $46$

Media: $\bar{x} = \dfrac{46}{30} \approx 1{,}53$ visitas. Moda: la mayor frecuencia es 12 → $Mo = 1$ visita. Mediana: $\dfrac{N}{2} = 15$ . La primera $F_i$ mayor que 15 es 16 → $Me = 1$ visita.
Ejemplo 2. Averías en la escalera mecánica gráfico (mediana con $F_i = N/2$)
El diagrama de barras recoge cuántas averías tuvo cada semana la escalera mecánica de una estación de Metro durante 20 semanas. Calcula la media, la mediana y la moda.

Resolución
Del diagrama: 0 averías, 3 semanas; 1, 5; 2, 2; 3, 6; 4, 4. $N = 20$ .

$x_i$ $f_i$ $F_i$ $x_i \cdot f_i$

0 3 3 0

1 5 8 5

2 2 10 4

3 6 16 18

4 4 20 16

20 43

Media: $\bar{x} = \dfrac{43}{20} = 2{,}15$ averías por semana. Moda: la barra más alta → $Mo = 3$ averías. Mediana: $\dfrac{N}{2} = 10$ y la $F_i$ del 2 es justo 10: los datos de los lugares 10 y 11 son 2 y 3 → $Me = \dfrac{2 + 3}{2} = 2{,}5$ averías.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$x_i \cdot f_i$
0	4	4	0
1	12	16	12
2	9	25	18
3	4	29	12
4	1	30	4
	$N = 30$		$46$

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$x_i \cdot f_i$
0	3	3	0
1	5	8	5
2	2	10	4
3	6	16	18
4	4	20	16
	20		43

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Se pregunta a 25 personas cuántas veces comieron fuera de casa la semana pasada: 0 veces, 5 personas; 1, 3; 2, 6; 3, 7; 4, 4. Calcula la media, la mediana y la moda.

Ver solución
$\bar{x} = 2{,}08$ ; $Me = 2$ ; $Mo = 3$
$\sum x_i f_i = 0 + 3 + 12 + 21 + 16 = 52$ → $\bar{x} = \dfrac{52}{25} = 2{,}08$ veces. $F_i$ : 5, 8, 14, 21, 25. $\dfrac{N}{2} = 12{,}5$ → primera $F_i > 12{,}5$ es 14 → $Me = 2$ . Mayor frecuencia (7) → $Mo = 3$ .
2. Media
El diagrama muestra cuántas llaves lleva en el llavero cada uno de 24 alumnos. Calcula la media, la mediana y la moda.

Ver solución
$\bar{x} = 3{,}125$ ; $Me = 3$ ; $Mo = 3$
Del diagrama: 1 → 2; 2 → 5; 3 → 8; 4 → 6; 5 → 3. $N = 24$ . $\sum x_i f_i = 2 + 10 + 24 + 24 + 15 = 75$ → $\bar{x} = \dfrac{75}{24} = 3{,}125$ llaves. $F_i$ : 2, 7, 15, 21, 24. $\dfrac{N}{2} = 12$ → primera $F_i > 12$ es 15 → $Me = 3$ . $Mo = 3$ .
3. Difícil
Se lanza un dado 40 veces: el 1 sale 6 veces; el 2, 8; el 3, 6; el 4, 7; el 5, 5, y el 6, 8. Calcula la media, la mediana y la moda.

Ver solución
$\bar{x} = 3{,}525$ ; $Me = 3{,}5$ ; modas 2 y 6
$\sum x_i f_i = 6 + 16 + 18 + 28 + 25 + 48 = 141$ → $\bar{x} = \dfrac{141}{40} = 3{,}525$ . $F_i$ : 6, 14, 20, 27, 32, 40. $\dfrac{N}{2} = 20$ y la $F_i$ del 3 es justo 20 → $Me = \dfrac{3 + 4}{2} = 3{,}5$ . El 2 y el 6 tienen la mayor frecuencia (8): dos modas, 2 y 6.

Para practicar más

1. Fácil
Treinta familias dicen cuántos coches tienen: 0 coches, 12 familias; 1, 10; 2, 5; 3, 3. Calcula la media (redondea a las centésimas), la mediana y la moda.

Ver solución
$\bar{x} \approx 0{,}97$ ; $Me = 1$ ; $Mo = 0$
$\sum x_i f_i = 0 + 10 + 10 + 9 = 29$ → $\bar{x} = \dfrac{29}{30} \approx 0{,}97$ coches. $F_i$ : 12, 22, 27, 30. $\dfrac{N}{2} = 15$ → primera $F_i > 15$ es 22 → $Me = 1$ . $Mo = 0$ .
2. Media
Las notas (sin decimales) de 32 alumnos en un examen son: 3 → 2 alumnos; 4 → 3; 5 → 7; 6 → 8; 7 → 6; 8 → 4; 9 → 2. Calcula la media (redondea a las centésimas), la mediana y la moda.

Ver solución
$\bar{x} \approx 6{,}03$ ; $Me = 6$ ; $Mo = 6$
$\sum x_i f_i = 6 + 12 + 35 + 48 + 42 + 32 + 18 = 193$ → $\bar{x} = \dfrac{193}{32} \approx 6{,}03$ . $F_i$ : 2, 5, 12, 20, 26, 30, 32. $\dfrac{N}{2} = 16$ → primera $F_i > 16$ es 20 → $Me = 6$ . $Mo = 6$ .
3. Media
Treinta alumnos indican cuántas horas durmieron anoche: 6 h, 3 alumnos; 7 h, 12; 8 h, 11; 9 h, 4. Calcula la media (redondea a las centésimas), la mediana y la moda.

Ver solución
$\bar{x} \approx 7{,}53$ h; $Me = 7{,}5$ h; $Mo = 7$ h
$\sum x_i f_i = 18 + 84 + 88 + 36 = 226$ → $\bar{x} = \dfrac{226}{30} \approx 7{,}53$ h. $F_i$ : 3, 15, 26, 30. $\dfrac{N}{2} = 15$ y la $F_i$ del 7 es justo 15 → $Me = \dfrac{7 + 8}{2} = 7{,}5$ h. $Mo = 7$ h.