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Matemáticas 3.º ESO · Media, mediana y moda

Valores atípicos y cambios en los datos: ¿qué medida elegir?

Objetivo: Al terminar, sabrás cómo afectan los valores atípicos y las transformaciones de los datos (sumar o multiplicar por un número) a la media, la mediana y la moda, y elegirás la medida que mejor representa cada conjunto de datos.

Explicación

Valores atípicos

Un valor atípico es un dato mucho mayor o mucho menor que el resto (un error al medir, un caso excepcional…).

La media usa todos los datos, así que un atípico la desplaza mucho hacia él.
La mediana solo depende de la posición central: un atípico apenas la cambia.
La moda solo depende del valor más repetido: normalmente no cambia.

¿Qué medida elegir?

Situación	Medida más representativa
Datos numéricos sin atípicos y bastante simétricos	media (usa toda la información)
Hay atípicos o los datos están muy descompensados hacia un lado (sueldos, precios de pisos, retrasos…)	mediana
Variable cualitativa o interesa el valor más frecuente (talla, color, modelo más vendido)	moda

Cambios en todos los datos

Si a todos los datos les hacemos la misma operación, las tres medidas cambian igual:

Sumar (o restar) un número $k$ : la media, la mediana y la moda aumentan (o disminuyen) $k$ .
Multiplicar por un número $a$ : la media, la mediana y la moda quedan multiplicadas por $a$ .
En general, si $y = a \cdot x + b$ , entonces $\bar{y} = a \cdot \bar{x} + b$ , y lo mismo con la mediana y la moda.

Así se cambian unidades sin recalcular: de euros a céntimos ( $\cdot 100$ ), de °C a °F ( $F = 1{,}8 \cdot C + 32$ )…

Puntos clave

Un valor atípico desplaza mucho la media y casi nada la mediana y la moda.
Con atípicos o datos descompensados, la mediana representa mejor el valor típico.
Con variables cualitativas o para el valor más frecuente, la moda.
Sumar $k$ a todos los datos suma $k$ a la media, la mediana y la moda.
Multiplicar todos los datos por $a$ multiplica por $a$ la media, la mediana y la moda.

Errores frecuentes

ErrorPensar que la media siempre es la mejor medida porque «usa todos los datos».
Cómo corregirloMira si hay atípicos: si la mayoría de los datos queda por debajo (o por encima) de la media, la media no es representativa; usa la mediana.
ErrorVolver a calcular todo tras un cambio de unidades.
Cómo corregirloAplica la misma operación al parámetro: si $\bar{x} = 25$ °C, en °F es $1{,}8 \cdot 25 + 32 = 77$ °F.
ErrorCreer que si se suma 1 a todos los datos, la media aumenta 1 dividido entre $N$ .
Cómo corregirloCada dato sube 1, la suma sube $N$ y, al dividir entre $N$ , la media sube exactamente 1.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El sueldo del gerente situación real (valor atípico)
En una pequeña tienda de Madrid trabajan 7 personas. Sus sueldos mensuales (€) son: 1200, 1250, 1300, 1300, 1400, 1450 y 6500 (el gerente). a) Calcula la media, la mediana y la moda. b) ¿Cuál describe mejor el sueldo «típico»? c) ¿Cómo cambian si no contamos al gerente?

Resolución
a) $\bar{x} = \dfrac{1200 + 1250 + 1300 + 1300 + 1400 + 1450 + 6500}{7} = \dfrac{14\,400}{7} \approx 2057{,}14$ €. Ordenados, el dato central (lugar 4) es 1300 → $Me = 1300$ €. El 1300 se repite → $Mo = 1300$ €.

b) Seis de los siete cobran menos que la media: la media está «arrastrada» por el sueldo del gerente, que es un valor atípico. La mediana (1300 €) describe mejor lo que cobra un empleado típico.

c) Sin el gerente: $\bar{x} = \dfrac{7900}{6} \approx 1316{,}67$ €, $Me = \dfrac{1300 + 1300}{2} = 1300$ €, $Mo = 1300$ €. Un solo dato ha movido la media unos 740 €; la mediana y la moda no se han movido.
Ejemplo 2. Un punto más para todos numérico (transformaciones)
Las notas de un examen de 10 alumnos son: 3, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 5, 4, 9. a) Calcula la media, la mediana y la moda. b) La profesora decide subir 1 punto a todos. ¿Cuáles son ahora los tres parámetros? c) Si en vez de eso las notas se pasan a una escala de 0 a 100 (multiplicando por 10), ¿cuáles serían?

Resolución
a) $\bar{x} = \dfrac{60}{10} = 6$ . Ordenadas: 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9 → $Me = \dfrac{5 + 6}{2} = 5{,}5$ . El 5 aparece tres veces → $Mo = 5$ .

b) Sumar 1 a todos los datos suma 1 a cada parámetro: $\bar{x}' = 7$ , $Me' = 6{,}5$ , $Mo' = 6$ . (Comprobación: las nuevas notas suman $60 + 10 = 70$ y $70 : 10 = 7$ .)

c) Multiplicar por 10 multiplica por 10 cada parámetro: $\bar{x}'' = 60$ , $Me'' = 55$ , $Mo'' = 50$ .
Ejemplo 3. Faltas de asistencia gráfico
El diagrama de barras muestra cuántos días faltó a clase cada uno de los 24 alumnos de un grupo durante el trimestre. Dos alumnos estuvieron de baja muchos días. a) Calcula la media, la mediana y la moda. b) ¿Qué medida describe mejor al alumno típico del grupo?

Resolución
Leemos el diagrama: 0 días → 8 alumnos; 1 → 7; 2 → 4; 3 → 3; 12 → 1; 15 → 1. En total, $N = 24$ .

a) $\bar{x} = \dfrac{0 \cdot 8 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 12 \cdot 1 + 15 \cdot 1}{24} = \dfrac{51}{24} = 2{,}125$ días. Ordenados, los ceros ocupan los lugares 1 a 8 y los unos, del 9 al 15. Los datos centrales (lugares 12 y 13) son 1 y 1 → $Me = 1$ día. La barra más alta es la del 0 → $Mo = 0$ días.

b) 19 de los 24 alumnos faltaron 2 días o menos, pero la media sale más de 2 por culpa de los dos valores atípicos (12 y 15), que en el diagrama se ven separados del resto. La mediana (1 día) representa mejor al alumno típico.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Seis nadadores hacen 50 m libres. Sus tiempos (s) son: 31, 32, 30, 33, 31, 58 (este último tuvo un calambre y casi se para). a) Calcula la media, la mediana y la moda. b) Repite el cálculo sin el 58. c) ¿Qué medida ha cambiado más?

Ver solución
a) $\bar{x} \approx 35{,}83$ s; $Me = 31{,}5$ s; $Mo = 31$ s. b) $\bar{x} = 31{,}4$ s; $Me = 31$ s; $Mo = 31$ s. c) La media.
a) $\bar{x} = \dfrac{215}{6} \approx 35{,}83$ s. Ordenados: 30, 31, 31, 32, 33, 58 → $Me = \dfrac{31 + 32}{2} = 31{,}5$ s. $Mo = 31$ s. b) Sin el 58: $\bar{x} = \dfrac{157}{5} = 31{,}4$ s; ordenados 30, 31, 31, 32, 33 → $Me = 31$ s; $Mo = 31$ s. c) La media ha cambiado unos 4,4 s; la mediana, medio segundo; la moda, nada.
2. Fácil
En un grupo de amigos, la media de edad es de 14 años, la mediana es 14 y la moda, 13. ¿Cuáles serán estos parámetros dentro de 5 años? ¿Y dentro de 5 años, expresados en meses?

Ver solución
19, 19 y 18 años; 228, 228 y 216 meses
Dentro de 5 años, todos tienen 5 años más: se suma 5 a cada parámetro → $\bar{x} = 19$ , $Me = 19$ , $Mo = 18$ años. En meses se multiplica por 12: $19 \cdot 12 = 228$ , $228$ y $18 \cdot 12 = 216$ meses.
3. Media
Una tienda online sube todos sus precios un 10 %. Antes de la subida, el precio medio era 40 €, la mediana 35 € y la moda 30 €. Calcula los tres parámetros después de la subida.

Ver solución
$\bar{x} = 44$ €; $Me = 38{,}50$ €; $Mo = 33$ €
Subir un 10 % es multiplicar por 1,1: $40 \cdot 1{,}1 = 44$ €; $35 \cdot 1{,}1 = 38{,}50$ €; $30 \cdot 1{,}1 = 33$ €.
4. Media
Di qué medida (media, mediana o moda) usarías en cada caso y por qué: a) El color de mochila que más se vende en una papelería. b) El precio típico de un piso en un barrio donde casi todos cuestan entre 200 000 y 300 000 €, pero hay tres chalés de más de 2 millones. c) La nota de Matemáticas de un alumno en la evaluación, a partir de sus exámenes. d) Los kilómetros que corre cada día una atleta que entrena siempre distancias parecidas.

Ver solución
a) Moda. b) Mediana. c) Media. d) Media.
a) Moda: la variable (color) es cualitativa. b) Mediana: los chalés son atípicos y subirían mucho la media. c) Media: todos los exámenes deben contar y no hay atípicos que la falseen. d) Media: datos numéricos parecidos, sin atípicos.
5. Difícil
Las temperaturas mínimas (°C) de una semana de enero en Rascafría fueron: −4, −2, 0, −3, −1, −2, 5. a) Calcula la media, la mediana y la moda. b) Un turista estadounidense las quiere en grados Fahrenheit ( $F = 1{,}8 \cdot C + 32$ ). Calcula los tres parámetros en °F sin pasar cada dato.

Ver solución
a) $\bar{x} = -1$ °C; $Me = -2$ °C; $Mo = -2$ °C. b) 30,2 °F; 28,4 °F; 28,4 °F.
a) $\bar{x} = \dfrac{-4 - 2 + 0 - 3 - 1 - 2 + 5}{7} = \dfrac{-7}{7} = -1$ °C. Ordenadas: −4, −3, −2, −2, −1, 0, 5 → $Me = -2$ °C. $Mo = -2$ °C. b) Se aplica $F = 1{,}8 \cdot C + 32$ a cada parámetro: $\bar{x} = 1{,}8 \cdot (-1) + 32 = 30{,}2$ °F; $Me = Mo = 1{,}8 \cdot (-2) + 32 = 28{,}4$ °F.

Para practicar más

1. Fácil
Una cuenta de una red social obtiene estos «me gusta» en sus 7 últimas publicaciones: 120, 95, 110, 130, 105, 2400 (se hizo viral) y 115. a) Calcula la media y la mediana. b) ¿Cuál usarías para decir cuántos «me gusta» suele tener una publicación? Justifícalo.

Ver solución
a) $\bar{x} \approx 439{,}29$ ; $Me = 115$ . b) La mediana.
a) $\bar{x} = \dfrac{3075}{7} \approx 439{,}29$ . Ordenados: 95, 105, 110, 115, 120, 130, 2400 → $Me = 115$ . b) La mediana: el 2400 es un valor atípico; seis de las siete publicaciones tienen muchos menos «me gusta» que la media.
2. Media
Un fontanero cobra 30 € por ir a la casa más 25 € por cada hora de trabajo. En sus trabajos de este mes, el tiempo medio ha sido 2,4 h y la mediana, 2 h. Calcula la media y la mediana de lo que ha cobrado por trabajo.

Ver solución
Media: 90 €; mediana: 80 €
Lo que cobra es $y = 25 \cdot x + 30$ . Media: $25 \cdot 2{,}4 + 30 = 90$ €. Mediana: $25 \cdot 2 + 30 = 80$ €.
3. Media
¿Verdadero o falso? Justifica cada respuesta. a) La media siempre es uno de los datos. b) Si a todos los datos se les resta 3, la moda disminuye 3. c) Si se añade un dato mucho mayor que todos los demás, la media aumenta. d) Si se añade a un conjunto un dato igual a su media, la media no cambia.

Ver solución
a) F. b) V. c) V. d) V.
a) Falso: la media de 1 y 2 es 1,5, que no es ningún dato. b) Verdadero: el valor más repetido sigue siendo el mismo, con 3 menos. c) Verdadero: el nuevo dato es mayor que la media anterior, así que la sube. d) Verdadero: si $N$ datos tienen media $\bar{x}$ , suman $N \cdot \bar{x}$ ; con el nuevo, $\dfrac{N \cdot \bar{x} + \bar{x}}{N + 1} = \bar{x}$ .
4. Media
Las estaturas de 5 hermanos son (en m): 1,62; 1,75; 1,58; 1,80; 1,70. a) Calcula la media y la mediana en metros. b) Escríbelas en centímetros sin volver a calcular. c) Si dentro de un año cada uno ha crecido 3 cm, ¿cuáles serán la media y la mediana?

Ver solución
a) 1,69 m y 1,70 m. b) 169 cm y 170 cm. c) 172 cm y 173 cm.
a) $\bar{x} = \dfrac{8{,}45}{5} = 1{,}69$ m. Ordenadas: 1,58; 1,62; 1,70; 1,75; 1,80 → $Me = 1{,}70$ m. b) Multiplicamos por 100: $\bar{x} = 169$ cm, $Me = 170$ cm. c) Sumamos 3 cm: $\bar{x} = 172$ cm, $Me = 173$ cm.