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Matemáticas 3.º ESO · Cuartiles y diagrama de caja y bigotes

Comparar distribuciones con diagramas de caja

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el resumen de cinco números a partir de los datos, dibujar su diagrama de caja y comparar dos o más grupos con diagramas paralelos, fijándote en el centro, la dispersión y la forma.

Explicación

Del listado de datos al diagrama

Ordena los datos y cuenta $N$ .
Calcula $Q_1$ , la mediana y $Q_3$ (posiciones $N/4$ , $N/2$ y $3N/4$ ) y anota el mínimo y el máximo.
Dibuja la escala y el diagrama.

Diagramas paralelos

Para comparar dos o más grupos se dibujan sus diagramas uno encima de otro, con la misma escala. Se comparan tres cosas:

Centro: ¿qué mediana es mayor?
Dispersión: ¿qué caja es más larga (mayor RIC)? ¿Qué recorrido es mayor? El grupo con la caja más corta es el más homogéneo (más regular).
Forma: cómo se reparten los datos dentro del diagrama.

La forma: simetría y asimetría

Simétrica: la mediana está más o menos en el centro de la caja y los bigotes son parecidos.
Asimétrica hacia la derecha: la mediana está cerca de $Q_1$ y el bigote derecho es largo. Hay unos pocos datos mucho mayores que el resto (por ejemplo, tiempos de espera o sueldos).
Asimétrica hacia la izquierda: la mediana está cerca de $Q_3$ y el bigote izquierdo es largo. Hay unos pocos datos mucho menores que el resto (por ejemplo, notas de un examen fácil).

Puntos clave

Para comparar grupos, diagramas paralelos con la misma escala.
Compara la mediana (centro), el RIC y el recorrido (dispersión) y la forma.
Caja más corta = grupo más homogéneo.
Mediana cerca de $Q_1$ y bigote derecho largo: asimetría hacia la derecha; al revés, hacia la izquierda.

Errores frecuentes

ErrorDibujar los diagramas de dos grupos con escalas distintas y compararlos a ojo.
Cómo corregirloUsa una sola escala que abarque los dos grupos, del menor mínimo al mayor máximo.
ErrorComparar solo las medianas y concluir que los dos grupos «son iguales».
Cómo corregirloCon la misma mediana, dos grupos pueden ser muy distintos en dispersión: mira también la caja y los bigotes.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La cola de una atracción numérico y gráfico (de los datos al diagrama)
Un grupo de amigos anota, en 15 visitas al Parque de Atracciones de Madrid, los minutos que esperan en la cola de su atracción favorita:

2, 5, 3, 8, 4, 12, 6, 3, 7, 5, 9, 4, 15, 6, 5

Calcula el resumen de los cinco números, dibuja el diagrama de caja y describe su forma.

Resolución
Ordenados: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 12, 15 ( $N = 15$ ).
- $Q_1$ : $15/4 = 3{,}75$ → 4.º dato → 4 min.
- $Me$ : $15/2 = 7{,}5$ → 8.º dato → 5 min.
- $Q_3$ : $45/4 = 11{,}25$ → 12.º dato → 8 min.
- Mínimo 2 min; máximo 15 min.
Diagrama: caja de 4 a 8 con una línea en 5; bigotes de 2 a 4 y de 8 a 15 (en la gráfica).

Forma: la mediana está muy cerca de $Q_1$ y el bigote derecho es muy largo: asimetría hacia la derecha. Casi siempre esperan poco, pero algunos días esperan mucho más.
Ejemplo 2. Dos jugadoras de baloncesto gráfico (diagramas paralelos)
Los diagramas resumen los puntos que han anotado por partido dos jugadoras, A y B, de un equipo de baloncesto de Madrid durante la temporada. ¿Cuál anota más? ¿Cuál es más regular? Si tuvieras que elegir a una para un partido decisivo, ¿a cuál elegirías?

Resolución
Leemos los cinco números:

Mín. $Q_1$ $Me$ $Q_3$ Máx. RIC Recorrido

A 4 10 14 16 26 6 22

B 9 12 13 15 18 3 9
- Centro: las medianas son parecidas (14 y 13): en un partido típico anotan casi lo mismo.
- Dispersión: B tiene la caja y el recorrido mucho menores: B es más regular. A tiene partidos muy buenos (hasta 26 puntos) y otros muy flojos (4 puntos).
- Elección: depende de lo que se busque: B es la apuesta segura; A puede ganar un partido ella sola, pero también puede tener un mal día. Cualquier respuesta razonada con estos datos es válida.

	Mín.	$Q_1$	$Me$	$Q_3$	Máx.	RIC	Recorrido
A	4	10	14	16	26	6	22
B	9	12	13	15	18	3	9

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Estos son los números de flexiones que hicieron en un minuto 14 alumnos en Educación Física:

28, 35, 22, 40, 31, 26, 38, 33, 29, 45, 24, 36, 32, 30

a) Calcula el resumen de los cinco números. b) Dibuja el diagrama de caja y bigotes.
Ver solución
a) 22; 28; 31,5; 36; 45 (flexiones)
a) Ordenados: 22, 24, 26, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 35, 36, 38, 40, 45 ( $N = 14$ ).
- $Q_1$ : $14/4 = 3{,}5$ → 4.º dato → 28.
- $Me$ : $14/2 = 7$ → $\dfrac{31 + 32}{2} = 31{,}5$ .
- $Q_3$ : $42/4 = 10{,}5$ → 11.º dato → 36.
- Mínimo 22; máximo 45.
b) Caja de 28 a 36 con una línea en 31,5; bigotes de 22 a 28 y de 36 a 45.
2. Media
Una persona ha cronometrado muchas veces su trayecto entre casa y el trabajo en metro y en autobús. Resumen de los tiempos (en minutos):

Mínimo $Q_1$ $Me$ $Q_3$ Máximo

Metro 22 24 25 27 31

Autobús 18 23 28 35 48

a) Dibuja los dos diagramas en los mismos ejes. b) Compara el centro y la dispersión. c) Si tiene que llegar a una entrevista y no puede retrasarse, ¿qué transporte le aconsejas? ¿Por qué?

Ver solución
b) Metro: mediana menor (25 frente a 28) y mucha menos dispersión (RIC 3 frente a 12). c) El metro.
a) Metro: caja de 24 a 27, línea en 25, bigotes de 22 a 31. Autobús: caja de 23 a 35, línea en 28, bigotes de 18 a 48.

b) Centro: la mediana del metro (25 min) es menor que la del autobús (28 min). Dispersión: metro, $\text{RIC} = 3$ min y recorrido 9 min; autobús, $\text{RIC} = 12$ min y recorrido 30 min. El metro es mucho más regular.

c) El metro: casi siempre tarda entre 22 y 31 min, mientras que con el autobús puede tardar hasta 48 min (aunque algún día tarde solo 18).
3. Media
Observa los tres diagramas de caja, A, B y C (los tres con mínimo 10 y máximo 40).

a) ¿Cuál es simétrico? ¿Cuál es asimétrico hacia la derecha? ¿Y hacia la izquierda? b) Uno de ellos corresponde a las notas (sobre 40) de un examen muy fácil. ¿Cuál? Explica por qué.

Ver solución
a) A simétrico; B asimétrico hacia la derecha; C asimétrico hacia la izquierda. b) C.
Cinco números: A: 10, 20, 25, 30, 40. B: 10, 12, 15, 22, 40. C: 10, 28, 35, 38, 40.

a) A: la mediana está en el centro de la caja y los bigotes miden lo mismo → simétrico. B: mediana cerca de $Q_1$ y bigote derecho largo → asimétrico hacia la derecha. C: mediana cerca de $Q_3$ y bigote izquierdo largo → asimétrico hacia la izquierda.

b) C. En un examen fácil casi todos sacan notas altas (el 75 % tiene 28 o más) y solo unos pocos sacan notas bajas, que forman el bigote izquierdo largo.

	Mínimo	$Q_1$	$Me$	$Q_3$	Máximo
Metro	22	24	25	27	31
Autobús	18	23	28	35	48

Para practicar más

1. Fácil
Las puntuaciones (sobre 100) de 13 concursantes en un concurso de talentos del instituto han sido:

62, 75, 48, 81, 70, 55, 90, 66, 73, 59, 84, 68, 77

a) Calcula el resumen de los cinco números. b) Dibuja el diagrama de caja y bigotes. c) ¿Es una distribución simétrica? Razónalo.
Ver solución
a) 48; 62; 70; 77; 90. c) Aproximadamente simétrica.
a) Ordenadas: 48, 55, 59, 62, 66, 68, 70, 73, 75, 77, 81, 84, 90 ( $N = 13$ ).
- $Q_1$ : $13/4 = 3{,}25$ → 4.º dato → 62.
- $Me$ : $13/2 = 6{,}5$ → 7.º dato → 70.
- $Q_3$ : $39/4 = 9{,}75$ → 10.º dato → 77.
- Mínimo 48; máximo 90.
b) Caja de 62 a 77 con una línea en 70; bigotes de 48 a 62 y de 77 a 90.

c) Aproximadamente sí: las dos partes de la caja miden 8 y 7, y los bigotes, 14 y 13.
2. Media
Los diagramas resumen el dinero (en €) que gastan a la semana en ocio un grupo de alumnos de 3.º ESO y otro de 1.º de Bachillerato.

a) Escribe los cinco números de cada grupo. b) Compara los dos grupos (centro y dispersión). c) El 75 % de los alumnos de 3.º gasta 15 € o menos. ¿Qué porcentaje de los de 1.º de Bachillerato gasta más de 15 €: menos del 50 %, entre el 50 % y el 75 % o más del 75 %?

Ver solución
a) 3.º: 0, 5, 10, 15, 30. 1.º Bach.: 5, 10, 18, 25, 40. b) 1.º Bach. gasta más (mediana 18 € frente a 10 €) y con más dispersión (RIC 15 € frente a 10 €). c) Entre el 50 % y el 75 %.
a) 3.º ESO: mínimo 0; $Q_1 = 5$ ; $Me = 10$ ; $Q_3 = 15$ ; máximo 30 (€). 1.º Bach.: mínimo 5; $Q_1 = 10$ ; $Me = 18$ ; $Q_3 = 25$ ; máximo 40 (€).

b) Centro: la mediana de 1.º de Bachillerato (18 €) es mayor que la de 3.º (10 €). Dispersión: RIC de 3.º, $15 - 5 = 10$ €; de 1.º Bach., $25 - 10 = 15$ €. Recorridos: 30 € y 35 €. Los de Bachillerato gastan más y de forma menos homogénea.

c) En 1.º de Bachillerato la mediana es 18 € > 15 €, así que más del 50 % gasta más de 15 €. Pero $Q_1 = 10$ € < 15 €, así que al menos el 25 % gasta 10 € o menos: no llegan al 75 % los que gastan más de 15 €. La respuesta es entre el 50 % y el 75 %.
3. Difícil
Inventa dos grupos de 8 datos cada uno que tengan la misma mediana y el mismo recorrido, pero cuyos diagramas de caja sean muy distintos. Calcula los cinco números de cada uno y explica en qué se diferencian.
Ver solución
Respuesta abierta. Por ejemplo: G1: 0, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 10; G2: 0, 1, 2, 4, 6, 8, 9, 10.
Por ejemplo ( $N = 8$ : $Q_1$ es la media del 2.º y el 3.º, la mediana la del 4.º y el 5.º, $Q_3$ la del 6.º y el 7.º):
- G1: 0, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 10 → mínimo 0; $Q_1 = 4{,}5$ ; $Me = 5$ ; $Q_3 = 5{,}5$ ; máximo 10.
- G2: 0, 1, 2, 4, 6, 8, 9, 10 → mínimo 0; $Q_1 = 1{,}5$ ; $Me = 5$ ; $Q_3 = 8{,}5$ ; máximo 10.
Los dos tienen mediana 5 y recorrido 10, pero la caja de G1 mide 1 (datos muy concentrados en el centro) y la de G2 mide 7 (datos repartidos por todo el recorrido).