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Matemáticas 3.º ESO · Elección de intervalos. Histogramas

Recuerda: polígono de frecuencias e histograma

Objetivo: Al terminar, sabrás dibujar el diagrama de barras y el polígono de frecuencias de una variable discreta y el histograma de datos agrupados en intervalos de igual amplitud, y leer frecuencias en ellos.

Recuerda

Variable discreta: diagrama de barras y polígono de frecuencias

Diagrama de barras: en el eje horizontal, los valores $x_i$ ; sobre cada uno, una barra estrecha de altura $f_i$ (o $h_i$ , o el porcentaje). Las barras no se tocan.
Polígono de frecuencias: se marcan los puntos $(x_i, f_i)$ —los extremos superiores de las barras— y se unen con segmentos. Se ve muy bien cómo sube y baja la frecuencia.

Datos agrupados en intervalos

Cuando la variable es continua (o discreta con muchos valores distintos), los datos se agrupan en intervalos de la misma amplitud:

$[10, 15)$ significa «de 10 a menos de 15»: incluye el 10 y no el 15. Un dato que vale justo 15 va al intervalo siguiente, $[15, 20)$ .
La amplitud es la diferencia entre los extremos: $15 - 10 = 5$ .
La marca de clase es el punto medio del intervalo: $\dfrac{10 + 15}{2} = 12{,}5$ .

Se hace el recuento de cuántos datos caen en cada intervalo y se obtiene la tabla de frecuencias.

Datos agrupados: histograma

Histograma: en el eje horizontal se marcan los extremos de los intervalos; sobre cada intervalo se dibuja un rectángulo cuya base es el intervalo y cuya altura es su frecuencia (si todos los intervalos tienen la misma amplitud).
Los rectángulos van pegados, porque la variable es continua: donde acaba un intervalo empieza el siguiente.

Para que el gráfico esté bien hecho

Título y nombre de cada eje (con unidades).
Escala uniforme en los dos ejes (cada cuadro vale lo mismo).
Si los datos empiezan lejos del 0, el eje horizontal puede empezar en el primer extremo.

Puntos clave

Variable discreta: diagrama de barras (barras separadas) y polígono de frecuencias (puntos $(x_i, f_i)$ unidos).
$[a, b)$ incluye $a$ y no incluye $b$ ; amplitud $= b - a$ ; marca de clase = punto medio.
Datos agrupados: histograma, con rectángulos pegados.
En un histograma de intervalos iguales, la altura de cada rectángulo es su frecuencia.
Todo gráfico lleva título, nombres de los ejes con unidades y escala uniforme.

Errores frecuentes

ErrorDibujar el histograma con rectángulos separados, como un diagrama de barras.
Cómo corregirloEn un histograma, la base de cada rectángulo es el intervalo completo: $[15, 20)$ va de 15 a 20 y el siguiente empieza en 20.
ErrorPoner en el eje horizontal las marcas de clase en lugar de los extremos de los intervalos.
Cómo corregirloEn el histograma se marcan los extremos (10, 15, 20…); las marcas de clase quedan en el centro de cada rectángulo.
ErrorContar un dato que coincide con un extremo (por ejemplo, 110) en el intervalo que termina en 110.
Cómo corregirloLos intervalos son cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha: 110 va en $[110, 120)$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Pantallas en casa gráfico (variable discreta)
Se preguntó a 25 familias cuántos dispositivos con pantalla (móviles, tabletas, ordenadores, televisores) hay en su casa:

Dispositivos 1 2 3 4 5 6

$f_i$ 2 5 8 6 3 1

Dibuja el diagrama de barras y el polígono de frecuencias.

Resolución
En el eje horizontal, los valores 1, 2, …, 6; en el vertical, las frecuencias (escala de 1 en 1 hasta 9).
- Barras: sobre cada valor, una barra estrecha de altura $f_i$ .
- Polígono: marcamos los puntos $(1, 2)$ , $(2, 5)$ , $(3, 8)$ , $(4, 6)$ , $(5, 3)$ , $(6, 1)$ y los unimos con segmentos.
El gráfico muestra que lo más frecuente son 3 dispositivos y que pocas familias tienen 1 o 6.
Ejemplo 2. Las tomateras del huerto gráfico (datos agrupados)
En el huerto escolar se midió la altura de 40 tomateras a las seis semanas de plantarlas:

Altura (cm) $f_i$

$[10, 15)$ 4

$[15, 20)$ 9

$[20, 25)$ 14

$[25, 30)$ 10

$[30, 35)$ 3

Dibuja el histograma. ¿En qué intervalo hay más plantas?

Resolución
Eje horizontal: altura (cm), con los extremos 10, 15, 20, 25, 30, 35 (empezamos en 10, no hace falta llegar al 0). Eje vertical: frecuencia, de 0 a 15. Sobre cada intervalo, un rectángulo pegado al siguiente con altura igual a su $f_i$ : 4, 9, 14, 10 y 3.

El rectángulo más alto es el de $[20, 25)$ : 14 plantas miden entre 20 y 25 cm.

Dispositivos	1	2	3	4	5	6
$f_i$	2	5	8	6	3	1

Altura (cm)	$f_i$
$[10, 15)$	4
$[15, 20)$	9
$[20, 25)$	14
$[25, 30)$	10
$[30, 35)$	3

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En un bloque de 24 viviendas se ha contado cuántas personas viven en cada una:

Personas 1 2 3 4 5

$f_i$ 3 7 6 5 3

Dibuja el diagrama de barras y el polígono de frecuencias en los ejes.

Ver solución
Barras de alturas 3, 7, 6, 5, 3 sobre 1, 2, 3, 4, 5; polígono uniendo (1, 3), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 3).
Sobre cada valor, una barra estrecha de altura $f_i$ . El polígono une los puntos $(1, 3)$ , $(2, 7)$ , $(3, 6)$ , $(4, 5)$ , $(5, 3)$ . El máximo está en 2 personas (7 viviendas).
2. Fácil
Edades de los 25 socios de un club de ajedrez de Alcorcón:

Edad (años) $f_i$

$[10, 20)$ 5

$[20, 30)$ 8

$[30, 40)$ 6

$[40, 50)$ 4

$[50, 60)$ 2

Dibuja el histograma en los ejes.

Ver solución
Rectángulos pegados sobre [10, 20), [20, 30), [30, 40), [40, 50), [50, 60) con alturas 5, 8, 6, 4, 2.
Eje horizontal con los extremos 10, 20, …, 60. Sobre cada intervalo, un rectángulo de altura su frecuencia: 5, 8, 6, 4 y 2. Los rectángulos van pegados. El más alto es el de $[20, 30)$ .
3. Media
El histograma muestra el tiempo que tardaron en cargarse 30 patinetes eléctricos. a) Construye la tabla de frecuencias. b) ¿Cuántos patinetes tardaron menos de 40 minutos? c) ¿Qué porcentaje tardó 60 minutos o más?

Ver solución
a) [0, 20): 3; [20, 40): 7; [40, 60): 12; [60, 80): 6; [80, 100): 2. b) 10. c) 26,7 % (aprox.).
a) Leemos la altura de cada rectángulo:

Tiempo (min) $f_i$

$[0, 20)$ 3

$[20, 40)$ 7

$[40, 60)$ 12

$[60, 80)$ 6

$[80, 100)$ 2

Total 30

b) Menos de 40 min: $3 + 7 = 10$ patinetes. c) 60 min o más: $6 + 2 = 8$ ; $\dfrac{8}{30} \approx 0{,}267 \to$ aproximadamente un $26{,}7\ \%$ .

Personas	1	2	3	4	5
$f_i$	3	7	6	5	3

Edad (años)	$f_i$
$[10, 20)$	5
$[20, 30)$	8
$[30, 40)$	6
$[40, 50)$	4
$[50, 60)$	2

Tiempo (min)	$f_i$
$[0, 20)$	3
$[20, 40)$	7
$[40, 60)$	12
$[60, 80)$	6
$[80, 100)$	2
Total	30

Para practicar más

1. Fácil
Se preguntó a 22 alumnos cuántos idiomas hablan (contando el suyo): 1 → 6 alumnos; 2 → 9; 3 → 4; 4 → 2; 5 → 1. Dibuja el diagrama de barras y el polígono de frecuencias.

Ver solución
Barras de alturas 6, 9, 4, 2, 1 sobre 1, 2, 3, 4, 5; polígono uniendo (1, 6), (2, 9), (3, 4), (4, 2), (5, 1).
Eje horizontal: número de idiomas (1 a 5); eje vertical: frecuencia (0 a 10). Barras de alturas 6, 9, 4, 2, 1 y polígono por los puntos $(1, 6)$ , $(2, 9)$ , $(3, 4)$ , $(4, 2)$ , $(5, 1)$ .
2. Fácil
Duración, en horas, de la batería de 30 móviles en una prueba de uso intensivo:

Duración (h) $f_i$

$[0, 2)$ 5

$[2, 4)$ 11

$[4, 6)$ 8

$[6, 8)$ 4

$[8, 10)$ 2

Dibuja el histograma. ¿Cuántos móviles duraron al menos 4 horas?

Ver solución
Rectángulos pegados de alturas 5, 11, 8, 4, 2. Al menos 4 horas: 14 móviles.
Eje horizontal con los extremos 0, 2, 4, 6, 8, 10; rectángulos de alturas 5, 11, 8, 4 y 2. Al menos 4 horas: $8 + 4 + 2 = 14$ móviles.

Duración (h)	$f_i$
$[0, 2)$	5
$[2, 4)$	11
$[4, 6)$	8
$[6, 8)$	4
$[8, 10)$	2

3. Media

El histograma muestra cuántos minutos esperaron 30 personas en la cola de un museo de Madrid. a) Haz la tabla de frecuencias con las marcas de clase. b) ¿Cuántas personas esperaron entre 10 y 20 minutos? c) ¿Qué porcentaje esperó menos de 15 minutos?

Ver solución

a) [5, 10): 6; [10, 15): 10; [15, 20): 7; [20, 25): 5; [25, 30): 2; marcas 7,5; 12,5; 17,5; 22,5; 27,5. b) 17. c) 53,3 % (aprox.).

Espera (min)	$x_i$	$f_i$
$[5, 10)$	7,5	6
$[10, 15)$	12,5	10
$[15, 20)$	17,5	7
$[20, 25)$	22,5	5
$[25, 30)$	27,5	2
Total		30

b) Entre 10 y 20 min: $10 + 7 = 17$ personas. c) Menos de 15 min: $6 + 10 = 16$ ; $\dfrac{16}{30} \approx 0{,}533 \to$ aproximadamente un $53{,}3\ \%$ .