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Explicación

¿Cuántos intervalos y de qué amplitud?

Cuando nadie nos da los intervalos, tenemos que elegirlos. No hay una única elección correcta, pero sí unas pautas que usan los libros:

Recorrido (o rango): diferencia entre el dato mayor y el menor. $\text{Recorrido} = x_{\text{máx}} - x_{\text{mín}}$
Número de intervalos $k$ : aproximadamente la raíz cuadrada del número de datos, $k \approx \sqrt{N}$ (redondeando). En la práctica, entre 5 y 10 intervalos.
Amplitud: se divide el recorrido entre el número de intervalos y se redondea por arriba a un número cómodo: $\text{amplitud} \geq \dfrac{\text{recorrido}}{k}$
Primer intervalo: se empieza en un número cómodo igual o un poco menor que el dato más pequeño. Se comprueba que el último intervalo contiene al dato mayor.

Si la amplitud que sale es incómoda (por ejemplo, 10,7), se puede tomar una amplitud redonda (10 o 12) y ajustar un poco el número de intervalos.

¿Qué se pierde al agrupar?

Al agrupar ganamos claridad, pero perdemos información: ya no sabemos el valor exacto de cada dato, solo en qué intervalo está. Por eso usamos la marca de clase como representante de todos los datos del intervalo.

Muy pocos intervalos: casi todos los datos van juntos y no se ve cómo se reparten.
Demasiados intervalos: muchos tienen frecuencia 0 o 1 y la tabla no resume nada.

Puntos clave

Recorrido = dato mayor − dato menor.
Número de intervalos $k \approx \sqrt{N}$ (entre 5 y 10).
Amplitud: recorrido $: k$ , redondeado por arriba a un número cómodo.
El primer intervalo empieza en el dato menor o un poco antes; el último debe contener al mayor.
Agrupar resume, pero se pierde el valor exacto de cada dato.

Errores frecuentes

ErrorRedondear la amplitud por abajo (por ejemplo, 19,7 → 19) y que el dato mayor se quede fuera.
Cómo corregirloRedondea siempre por arriba y comprueba que el último intervalo contiene el dato mayor.
ErrorUsar como número de intervalos el recorrido o el número de datos.
Cómo corregirloEl número de intervalos es pequeño: más o menos $\sqrt{N}$ . Con 40 datos, unos 6.
ErrorEmpezar el primer intervalo en un número mayor que el dato menor.
Cómo corregirloEl primer extremo inferior debe ser menor o igual que el dato más pequeño.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Los 1000 metros de 3.º numérico (elegir los intervalos paso a paso)

Estos son los tiempos, en segundos, de los 40 alumnos de 3.º en la prueba de 1000 m de Educación Física:

262, 295, 248, 310, 277, 301, 231, 284, 269, 338, 292, 255, 318, 273, 287, 244, 306, 299, 266, 325, 281, 349, 259, 290, 274, 312, 238, 297, 283, 268, 329, 251, 303, 276, 289, 315, 264, 296, 280, 342

Elige un número de intervalos y una amplitud adecuados y haz la tabla de frecuencias con las marcas de clase.

Resolución

Recorrido: dato menor 231 s; dato mayor 349 s. Recorrido $= 349 - 231 = 118$ s.
Número de intervalos: $\sqrt{40} \approx 6{,}3 \to 6$ intervalos.
Amplitud: $\dfrac{118}{6} \approx 19{,}7 \to$ redondeamos por arriba: 20 s.
Primer extremo: un número cómodo menor o igual que 231: 230. Intervalos: $[230, 250)$ , $[250, 270)$ , …, $[330, 350)$ . El último contiene al 349 ✔ ( $6 \cdot 20 = 120 \geq 118$ ).

Tiempo (s)	$x_i$	$f_i$	$F_i$
$[230, 250)$	240	4	4
$[250, 270)$	260	8	12
$[270, 290)$	280	10	22
$[290, 310)$	300	9	31
$[310, 330)$	320	6	37
$[330, 350)$	340	3	40
Total		40

La mayoría de los alumnos tarda entre 4 min 10 s y 5 min 10 s (de 250 a 310 s).

Ejemplo 2. Datos móviles: ¿cuántos intervalos? comparación (pérdida de información)
Estos son los gigas (GB) de datos móviles que gastaron en un mes 25 usuarios de una compañía telefónica:

3,4; 7,9; 1,2; 5,6; 10,3; 4,8; 6,1; 2,7; 8,5; 13,7; 5; 3,9; 7,2; 6,6; 9,4; 4,1; 11,8; 5,3; 2,2; 6,9; 8; 4,5; 3,1; 7,6; 5,9

a) Agrupa los datos con el criterio de la raíz cuadrada. b) Una compañera los ha agrupado en solo dos intervalos, $[0, 7)$ y $[7, 14)$ . ¿Qué información se pierde? c) ¿Y si se usaran 13 intervalos de amplitud 1?

Resolución
a) $\sqrt{25} = 5$ intervalos. Recorrido $= 13{,}7 - 1{,}2 = 12{,}5$ GB. Amplitud: $\dfrac{12{,}5}{5} = 2{,}5$ ; para que salgan extremos cómodos tomamos 3 GB y empezamos en 1:

GB $x_i$ $f_i$

$[1, 4)$ 2,5 6

$[4, 7)$ 5,5 10

$[7, 10)$ 8,5 6

$[10, 13)$ 11,5 2

$[13, 16)$ 14,5 1

Total 25

b) Con $[0, 7)$ → 16 usuarios y $[7, 14)$ → 9 usuarios solo sabemos que la mayoría gasta menos de 7 GB; no se ve que el intervalo con más usuarios es el de 4 a 7 GB ni que solo 3 usuarios pasan de 10 GB. Se pierde demasiada información.

c) Con 13 intervalos, muchos tendrían 0, 1 o 2 datos: la tabla sería casi tan larga como la lista y no resumiría nada.

GB	$x_i$	$f_i$
$[1, 4)$	2,5	6
$[4, 7)$	5,5	10
$[7, 10)$	8,5	6
$[10, 13)$	11,5	2
$[13, 16)$	14,5	1
Total		25

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Tenemos 50 datos; el menor es 12 y el mayor, 87. a) Calcula el recorrido. b) ¿Cuántos intervalos aconseja el criterio de la raíz cuadrada? c) Propón una amplitud y escribe los intervalos.

Ver solución
a) 75. b) 7. c) Por ejemplo, amplitud 11: [11, 22), [22, 33), …, [77, 88); o amplitud 10 con 8 intervalos: [10, 20), …, [80, 90).
a) $87 - 12 = 75$ . b) $\sqrt{50} \approx 7{,}1 \to 7$ intervalos. c) $\dfrac{75}{7} \approx 10{,}7 \to$ amplitud 11, empezando en 11: $[11, 22)$ , $[22, 33)$ , $[33, 44)$ , $[44, 55)$ , $[55, 66)$ , $[66, 77)$ , $[77, 88)$ ; contiene el 87 ✔ ( $7 \cdot 11 = 77 \geq 75$ ). Otra opción, más cómoda: amplitud 10 y 8 intervalos empezando en 10: $[10, 20)$ , …, $[80, 90)$ . Las dos son válidas.

2. Media

Estas son las marcas, en cm, de 30 alumnos en salto de longitud:

352, 318, 401, 298, 377, 425, 341, 366, 389, 312, 452, 334, 359, 395, 327, 371, 348, 410, 305, 383, 362, 337, 429, 356, 392, 321, 368, 344, 415, 376

Elige los intervalos (con el criterio de la raíz cuadrada) y haz la tabla con las marcas de clase, $f_i$ y $F_i$ .

Ver solución

Por ejemplo, 6 intervalos de amplitud 30 desde 290: f = 4, 7, 9, 5, 4, 1.

Recorrido: $452 - 298 = 154$ cm.
$\sqrt{30} \approx 5{,}5 \to$ 6 intervalos (5 también valdría).
Amplitud: $\dfrac{154}{6} \approx 25{,}7 \to$ tomamos 30 (número cómodo).
Empezamos en 290 (menor que 298): $[290, 320)$ , …, $[440, 470)$ , que contiene el 452 ✔.

Salto (cm)	$x_i$	$f_i$	$F_i$
$[290, 320)$	305	4	4
$[320, 350)$	335	7	11
$[350, 380)$	365	9	20
$[380, 410)$	395	5	25
$[410, 440)$	425	4	29
$[440, 470)$	455	1	30
Total		30

(Otras elecciones razonables, como 7 intervalos de amplitud 25 desde 295, también son correctas.)

3. Media
Esta es la tabla de las alturas, en cm, de los jugadores de un club de baloncesto:

Altura (cm) $f_i$

$[170, 180)$ 4

$[180, 190)$ 9

$[190, 200)$ 6

$[200, 210)$ 1

¿Se puede saber con la tabla…? a) cuántos jugadores hay; b) cuánto mide el más alto; c) cuántos miden exactamente 185 cm; d) cuántos miden menos de 190 cm. Explica qué información se ha perdido al agrupar.

Ver solución
a) Sí, 20. b) No (solo que mide entre 200 y 210 cm). c) No. d) Sí, 13. Se ha perdido el valor exacto de cada altura.
a) Sí: $4 + 9 + 6 + 1 = 20$ . b) No: solo sabemos que está en $[200, 210)$ . c) No: solo sabemos que hay 9 jugadores en $[180, 190)$ . d) Sí: $4 + 9 = 13$ , porque 190 es un extremo. Al agrupar se pierde el valor exacto de cada dato: solo sabemos en qué intervalo está. Por eso usamos la marca de clase como representante.
4. Difícil
Marcos tiene 20 datos entre 2 y 58 y ha hecho 14 intervalos de amplitud 4: $[2, 6)$ , $[6, 10)$ , …, $[54, 58)$ . a) ¿Qué dos fallos tiene su elección? b) Propón otra.

Ver solución
a) Demasiados intervalos para 20 datos (lo razonable son unos 4 o 5) y el dato 58 queda fuera. b) Por ejemplo, 5 intervalos de amplitud 12 desde 0: [0, 12), …, [48, 60).
a) 1.º: con 20 datos, $\sqrt{20} \approx 4{,}5$ : unos 4 o 5 intervalos; con 14 habrá muchos con 0 o 1 dato. 2.º: el último intervalo $[54, 58)$ no contiene el 58. b) Recorrido $58 - 2 = 56$ ; $\dfrac{56}{5} = 11{,}2 \to$ amplitud 12; desde 0: $[0, 12)$ , $[12, 24)$ , $[24, 36)$ , $[36, 48)$ , $[48, 60)$ ✔.

Altura (cm)	$f_i$
$[170, 180)$	4
$[180, 190)$	9
$[190, 200)$	6
$[200, 210)$	1

Para practicar más

1. Fácil
Se han pesado 60 sandías en una frutería de Tetuán. La más ligera pesa 3,4 kg y la más pesada, 9,1 kg. a) Calcula el recorrido. b) ¿Cuántos intervalos aconseja el criterio de la raíz cuadrada? c) Propón una amplitud y escribe los intervalos.

Ver solución
a) 5,7 kg. b) 8. c) Por ejemplo, amplitud 0,8 desde 3,2: [3,2; 4), [4; 4,8), …, [8,8; 9,6).
a) $9{,}1 - 3{,}4 = 5{,}7$ kg. b) $\sqrt{60} \approx 7{,}7 \to 8$ intervalos. c) $\dfrac{5{,}7}{8} \approx 0{,}71 \to$ amplitud 0,8 kg desde 3,2: $[3{,}2;\ 4)$ , $[4;\ 4{,}8)$ , $[4{,}8;\ 5{,}6)$ , $[5{,}6;\ 6{,}4)$ , $[6{,}4;\ 7{,}2)$ , $[7{,}2;\ 8)$ , $[8;\ 8{,}8)$ , $[8{,}8;\ 9{,}6)$ ; contiene el 9,1 ✔. (También vale amplitud 1 con 7 intervalos desde 3: $[3, 4)$ , …, $[9, 10)$ .)

2. Media

Estas son las duraciones, en minutos, de 25 películas de la cartelera de un cine de Madrid:

98, 121, 84, 135, 107, 112, 151, 96, 128, 103, 117, 142, 89, 109, 124, 131, 100, 115, 93, 138, 110, 126, 105, 119, 147

Elige los intervalos con el criterio de la raíz cuadrada y haz la tabla con las marcas de clase, $f_i$ , $h_i$ y $F_i$ .