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Explicación

Polígono de frecuencias sobre el histograma

En datos agrupados, el polígono de frecuencias se dibuja sobre el histograma:

Se marca el punto medio del lado de arriba de cada rectángulo, es decir, el punto $(x_i, f_i)$ con $x_i$ = marca de clase.
Se unen esos puntos con segmentos.
Para cerrar el polígono se añaden dos puntos sobre el eje horizontal: la marca de clase del intervalo anterior al primero y la del intervalo siguiente al último (intervalos «vacíos», con frecuencia 0).

El polígono muestra la forma de la distribución y permite comparar dos distribuciones en un mismo gráfico (con dos histogramas superpuestos no se vería nada).

Polígono de frecuencias acumuladas

Representa cuántos datos hay por debajo de cada valor:

Se calculan las $F_i$ .
Se marca el punto $(\text{extremo superior del intervalo},\ F_i)$ , porque $F_i$ cuenta los datos menores que el extremo superior.
Se empieza en $(\text{primer extremo inferior},\ 0)$ : por debajo de él no hay ningún dato.
Se unen los puntos. El polígono siempre sube (o se queda igual) y termina a la altura $N$ .

Estimar con el polígono de acumuladas

Para estimar cuántos datos hay por debajo de un valor que está dentro de un intervalo, se lee en el polígono (o se calcula suponiendo que los datos están repartidos de forma uniforme en el intervalo). Por ejemplo, si en $[120, 180)$ hay 17 datos y por debajo de 120 hay 20, por debajo de 150 (la mitad del intervalo) habrá unos $20 + \dfrac{17}{2} = 28{,}5$ , es decir, unos 28 o 29 datos. Es una estimación: al agrupar perdimos los valores exactos.

Puntos clave

El polígono de frecuencias une los puntos $(x_i, f_i)$ , con $x_i$ la marca de clase.
Se cierra en el eje con las marcas de clase de un intervalo vacío antes y otro después.
El polígono de acumuladas une $(\text{extremo superior}, F_i)$ , empezando en $(\text{primer extremo}, 0)$ .
El polígono de acumuladas siempre sube y termina en $N$ .
Con él se estima cuántos datos quedan por debajo de un valor.

Errores frecuentes

ErrorDibujar el polígono de acumuladas con las marcas de clase, como el de frecuencias.
Cómo corregirlo $F_i$ cuenta los datos menores que el extremo superior: el punto va en el extremo superior del intervalo.
ErrorDejar el polígono de frecuencias «colgando» en el primer y el último rectángulo.
Cómo corregirloCiérralo bajando al eje en la marca de clase del intervalo anterior al primero y del siguiente al último.
ErrorDar una estimación como si fuera exacta («hay exactamente 28,5 datos»).
Cómo corregirloEs una estimación: redondea y di «unos 28 o 29».

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un julio caluroso en Madrid gráfico (histograma y polígono)
La tabla recoge las temperaturas máximas de los 31 días de julio en una estación meteorológica de Madrid (datos aproximados):

Temperatura (°C) Días

$[28, 30)$ 2

$[30, 32)$ 5

$[32, 34)$ 9

$[34, 36)$ 8

$[36, 38)$ 5

$[38, 40)$ 2

Dibuja el histograma y, sobre él, el polígono de frecuencias. ¿Cómo es la distribución?

Resolución
Marcas de clase: 29, 31, 33, 35, 37, 39.
1. Histograma: rectángulos pegados de alturas 2, 5, 9, 8, 5, 2.
2. Polígono: puntos $(29, 2)$ , $(31, 5)$ , $(33, 9)$ , $(35, 8)$ , $(37, 5)$ , $(39, 2)$ , en el centro del lado de arriba de cada rectángulo.
3. Cierre: añadimos $(27, 0)$ (marca del intervalo vacío $[26, 28)$ ) y $(41, 0)$ (marca de $[40, 42)$ ).
La distribución tiene forma de montaña: la mayoría de los días la máxima estuvo entre 32 y 36 °C (17 días) y hubo pocos días por debajo de 30 °C o por encima de 38 °C.
Ejemplo 2. Tiempo de pantalla: el polígono de acumuladas gráfico y numérico (estimar)
Se preguntó a 50 alumnos cuántos minutos pasaron ayer ante una pantalla fuera de clase:

Minutos $f_i$

$[0, 60)$ 6

$[60, 120)$ 14

$[120, 180)$ 17

$[180, 240)$ 9

$[240, 300)$ 4

a) Calcula las frecuencias acumuladas y dibuja el polígono de frecuencias acumuladas. b) Estima cuántos alumnos pasaron menos de 150 minutos (2 h 30 min).

Resolución
a) $F_i$ : 6, 20, 37, 46, 50. Puntos del polígono: $(0, 0)$ , $(60, 6)$ , $(120, 20)$ , $(180, 37)$ , $(240, 46)$ , $(300, 50)$ .

b) 150 está en la mitad de $[120, 180)$ . Por debajo de 120 hay 20 alumnos y en el intervalo hay 17. Suponiendo que se reparten de forma uniforme: $20 + 17 \cdot \dfrac{150 - 120}{180 - 120} = 20 + 17 \cdot \dfrac{1}{2} = 28{,}5$ Estimamos que unos 28 o 29 alumnos pasaron menos de 2 h 30 min ante una pantalla. En la gráfica, es la altura del polígono en $x = 150$ .

Temperatura (°C)	Días
$[28, 30)$	2
$[30, 32)$	5
$[32, 34)$	9
$[34, 36)$	8
$[36, 38)$	5
$[38, 40)$	2

Minutos	$f_i$
$[0, 60)$	6
$[60, 120)$	14
$[120, 180)$	17
$[180, 240)$	9
$[240, 300)$	4

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Duración, en minutos, de 40 trayectos de taxi por el centro de Madrid:

Minutos $f_i$

$[5, 10)$ 6

$[10, 15)$ 11

$[15, 20)$ 13

$[20, 25)$ 7

$[25, 30)$ 3

Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias.

Ver solución
Rectángulos de alturas 6, 11, 13, 7, 3; polígono por (2,5; 0), (7,5; 6), (12,5; 11), (17,5; 13), (22,5; 7), (27,5; 3), (32,5; 0).
Marcas: 7,5; 12,5; 17,5; 22,5; 27,5. Polígono: $(2{,}5;\ 0)$ , $(7{,}5;\ 6)$ , $(12{,}5;\ 11)$ , $(17{,}5;\ 13)$ , $(22{,}5;\ 7)$ , $(27{,}5;\ 3)$ , $(32{,}5;\ 0)$ (cerrado en 2,5 y 32,5).
2. Media
Edades de los 60 participantes en una carrera popular por la Casa de Campo:

Edad $f_i$

$[15, 25)$ 8

$[25, 35)$ 18

$[35, 45)$ 20

$[45, 55)$ 10

$[55, 65)$ 4

a) Dibuja el polígono de frecuencias acumuladas. b) Estima cuántos corredores tienen menos de 40 años.

Ver solución
a) Puntos (15, 0), (25, 8), (35, 26), (45, 46), (55, 56), (65, 60). b) Unos 36.
a) $F_i$ : 8, 26, 46, 56, 60. Puntos: $(15, 0)$ , $(25, 8)$ , $(35, 26)$ , $(45, 46)$ , $(55, 56)$ , $(65, 60)$ . b) 40 es la mitad de $[35, 45)$ , con 20 corredores; por debajo de 35 hay 26: $26 + \dfrac{20}{2} = 36$ corredores (estimación).
3. Media
El polígono de frecuencias acumuladas muestra el peso de las 100 maletas facturadas en un vuelo desde Barajas. a) ¿Cuántas maletas pesan menos de 15 kg? b) ¿Cuántas pesan entre 15 y 25 kg? c) Estima cuántas pesan menos de 17,5 kg. d) Las maletas de 25 kg o más pagan un suplemento. ¿Qué porcentaje lo paga?

Ver solución
a) 35. b) 55. c) Unas 52 o 53. d) 10 %.
Leemos los puntos: $(5, 0)$ , $(10, 10)$ , $(15, 35)$ , $(20, 70)$ , $(25, 90)$ , $(30, 100)$ . a) Menos de 15 kg: 35 maletas. b) $90 - 35 = 55$ maletas. c) 17,5 es la mitad de $[15, 20)$ , donde hay $70 - 35 = 35$ maletas: $35 + \dfrac{35}{2} = 52{,}5$ → unas 52 o 53. d) 25 kg o más: $100 - 90 = 10$ maletas, el $10\ \%$ .
4. Difícil
El gráfico muestra los polígonos de frecuencias de las horas de estudio semanales de los alumnos de 3.º A y 3.º B (26 alumnos cada grupo; intervalos de amplitud 2 h: $[1, 3)$ , $[3, 5)$ , …, $[9, 11)$ ). a) ¿Qué grupo estudia más? Explícalo con el gráfico. b) ¿Cuántos alumnos de cada grupo estudian 7 horas o más? c) ¿Por qué aquí es mejor el polígono que dos histogramas?

Ver solución
a) 3.º B: su polígono está desplazado a la derecha. b) 3.º A: 5; 3.º B: 13. c) Dos histogramas superpuestos se taparían; los polígonos se comparan bien.
a) El polígono de 3.º B está más a la derecha: su pico está en $[7, 9)$ (marca 8), mientras que el de 3.º A está en $[5, 7)$ (marca 6). 3.º B estudia más. b) 7 h o más: intervalos $[7, 9)$ y $[9, 11)$ . 3.º A: $4 + 1 = 5$ ; 3.º B: $9 + 4 = 13$ . c) Dos histogramas en los mismos ejes se taparían uno a otro; dos polígonos se ven a la vez y se comparan fácilmente.

Minutos	$f_i$
$[5, 10)$	6
$[10, 15)$	11
$[15, 20)$	13
$[20, 25)$	7
$[25, 30)$	3

Edad	$f_i$
$[15, 25)$	8
$[25, 35)$	18
$[35, 45)$	20
$[45, 55)$	10
$[55, 65)$	4

Para practicar más

1. Fácil
Longitud, en cm, de 40 truchas pescadas en un coto del Alto Tajo:

Longitud (cm) $f_i$

$[20, 30)$ 4

$[30, 40)$ 9

$[40, 50)$ 15

$[50, 60)$ 8

$[60, 70)$ 4

Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias.

Ver solución
Rectángulos de alturas 4, 9, 15, 8, 4; polígono por (15, 0), (25, 4), (35, 9), (45, 15), (55, 8), (65, 4), (75, 0).
Marcas: 25, 35, 45, 55, 65. Polígono: $(15, 0)$ , $(25, 4)$ , $(35, 9)$ , $(45, 15)$ , $(55, 8)$ , $(65, 4)$ , $(75, 0)$ (cerrado en 15 y 75).
2. Media
Tiempo, en segundos, que aguantaron 40 alumnos haciendo una plancha abdominal:

Segundos $f_i$

$[10, 20)$ 5

$[20, 30)$ 12

$[30, 40)$ 15

$[40, 50)$ 6

$[50, 60)$ 2

a) Dibuja el polígono de frecuencias acumuladas. b) ¿Cuántos aguantaron menos de 30 s? c) Estima cuántos aguantaron menos de 35 s y cuántos menos de 25 s.

Ver solución
a) Puntos (10, 0), (20, 5), (30, 17), (40, 32), (50, 38), (60, 40). b) 17. c) Unos 24 o 25; unos 11.
a) $F_i$ : 5, 17, 32, 38, 40. Puntos: $(10, 0)$ , $(20, 5)$ , $(30, 17)$ , $(40, 32)$ , $(50, 38)$ , $(60, 40)$ . b) Menos de 30 s: $F = 17$ . c) 35 es la mitad de $[30, 40)$ (15 alumnos): $17 + 7{,}5 = 24{,}5$ → unos 24 o 25. 25 es la mitad de $[20, 30)$ (12 alumnos): $5 + 6 = 11$ .
3. Media
El polígono de frecuencias acumuladas muestra la duración de 80 llamadas atendidas en un servicio de información municipal. a) Haz la tabla de frecuencias (intervalos de 5 min desde 0). b) ¿Cuántas llamadas duraron menos de 10 minutos? c) Estima cuántas duraron menos de 12,5 minutos.

Ver solución
a) [0, 5): 18; [5, 10): 30; [10, 15): 22; [15, 20): 6; [20, 25): 4. b) 48. c) Unas 59.
a) Leemos $F$ : 18, 48, 70, 76, 80 y restamos: $f$ = 18, $48 - 18 = 30$ , $70 - 48 = 22$ , $76 - 70 = 6$ , $80 - 76 = 4$ . b) Menos de 10 min: 48. c) 12,5 es la mitad de $[10, 15)$ (22 llamadas): $48 + 11 = 59$ llamadas (estimación).
4. Media
¿Verdadero o falso? Justifica. a) El polígono de frecuencias acumuladas puede bajar. b) En el polígono de frecuencias, los puntos se colocan sobre las marcas de clase. c) En el polígono de acumuladas, los puntos se colocan sobre las marcas de clase. d) Con el polígono de acumuladas se puede saber exactamente cuántos datos son menores que un valor cualquiera.

Ver solución
a) F. b) V. c) F. d) F.
a) Falso: las $F_i$ nunca disminuyen; el polígono sube o se mantiene. b) Verdadero: los puntos son $(x_i, f_i)$ , con $x_i$ la marca de clase. c) Falso: se colocan en el extremo superior de cada intervalo, porque $F_i$ cuenta los datos menores que ese extremo. d) Falso: solo es exacto en los extremos de los intervalos; dentro de un intervalo es una estimación.

Polígono de frecuencias sobre el histograma y polígono de frecuencias acumuladas