Datos agrupados en intervalos: tabla y marcas de clase

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorPoner un dato que coincide con un extremo (por ejemplo, 160) en los dos intervalos o en el de la izquierda.

  Cómo corregirloEn $[155, 160)$ el 160 no está (paréntesis). Va en $[160, 165)$, donde es el extremo inferior (corchete).

• ErrorCalcular la marca de clase como la amplitud o como el extremo inferior.

  Cómo corregirloLa marca de clase es el punto medio: suma los extremos y divide entre 2. $[150, 155) \to 152{,}5$.

• ErrorEscribir los intervalos como 150–155, 155–160… sin decir dónde va el 155.

  Cómo corregirloUsa siempre la notación $[150, 155)$, $[155, 160)$…

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Las alturas de 3.º A numérico (tabla completa)

   Estas son las alturas, en cm, de los 30 alumnos de 3.º A:

   162, 158, 171, 165, 152, 160, 167, 155, 163, 169, 157, 174, 161, 166, 153, 164, 159, 170, 168, 177, 160, 156, 163, 172, 165, 151, 162, 158, 167, 173

   Agrúpalas en los intervalos $[150, 155)$, $[155, 160)$, …, $[175, 180)$ y haz la tabla con las marcas de clase y las frecuencias $f_i$, $h_i$, $F_i$ y $H_i$ (redondea a las centésimas). ¿Cuántos alumnos miden menos de 165 cm? ¿Qué porcentaje mide 170 cm o más?

   Resolución

   Hacemos el recuento (atención a 155, 160, 165 y 170: van en el intervalo en el que son extremo inferior).

   Intervalo	$x_i$	$f_i$	$h_i$	$F_i$	$H_i$
   $[150, 155)$	152,5	3	0,1	3	0,1
   $[155, 160)$	157,5	6	0,2	9	0,3
   $[160, 165)$	162,5	8	≈ 0,27	17	≈ 0,57
   $[165, 170)$	167,5	7	≈ 0,23	24	0,8
   $[170, 175)$	172,5	5	≈ 0,17	29	≈ 0,97
   $[175, 180)$	177,5	1	≈ 0,03	30	1
   Total		30	1

   • Menos de 165 cm: $F_3 = 17$ alumnos (los tres primeros intervalos).
   • 170 cm o más: intervalos $[170, 175)$ y $[175, 180)$: $\dfrac{5 + 1}{30} = \dfrac{6}{30} = 0{,}2$, es decir, el 20 %.

2. Ejemplo 2. Esperando al autobús situación real (datos continuos con decimales)

   Un alumno ha anotado durante 24 días cuántos minutos esperó al autobús de la EMT por la mañana:

   3,5; 7,2; 1,8; 12,4; 5; 9,6; 4; 2,7; 15,3; 6,1; 8; 10,5; 3,9; 0,6; 7,7; 11,8; 4,4; 6,6; 13; 2,2; 5,9; 9,1; 16; 8,4

   a) Agrupa los datos en intervalos de amplitud 4 empezando en 0 y calcula las marcas de clase. b) Completa la tabla con $f_i$, porcentajes (redondeados a las décimas) y $F_i$. c) ¿En cuántos días esperó menos de 8 minutos?

   Resolución

   a) Intervalos: $[0, 4)$, $[4, 8)$, $[8, 12)$, $[12, 16)$, $[16, 20)$. Marcas de clase: 2, 6, 10, 14 y 18.

   b) Recuento: el 4,0 va en $[4, 8)$, el 8,0 en $[8, 12)$ y el 16,0 en $[16, 20)$.

   Intervalo	$x_i$	$f_i$	%	$F_i$
   $[0, 4)$	2	6	25 %	6
   $[4, 8)$	6	8	≈ 33,3 %	14
   $[8, 12)$	10	6	25 %	20
   $[12, 16)$	14	3	12,5 %	23
   $[16, 20)$	18	1	≈ 4,2 %	24
   Total		24	100 %

   c) Menos de 8 minutos: $F_2 = 14$ días.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   a) Halla la amplitud y la marca de clase de cada intervalo: $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$, $[40, 50)$. b) Las marcas de clase de una tabla son 1,5; 4,5; 7,5 y 10,5. ¿Cuál es la amplitud de los intervalos? Escribe los intervalos.

   Ver solución

   a) Amplitud 10; marcas 15, 25, 35, 45. b) Amplitud 3; intervalos [0, 3), [3, 6), [6, 9), [9, 12).

   a) Amplitud: $20 - 10 = 10$. Marcas: $\dfrac{10+20}{2} = 15$, 25, 35 y 45. b) La distancia entre marcas consecutivas es la amplitud: $4{,}5 - 1{,}5 = 3$. Cada intervalo va de la marca menos $1{,}5$ a la marca más $1{,}5$: $[0, 3)$, $[3, 6)$, $[6, 9)$, $[9, 12)$.

2. 2. Fácil

   Estos son los pesos, en kg, de las mochilas de 25 alumnos de 1.º de ESO:

   5,2; 3,8; 6,4; 7,1; 4; 5,9; 8,3; 6; 4,7; 5,5; 9,2; 6,8; 3,1; 5; 7,6; 4,4; 6,2; 5,8; 8; 4,9; 6,6; 2,6; 7,3; 5,4; 6,9

   Agrupa los datos en los intervalos $[2, 4)$, $[4, 6)$, $[6, 8)$ y $[8, 10)$ y haz la tabla con marcas de clase, $f_i$ y $F_i$.

   Ver solución

   f: 3, 10, 9, 3; F: 3, 13, 22, 25.

   Ojo con 4,0; 6,0 y 8,0: van en el intervalo en el que son extremo inferior.

   Intervalo	$x_i$	$f_i$	$F_i$
   $[2, 4)$	3	3	3
   $[4, 6)$	5	10	13
   $[6, 8)$	7	9	22
   $[8, 10)$	9	3	25
   Total		25

3. 3. Media

   Una empresa ha preguntado a 40 personas cuántos minutos al día usan una aplicación de mensajería. Completa la tabla con las marcas de clase, $h_i$, $F_i$ y $H_i$ y responde: a) ¿Cuántas personas la usan menos de una hora al día? b) ¿Qué porcentaje la usa 40 minutos o más?

   Minutos	$f_i$
   $[0, 20)$	6
   $[20, 40)$	10
   $[40, 60)$	12
   $[60, 80)$	8
   $[80, 100)$	4

   Ver solución

   a) 28. b) 60 %.

   Intervalo	$x_i$	$f_i$	$h_i$	$F_i$	$H_i$
   $[0, 20)$	10	6	0,15	6	0,15
   $[20, 40)$	30	10	0,25	16	0,4
   $[40, 60)$	50	12	0,3	28	0,7
   $[60, 80)$	70	8	0,2	36	0,9
   $[80, 100)$	90	4	0,1	40	1
   Total		40	1

   a) Menos de 60 min: $F_3 = 28$ personas. b) 40 min o más: $1 - H_2 = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$, es decir, el $60\ \%$ (también $\dfrac{12 + 8 + 4}{40} = \dfrac{24}{40}$).

4. 4. Media

   Con los intervalos $[150, 155)$, $[155, 160)$, …, $[175, 180)$ de alturas en cm: a) ¿En qué intervalo va un alumno que mide 165 cm? ¿Y uno que mide 164,9 cm? b) Si $F_3 = 18$, ¿qué significa? c) ¿Por qué no se usan los intervalos $[150, 155]$, $[155, 160]$…?

   Ver solución

   a) [165, 170); [160, 165). b) Que 18 alumnos miden menos de 165 cm. c) Porque 155, 160… estarían en dos intervalos a la vez.

   a) 165 es el extremo inferior de $[165, 170)$ → va ahí. 164,9 es menor que 165 → $[160, 165)$. b) $F_3$ acumula los tres primeros intervalos: 18 alumnos miden menos de 165 cm. c) Con corchetes en los dos extremos, el 155 pertenecería a $[150, 155]$ y a $[155, 160]$: se contaría dos veces.

5. 5. Difícil

   Estos son los números de páginas de 20 libros de la biblioteca de aula:

   124, 310, 256, 198, 402, 175, 287, 233, 150, 345, 210, 268, 189, 299, 412, 226, 137, 305, 244, 281

   a) ¿Por qué conviene agrupar estos datos aunque la variable sea discreta? b) Agrúpalos en intervalos de amplitud 100 empezando en 100 y haz la tabla con marcas de clase, $f_i$ y porcentajes. c) ¿Qué porcentaje de libros tiene menos de 300 páginas?

   Ver solución

   a) Casi todos los valores son distintos. b) f: 6, 9, 3, 2. c) 75 %.

   a) Hay 20 libros y casi todos tienen un número de páginas distinto: una tabla valor a valor tendría 20 filas con frecuencia 1 y no resumiría nada. b)

   Intervalo	$x_i$	$f_i$	%
   $[100, 200)$	150	6	30 %
   $[200, 300)$	250	9	45 %
   $[300, 400)$	350	3	15 %
   $[400, 500)$	450	2	10 %
   Total		20	100 %

   c) Menos de 300: $\dfrac{6 + 9}{20} = \dfrac{15}{20} = 75\ \%$.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   En una prueba de 60 metros lisos, los 30 alumnos de 3.º B han hecho estos tiempos (en segundos):

   9,4; 10,2; 8,9; 11,3; 9,8; 10; 9,1; 10,7; 9,6; 11; 8,6; 10,4; 9,9; 9,3; 10,9; 11,6; 9; 10,1; 9,7; 10,5; 8,8; 9,5; 10,3; 11,2; 9,2; 10,6; 9,8; 10; 9,4; 10,8

   Agrupa los tiempos en $[8, 9)$, $[9, 10)$, $[10, 11)$ y $[11, 12)$ y haz la tabla con marcas de clase, $f_i$, $h_i$ (redondeada a las centésimas) y $F_i$. ¿Cuántos alumnos tardaron menos de 10 s?

   Ver solución

   f: 3, 12, 11, 4. Menos de 10 s: 15.

   Intervalo	$x_i$	$f_i$	$h_i$	$F_i$
   $[8, 9)$	8,5	3	0,1	3
   $[9, 10)$	9,5	12	0,4	15
   $[10, 11)$	10,5	11	≈ 0,37	26
   $[11, 12)$	11,5	4	≈ 0,13	30
   Total		30	1

   Menos de 10 s: $F_2 = 15$ alumnos (el 10,0 cuenta en $[10, 11)$).

2. 2. Fácil

   Las marcas de clase de una tabla de datos agrupados son 25, 35, 45, 55 y 65. a) ¿Cuál es la amplitud? b) Escribe los intervalos. c) ¿En qué intervalo va el dato 50? ¿Y el 49,5?

   Ver solución

   a) 10. b) [20, 30), [30, 40), [40, 50), [50, 60), [60, 70). c) 50 → [50, 60); 49,5 → [40, 50).

   a) Amplitud = distancia entre marcas = $35 - 25 = 10$. b) Cada intervalo va de la marca $- 5$ a la marca $+ 5$: $[20, 30)$, $[30, 40)$, $[40, 50)$, $[50, 60)$, $[60, 70)$. c) 50 es extremo inferior de $[50, 60)$; 49,5 está en $[40, 50)$.

3. 3. Media

   La tabla recoge los kilómetros que recorren cada día en bici 40 usuarios de BiciMAD. Complétala con las marcas de clase, $h_i$, $F_i$ y $H_i$ y responde: a) ¿Cuántos usuarios recorren menos de 7 km? b) ¿Qué porcentaje recorre 5 km o más?

   km	$f_i$
   $[1, 3)$	4
   $[3, 5)$	9
   $[5, 7)$	14
   $[7, 9)$	8
   $[9, 11)$	5

   Ver solución

   a) 27. b) 67,5 %.

   Intervalo	$x_i$	$f_i$	$h_i$	$F_i$	$H_i$
   $[1, 3)$	2	4	0,1	4	0,1
   $[3, 5)$	4	9	0,225	13	0,325
   $[5, 7)$	6	14	0,35	27	0,675
   $[7, 9)$	8	8	0,2	35	0,875
   $[9, 11)$	10	5	0,125	40	1
   Total		40	1

   a) Menos de 7 km: $F_3 = 27$ usuarios. b) 5 km o más: $1 - H_2 = 1 - 0{,}325 = 0{,}675$ → $67{,}5\ \%$.

4. 4. Difícil

   Pablo ha agrupado unas notas medias con los intervalos $[0, 5]$, $[5, 7]$, $[7, 9]$, $[9, 10]$ y ha puesto un 7 en $[5, 7]$ y otro 7 en $[7, 9]$. a) ¿Qué está mal? b) Escribe unos intervalos correctos (puedes dejar el último cerrado para que entre el 10). c) Calcula la amplitud y la marca de clase de cada uno de tus intervalos.

   Ver solución

   a) Los intervalos se solapan en 5, 7 y 9: el mismo valor puede ir a dos intervalos. b) [0, 5), [5, 7), [7, 9), [9, 10]. c) Amplitudes 5, 2, 2, 1; marcas 2,5; 6; 8; 9,5.

   a) Con corchetes en los dos extremos, 5, 7 y 9 están en dos intervalos; por eso Pablo ha colocado los 7 en sitios distintos. b) $[0, 5)$, $[5, 7)$, $[7, 9)$, $[9, 10]$ (el último cerrado para incluir el 10). Ahora los dos 7 van en $[7, 9)$. c) Amplitudes: 5, 2, 2 y 1. Marcas: $\dfrac{0+5}{2} = 2{,}5$; 6; 8; 9,5. (Aquí las amplitudes no son iguales; es habitual en notas: suspenso, aprobado-bien, notable, sobresaliente.)