Ampliación: tablas de frecuencias incompletas

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorCalcular $f_i = F_i - F_{i+1}$ (restar la siguiente en lugar de la anterior).

  Cómo corregirloLa acumulada crece hacia abajo: $f_i$ es lo que se añade, $F_i - F_{i-1}$.

• ErrorLeer un diagrama de porcentajes como si fueran frecuencias absolutas.

  Cómo corregirloMira la etiqueta del eje vertical. Si son porcentajes, $f_i = \dfrac{\%}{100} \cdot N$.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Mascotas con incógnitas algebraico (ecuaciones con la tabla)

   En una encuesta a 40 familias sobre el número de mascotas se obtuvo esta tabla incompleta:

   Mascotas	$f_i$	$h_i$	$F_i$
   0	12
   1	$a$	0,35
   2	8
   3	$b$
   Total	40

   Halla $a$ y $b$ y completa la tabla.

   Resolución

   1. Con la frecuencia relativa del 1: $a = h \cdot N = 0{,}35 \cdot 40 = 14$.
   2. Con la suma: $12 + 14 + 8 + b = 40 \Rightarrow b = 6$.
   3. Completamos:

   Mascotas	$f_i$	$h_i$	$F_i$
   0	12	0,3	12
   1	14	0,35	26
   2	8	0,2	34
   3	6	0,15	40
   Total	40	1

   Comprobación: la última $F$ es $40$ y las $h_i$ suman $0{,}3 + 0{,}35 + 0{,}2 + 0{,}15 = 1$ ✔.

2. Ejemplo 2. Del gráfico a la tabla gráfico (reconstruir la tabla)

   El diagrama de barras muestra cuántos libros leyeron en vacaciones los alumnos de un grupo. a) Construye la tabla de frecuencias con $f_i$, $h_i$, porcentajes y $F_i$. b) ¿Qué porcentaje leyó al menos 3 libros?

   Resolución

   a) Leemos la altura de cada barra: 1 libro → 3; 2 → 6; 3 → 9; 4 → 5; 5 → 2. $N = 25$.

   Libros	$f_i$	$h_i$	%	$F_i$
   1	3	0,12	12 %	3
   2	6	0,24	24 %	9
   3	9	0,36	36 %	18
   4	5	0,2	20 %	23
   5	2	0,08	8 %	25
   Total	25	1	100 %

   b) Al menos 3 libros: $36\ \% + 20\ \% + 8\ \% = 64\ \%$ (o bien $\dfrac{25 - 9}{25} = \dfrac{16}{25} = 64\ \%$).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Media

   En una tabla de una variable con valores 1, 2, 3 y 4 se conocen las frecuencias relativas: 0,1; 0,3; 0,35 y 0,25. Además, el valor 1 aparece 4 veces. a) ¿Cuántos datos hay? b) Halla las frecuencias absolutas.

   Ver solución

   a) N = 40. b) 4, 12, 14, 10.

   a) $N = \dfrac{f_1}{h_1} = \dfrac{4}{0{,}1} = 40$. b) $f_2 = 0{,}3 \cdot 40 = 12$; $f_3 = 0{,}35 \cdot 40 = 14$; $f_4 = 0{,}25 \cdot 40 = 10$. Comprobación: $4 + 12 + 14 + 10 = 40$ ✔.

2. 2. Media

   Completa la tabla sabiendo que hay 40 datos:

   $x_i$	$f_i$	$F_i$	$h_i$
   1	5
   2		13
   3			0,25
   4		30
   5

   Ver solución

   f: 5, 8, 10, 7, 10; F: 5, 13, 23, 30, 40; h: 0,125; 0,2; 0,25; 0,175; 0,25.

   • $f_2 = F_2 - F_1 = 13 - 5 = 8$.
   • $f_3 = 0{,}25 \cdot 40 = 10$; $F_3 = 13 + 10 = 23$.
   • $f_4 = F_4 - F_3 = 30 - 23 = 7$.
   • $F_5 = N = 40$; $f_5 = 40 - 30 = 10$.
   • $h_i = f_i/40$: $0{,}125$; $0{,}2$; $0{,}25$; $0{,}175$; $0{,}25$ (suman 1 ✔).

   $x_i$	$f_i$	$F_i$	$h_i$
   1	5	5	0,125
   2	8	13	0,2
   3	10	23	0,25
   4	7	30	0,175
   5	10	40	0,25

3. 3. Difícil

   En una clase de 30 alumnos se preguntó cuántas horas de deporte hacen los sábados (1, 2, 3 o 4). Los que hacen 2 horas son el doble que los que hacen 1 hora; 9 alumnos hacen 3 horas y 6 hacen 4 horas. Halla las frecuencias absolutas y el porcentaje de cada valor.

   Ver solución

   1 h: 5 (16,7 %); 2 h: 10 (33,3 %); 3 h: 9 (30 %); 4 h: 6 (20 %).

   Sea $x$ el número de alumnos que hacen 1 hora; los de 2 horas son $2x$. $$x + 2x + 9 + 6 = 30 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$$ Frecuencias: 5, 10, 9, 6 (suman 30 ✔). Porcentajes: $\dfrac{5}{30} \approx 16{,}7\ \%$; $\dfrac{10}{30} \approx 33{,}3\ \%$; $\dfrac{9}{30} = 30\ \%$; $\dfrac{6}{30} = 20\ \%$ (redondeados a las décimas).

Para practicar más

1. 1. Media

   El diagrama de barras muestra, en porcentaje, cuántos goles (1, 2, 3, 4 o 5) marcó un equipo de balonmano juvenil en la última serie de lanzamientos de 7 metros de cada uno de sus 60 entrenamientos. ¿En cuántos entrenamientos marcó cada número de goles? ¿En cuántos marcó como máximo 3?

   Ver solución

   f: 6, 15, 24, 12, 3. Como máximo 3: 45 entrenamientos.

   Leemos los porcentajes: 10 %, 25 %, 40 %, 20 %, 5 % (suman 100 % ✔). $f_i = \dfrac{\%}{100} \cdot 60$: $0{,}1 \cdot 60 = 6$; $0{,}25 \cdot 60 = 15$; $0{,}4 \cdot 60 = 24$; $0{,}2 \cdot 60 = 12$; $0{,}05 \cdot 60 = 3$. Como máximo 3: $6 + 15 + 24 = 45$ entrenamientos.

2. 2. Media

   Completa la tabla (hay 30 datos):

   $x_i$	$f_i$	$F_i$	$h_i$	$H_i$
   0	4
   1		10
   2			0,4
   3				0,9
   4

   Ver solución

   f: 4, 6, 12, 5, 3; F: 4, 10, 22, 27, 30; h: 0,13; 0,2; 0,4; 0,17; 0,1 (aprox.); H: 0,13; 0,33; 0,73; 0,9; 1 (aprox.).

   • $f_1 = F_1 - F_0 = 10 - 4 = 6$.
   • $f_2 = 0{,}4 \cdot 30 = 12$; $F_2 = 10 + 12 = 22$.
   • $F_3 = 0{,}9 \cdot 30 = 27$; $f_3 = 27 - 22 = 5$.
   • $F_4 = 30$; $f_4 = 30 - 27 = 3$.

   $x_i$	$f_i$	$F_i$	$h_i$	$H_i$
   0	4	4	≈ 0,13	≈ 0,13
   1	6	10	0,20	≈ 0,33
   2	12	22	0,40	≈ 0,73
   3	5	27	≈ 0,17	0,90
   4	3	30	0,10	1,00

3. 3. Difícil

   En una encuesta a 50 personas sobre el número de veces que usaron el Cercanías la semana pasada (0, 1, 2 o 3 veces), 15 personas lo usaron 1 vez y 11 lo usaron 3 veces. Las que lo usaron 2 veces fueron 4 más que las que no lo usaron ninguna. Halla la tabla de frecuencias absolutas y relativas.

   Ver solución

   f: 10, 15, 14, 11; h: 0,2; 0,3; 0,28; 0,22.

   Sea $a$ el número de personas que no lo usaron; las de 2 veces son $a + 4$. $$a + 15 + (a + 4) + 11 = 50 \Rightarrow 2a + 30 = 50 \Rightarrow a = 10$$ Frecuencias: 10, 15, 14, 11 (suman 50 ✔). Relativas: $\dfrac{10}{50} = 0{,}2$; $\dfrac{15}{50} = 0{,}3$; $\dfrac{14}{50} = 0{,}28$; $\dfrac{11}{50} = 0{,}22$ (suman 1 ✔).