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Matemáticas 3.º ESO · Tablas de frecuencias. Datos agrupados en intervalos

Recuerda: frecuencias acumuladas

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular las frecuencias absolutas y relativas acumuladas e interpretarlas para responder preguntas del tipo «¿cuántos como máximo…?», «¿cuántos más de…?» o «¿cuántos al menos…?».

Recuerda

Frecuencias acumuladas

En una variable cuantitativa, ordenada de menor a mayor, se pueden acumular las frecuencias:

Frecuencia absoluta acumulada $F_i$ : número de datos menores o iguales que $x_i$ . Se obtiene sumando las $f_i$ hasta ese valor: $F_1 = f_1, \quad F_2 = f_1 + f_2, \quad F_3 = f_1 + f_2 + f_3, \ \ldots$ Truco: cada $F_i$ es la anterior más la $f_i$ de su fila: $F_i = F_{i-1} + f_i$ .
Frecuencia relativa acumulada $H_i = \dfrac{F_i}{N}$ (o la suma de las $h_i$ hasta ese valor).
La última $F_i$ es $N$ y la última $H_i$ es $1$ (100 %).

Cómo se interpretan

Pregunta	Se calcula con…
¿Cuántos datos valen como máximo 2 (2 o menos)?	$F$ del valor 2
¿Cuántos valen menos de 2?	$F$ del valor anterior a 2
¿Cuántos valen más de 2?	$N - F$ del valor 2
¿Cuántos valen al menos 2 (2 o más)?	$N - F$ del valor anterior a 2

La tabla completa

Lo habitual es poner todas las columnas en una sola tabla: $x_i$ , $f_i$ , $F_i$ , $h_i$ , $H_i$ y, si se quiere, los porcentajes ( $h_i \cdot 100$ ) y los porcentajes acumulados ( $H_i \cdot 100$ ). Comprobaciones: la suma de las $f_i$ y la última $F_i$ son $N$ ; la suma de las $h_i$ y la última $H_i$ son 1.

Las acumuladas solo tienen sentido si los valores se pueden ordenar: no se acumulan en variables como «medio de transporte», pero sí en cualitativas con orden, como las calificaciones (insuficiente, suficiente, bien, notable, sobresaliente).

Puntos clave

$F_i$ = número de datos menores o iguales que $x_i$ ; $F_i = F_{i-1} + f_i$ .
$H_i = F_i / N$ .
La última $F_i$ es $N$ y la última $H_i$ es 1.
«Como máximo $x$ » → $F$ de $x$ ; «más de $x$ » → $N - F$ de $x$ .
También se acumulan las cualitativas con orden (calificaciones), nunca las que no tienen orden.

Errores frecuentes

ErrorResponder a «¿cuántos marcaron al menos 3 goles?» con la $F$ del 3.
Cómo corregirloLa $F$ del 3 cuenta los que marcaron 3 o menos. «Al menos 3» es «3 o más»: $N - F$ del 2.
ErrorAcumular las frecuencias sin haber ordenado antes los valores de menor a mayor.
Cómo corregirloOrdena siempre los valores; si no, $F_i$ no significa «menores o iguales que $x_i$ ».

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Los goles del equipo juvenil numérico (tabla e interpretación)
Un equipo juvenil de fútbol de Fuenlabrada ha jugado 25 partidos esta temporada. Los goles que marcó en cada uno se resumen así: 0 goles, 4 partidos; 1 gol, 7; 2 goles, 6; 3 goles, 4; 4 goles, 3; 5 goles, 1. a) Completa la tabla con $f_i$ , $F_i$ , $h_i$ y $H_i$ . b) ¿En cuántos partidos marcó como máximo 2 goles? c) ¿En qué porcentaje de partidos marcó menos de 3 goles? d) ¿En cuántos partidos marcó al menos 3 goles?

Resolución
a)

$x_i$ $f_i$ $F_i$ $h_i$ $H_i$

0 4 4 0,16 0,16

1 7 11 0,28 0,44

2 6 17 0,24 0,68

3 4 21 0,16 0,84

4 3 24 0,12 0,96

5 1 25 0,04 1

Total 25 1

b) «Como máximo 2» = 0, 1 o 2 goles → $F = 17$ partidos.

c) «Menos de 3» = 2 o menos → $H = 0{,}68$ , es decir, el 68 % de los partidos.

d) «Al menos 3» = 3, 4 o 5 goles → $N - F_{(2)} = 25 - 17 = 8$ partidos. Comprobación: $4 + 3 + 1 = 8$ ✔.
Ejemplo 2. Las estrellas de una aplicación interpretación (tabla en porcentajes)
Esta tabla resume las valoraciones (de 1 a 5 estrellas) que dejaron los usuarios de una aplicación de transporte de Madrid:

Estrellas % ( $h_i$ · 100) % acumulado ( $H_i$ · 100)

1 5 % 5 %

2 10 % 15 %

3 25 % 40 %

4 35 % 75 %

5 25 % 100 %

a) ¿Qué porcentaje de usuarios puso 3 estrellas o menos? b) ¿Y 4 estrellas o más? c) Si votaron 2400 usuarios, ¿cuántos pusieron como máximo 2 estrellas?

Resolución
a) Se lee en la columna de acumulados, fila del 3: 40 %.

b) 4 o más es lo contrario de «3 o menos»: $100\ \% - 40\ \% = 60\ \%$ (también $35\ \% + 25\ \%$ ).

c) Como máximo 2 → acumulado del 2: $15\ \%$ . $0{,}15 \cdot 2400 = 360$ usuarios.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$h_i$	$H_i$
0	4	4	0,16	0,16
1	7	11	0,28	0,44
2	6	17	0,24	0,68
3	4	21	0,16	0,84
4	3	24	0,12	0,96
5	1	25	0,04	1
Total	25		1

Estrellas	% ( $h_i$ · 100)	% acumulado ( $H_i$ · 100)
1	5 %	5 %
2	10 %	15 %
3	25 %	40 %
4	35 %	75 %
5	25 %	100 %

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
En un control de tráfico en la A-6 se contó el número de ocupantes de 40 coches: 1 ocupante, 22 coches; 2 ocupantes, 10; 3 ocupantes, 5; 4 ocupantes, 3. Completa la tabla con $f_i$ , $F_i$ , $h_i$ y $H_i$ .

Ver solución
F: 22, 32, 37, 40; h: 0,55; 0,25; 0,125; 0,075. H: 0,55; 0,8; 0,925; 1.

Ocupantes $f_i$ $F_i$ $h_i$ $H_i$

1 22 22 0,55 0,55

2 10 32 0,25 0,8

3 5 37 0,125 0,925

4 3 40 0,075 1

Total 40 1

Comprobación: la última $F$ es $40 = N$ y la última $H$ es $1$ ✔.
2. Fácil
Con los datos del control de tráfico de la A-6 (1 ocupante, 22 coches; 2, 10; 3, 5; 4, 3): a) ¿Cuántos coches llevaban como máximo 2 ocupantes? b) ¿Cuántos llevaban más de 1 ocupante? c) ¿Qué porcentaje llevaba menos de 3 ocupantes?

Ver solución
a) 32. b) 18. c) 80 %.
Acumuladas: $F = 22,\ 32,\ 37,\ 40$ . a) Como máximo 2 → $F_{(2)} = 32$ coches. b) Más de 1 → $N - F_{(1)} = 40 - 22 = 18$ coches. c) Menos de 3 → 1 o 2 ocupantes → $\dfrac{32}{40} = 0{,}8 = 80\ \%$ .
3. Media
De una tabla de frecuencias solo se conserva la columna de frecuencias absolutas acumuladas. Los valores son el número de horas de deporte a la semana (de 0 a 4) y $F_i$ = 3, 10, 18, 24, 25. Halla las frecuencias absolutas $f_i$ y el número total de datos.

Ver solución
f = 3, 7, 8, 6, 1; N = 25.
Cada $f_i$ es la diferencia entre su $F_i$ y la anterior: $f_0 = 3$ ; $f_1 = 10 - 3 = 7$ ; $f_2 = 18 - 10 = 8$ ; $f_3 = 24 - 18 = 6$ ; $f_4 = 25 - 24 = 1$ . $N$ = última $F_i$ = 25. Comprobación: $3 + 7 + 8 + 6 + 1 = 25$ ✔.

Ocupantes	$f_i$	$F_i$	$h_i$	$H_i$
1	22	22	0,55	0,55
2	10	32	0,25	0,8
3	5	37	0,125	0,925
4	3	40	0,075	1
Total	40		1

Para practicar más

1. Fácil

Se preguntó a 30 alumnos cuántas veces habían ido al cine el último trimestre:

2, 0, 1, 3, 1, 0, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 3, 0, 2, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 5

a) Haz la tabla con $f_i$ , $F_i$ , $h_i$ y $H_i$ (decimales redondeados a las centésimas). b) ¿Cuántos fueron como máximo una vez? c) ¿Cuántos fueron al menos 2 veces?

Ver solución

f: 0→6, 1→12, 2→7, 3→3, 4→1, 5→1. b) 18. c) 12.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$h_i$	$H_i$
0	6	6	0,2	0,2
1	12	18	0,4	0,6
2	7	25	≈ 0,23	≈ 0,83
3	3	28	0,1	≈ 0,93
4	1	29	≈ 0,03	≈ 0,97
5	1	30	≈ 0,03	1
Total	30		1

b) Como máximo 1 → $F_{(1)} = 18$ alumnos. c) Al menos 2 → $N - F_{(1)} = 30 - 18 = 12$ alumnos.

2. Media
Las notas (enteras) de un examen de 28 alumnos son: 2 → 1 alumno; 3 → 2; 4 → 4; 5 → 6; 6 → 5; 7 → 4; 8 → 3; 9 → 2; 10 → 1. a) Calcula las frecuencias absolutas acumuladas. b) ¿Cuántos suspendieron (nota menor que 5)? c) ¿Qué porcentaje aprobó? d) ¿Cuántos sacaron como máximo un 7?

Ver solución
a) 1, 3, 7, 13, 18, 22, 25, 27, 28. b) 7. c) 75 %. d) 22.
a) $F$ : 1, 3, 7, 13, 18, 22, 25, 27, 28 (la última es $N = 28$ ✔). b) Menos de 5 → $F_{(4)} = 7$ alumnos. c) Aprobaron $28 - 7 = 21$ : $\dfrac{21}{28} = 0{,}75 = 75\ \%$ . d) Como máximo 7 → $F_{(7)} = 22$ alumnos.
3. Media
¿Verdadero o falso? Justifica. a) La última frecuencia absoluta acumulada coincide con el número total de datos. b) Una frecuencia acumulada puede ser menor que la anterior. c) Se pueden calcular frecuencias acumuladas de la variable «color de ojos». d) Si $H_3 = 0{,}6$ , el 40 % de los datos son mayores que 3.

Ver solución
a) V. b) F. c) F. d) V.
a) Verdadero: al final se han sumado todas las $f_i$ . b) Falso: cada $F_i$ es la anterior más una $f_i \geq 0$ ; nunca disminuye. c) Falso: los colores no tienen un orden de menor a mayor; no tiene sentido «menor o igual que verde». d) Verdadero: el 60 % son menores o iguales que 3; el resto, $100\ \% - 60\ \% = 40\ \%$ , son mayores.