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Matemáticas 3.º ESO · Volúmenes de cuerpos geométricos. Troncos

Recuerda: volumen de prismas y cilindros

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el volumen de ortoedros, prismas y cilindros como área de la base por la altura y expresarlo en litros cuando se trate de una capacidad.

Recuerda

¿Qué es el volumen?

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Se mide en unidades cúbicas: $\text{cm}^3$ , $\text{dm}^3$ , $\text{m}^3$ … Medir un volumen es contar cuántos cubos unidad caben dentro.

Cada unidad de volumen es 1000 veces la inmediatamente inferior: $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3$ , $1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$ .

La capacidad (lo que cabe dentro de un recipiente) se mide en litros: $1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L} \qquad 1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL} \qquad 1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}$

Ortoedro: capas de cubos

Un ortoedro de $5 \times 3 \times 4$ cm se llena con capas de cubitos de 1 cm: en el fondo caben $5 \cdot 3 = 15$ cubitos (el área de la base) y caben 4 capas (la altura). En total, $15 \cdot 4 = 60\ \text{cm}^3$ . Es decir, área de la base por altura.

Prismas y cilindros: área de la base por la altura

La misma idea sirve para cualquier prisma y para el cilindro: el cuerpo está formado por «capas» iguales a la base, apiladas hasta la altura.

Cuerpo	Volumen
Cubo de arista $a$	$V = a^3$
Ortoedro de aristas $a$ , $b$ , $c$	$V = a \cdot b \cdot c$
Prisma cualquiera	$V = A_B \cdot h$
Cilindro de radio $r$	$V = \pi r^2 \cdot h$

$A_B$ es el área de la base y $h$ la altura (la distancia entre las dos bases). Para el área de la base usa la fórmula del polígono que sea: triángulo $\dfrac{b \cdot h}{2}$ , rombo $\dfrac{D \cdot d}{2}$ , trapecio $\dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$ , polígono regular $\dfrac{P \cdot a_b}{2}$ (perímetro por apotema entre 2).

Problemas de capacidad

Usa las medidas interiores del recipiente.
Pon todas las medidas en la misma unidad. Si trabajas en decímetros, el volumen sale en $\text{dm}^3$ , que son litros.
Si te dan el volumen y te piden una medida (por ejemplo, hasta qué altura llega el agua), despeja: $h = \dfrac{V}{A_B}$ .

Puntos clave

Volumen de prismas y cilindros: $V = A_B \cdot h$ (área de la base por la altura).
Ortoedro: $V = a \cdot b \cdot c$ ; cubo: $V = a^3$ .
Cilindro: $V = \pi r^2 h$ (con el radio, no con el diámetro).
$1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L}$ ; $1\ \text{cm}^3 = 1\ \text{mL}$ ; $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}$ .
Si conoces el volumen y la base, la altura es $h = V : A_B$ .

Errores frecuentes

ErrorUsar el diámetro en lugar del radio en $\pi r^2 h$ .
Cómo corregirloSi te dan el diámetro, divídelo entre 2 antes de elevar al cuadrado.
ErrorPasar de $\text{cm}^3$ a $\text{m}^3$ dividiendo entre 100.
Cómo corregirloEn volumen, cada salto de unidad es $\times 1000$ o $: 1000$ : $1\ \text{m}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3$ .
ErrorMezclar unidades (metros y centímetros) en la misma fórmula.
Cómo corregirloPasa todas las medidas a la misma unidad antes de multiplicar; si quieres litros, trabaja en dm.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una piscina hinchable situación real (cilindro y litros)
Una piscina hinchable de una terraza de Vallecas es un cilindro de 2,4 m de diámetro. Se llena de agua hasta una altura de 50 cm. ¿Cuántos litros de agua hacen falta? Redondea a litros.

Resolución
1. Datos en la misma unidad: $r = 2{,}4 : 2 = 1{,}2\ \text{m}$ ; $h = 50\ \text{cm} = 0{,}5\ \text{m}$ .
2. Volumen del agua (un cilindro de altura 0,5 m): $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 1{,}2^2 \cdot 0{,}5 = 0{,}72\pi \approx 2{,}262\ \text{m}^3$
3. En litros: $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}$ , así que $V \approx 2262\ \text{L}$ .
Ejemplo 2. Una chocolatina triangular numérico (prisma triangular)
Una chocolatina tiene forma de prisma recto de 20 cm de largo cuya base es un triángulo de 3,5 cm de base y 3 cm de altura. ¿Qué volumen de chocolate tiene?

Resolución
1. Área de la base (triángulo): $A_B = \dfrac{3{,}5 \cdot 3}{2} = 5{,}25\ \text{cm}^2$ .
2. Altura del prisma: es el largo de la chocolatina, $h = 20\ \text{cm}$ .
3. Volumen: $V = A_B \cdot h = 5{,}25 \cdot 20 = 105\ \text{cm}^3$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula el volumen de: a) un cubo de 7 cm de arista; b) un ortoedro de 12 dm × 5 dm × 4 dm (exprésalo también en litros).

Ver solución
a) 343 cm³; b) 240 dm³ = 240 L
a) $V = 7^3 = 343\ \text{cm}^3$ . b) $V = 12 \cdot 5 \cdot 4 = 240\ \text{dm}^3 = 240\ \text{L}$ .
2. Media
Una caja de galletas tiene forma de prisma hexagonal regular de 12 cm de altura. El lado del hexágono mide 8 cm y su apotema, 6,93 cm. Calcula su volumen y exprésalo en litros.

Ver solución
1995,84 cm³ ≈ 2 L
Perímetro de la base: $6 \cdot 8 = 48$ cm. $A_B = \dfrac{P \cdot a_b}{2} = \dfrac{48 \cdot 6{,}93}{2} = 166{,}32\ \text{cm}^2$ . $V = A_B \cdot h = 166{,}32 \cdot 12 = 1995{,}84\ \text{cm}^3 \approx 2\ \text{L}$ .
3. Media
Un vaso cilíndrico mide por dentro 7 cm de diámetro y 10 cm de altura. ¿Cabe en él el contenido de una lata de refresco de 33 cL?

Ver solución
Sí: caben unos 384,85 cm³ = 38,5 cL > 33 cL
$r = 3{,}5$ cm. $V = \pi \cdot 3{,}5^2 \cdot 10 = 122{,}5\pi \approx 384{,}85\ \text{cm}^3 = 384{,}85\ \text{mL} \approx 38{,}5\ \text{cL}$ . Como $38{,}5 > 33$ , sí cabe (y sobran unos 5,5 cL).

Para practicar más

1. Fácil
Un acuario tiene forma de ortoedro y mide por dentro 60 cm de largo, 30 cm de ancho y 35 cm de alto. a) ¿Cuántos litros caben? b) ¿Cuántos litros lleva si se llena hasta 5 cm por debajo del borde?

Ver solución
a) 63 L; b) 54 L
a) $V = 60 \cdot 30 \cdot 35 = 63\,000\ \text{cm}^3 = 63\ \text{dm}^3 = 63\ \text{L}$ . b) Altura del agua: $35 - 5 = 30$ cm. $V = 60 \cdot 30 \cdot 30 = 54\,000\ \text{cm}^3 = 54\ \text{L}$ .
2. Media
Un tramo recto de tubería mide 8 m de largo y 10 cm de diámetro interior. ¿Cuántos litros de agua contiene cuando está lleno? Redondea a centésimas.

Ver solución
20π ≈ 62,83 L
Trabajamos en dm para obtener litros: $r = 5\ \text{cm} = 0{,}5\ \text{dm}$ ; $h = 8\ \text{m} = 80\ \text{dm}$ . $V = \pi \cdot 0{,}5^2 \cdot 80 = 20\pi \approx 62{,}83\ \text{dm}^3 = 62{,}83\ \text{L}$ .
3. Media
Un depósito cúbico de gasóleo tiene una capacidad de 1331 L. ¿Cuánto mide su arista interior? Exprésala en metros.

Ver solución
11 dm = 1,1 m
$1331\ \text{L} = 1331\ \text{dm}^3$ . $a^3 = 1331 \Rightarrow a = \sqrt[3]{1331} = 11\ \text{dm} = 1{,}1\ \text{m}$ (comprobación: $11^3 = 1331$ ).