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Matemáticas 3.º ESO · Áreas de cuerpos geométricos. Troncos

Área de troncos de pirámide y de cono. Problemas de pintura y envases

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el área lateral y total de troncos de pirámide y de cono, obteniendo su apotema o generatriz con el teorema de Pitágoras, y resolver problemas de pintura, envases y material.

Explicación

Troncos de pirámide y de cono

Si cortamos una pirámide (o un cono) con un plano paralelo a la base y quitamos la parte de arriba, queda un tronco. Tiene dos bases paralelas: la mayor y la menor.

Tronco de pirámide regular

Sus caras laterales son trapecios isósceles iguales. La altura de cada trapecio es la apotema del tronco, $ap$ . $A_L = \frac{(P + P') \cdot ap}{2} \qquad A_T = A_L + A_B + A_b$ donde $P$ y $P'$ son los perímetros de las bases mayor y menor, y $A_B$ y $A_b$ sus áreas.

Cálculo de la apotema con Pitágoras. Si cortamos el tronco por un plano vertical que pase por los centros de las bases y por las apotemas de las bases, aparece un trapecio rectángulo. De él sale un triángulo rectángulo de catetos $h$ (altura del tronco) y $a_B - a_b$ (diferencia de las apotemas de las bases): $ap^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2$ En un tronco de base cuadrada, $a_B - a_b = \dfrac{L - l}{2}$ .

Tronco de cono

$A_L = \pi (R + r)\, g \qquad A_T = \pi (R + r)\, g + \pi R^2 + \pi r^2$ con $R$ y $r$ los radios de las bases y $g$ la generatriz del tronco: $g^2 = h^2 + (R - r)^2$

Problemas de contexto

Antes de calcular, decide qué superficies hay que contar: un recipiente abierto (maceta, cubo, vaso) no tiene base superior; una pantalla de lámpara no tiene ninguna base; si algo está apoyado, la base de abajo no se pinta.

Puntos clave

Tronco: lo que queda de una pirámide o un cono al cortarlo por un plano paralelo a la base; tiene dos bases.
Tronco de pirámide regular: $A_L = \dfrac{(P + P') \cdot ap}{2}$ ; $A_T = A_L + A_B + A_b$ .
Apotema del tronco: $ap^2 = h^2 + (a_B - a_b)^2$ .
Tronco de cono: $A_L = \pi(R + r)g$ , con $g^2 = h^2 + (R - r)^2$ .
En los problemas, decide primero qué caras o bases cuentan (recipientes abiertos, pantallas, superficies apoyadas).

Errores frecuentes

ErrorUsar la altura del tronco como si fuera la apotema o la generatriz.
Cómo corregirloLas caras laterales están inclinadas: calcula $ap$ o $g$ con Pitágoras usando la diferencia de apotemas o de radios.
ErrorEn Pitágoras, usar $R + r$ o $R$ en lugar de $R - r$ .
Cómo corregirloEl cateto horizontal es lo que «sobresale» la base mayor respecto a la menor: $R - r$ (o $a_B - a_b$ ).
ErrorSumar las dos bases en un recipiente abierto.
Cómo corregirloLee el enunciado: una maceta o un vaso solo tienen la base de abajo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Pintar una maceta situación real (tronco de cono)
Una maceta de una terraza tiene forma de tronco de cono: el radio de la boca (arriba) mide 15 cm, el del fondo 10 cm y la altura 12 cm. Se quiere pintar por fuera la superficie lateral y el fondo. ¿Cuántos centímetros cuadrados hay que pintar? Redondea a centésimas.

Resolución
1. Generatriz: el triángulo rectángulo tiene catetos $h = 12$ cm y $R - r = 15 - 10 = 5$ cm: $g = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm}$
2. Lateral: $A_L = \pi (R + r) g = \pi \cdot 25 \cdot 13 = 325\pi\ \text{cm}^2$ .
3. Fondo (la boca está abierta): $\pi r^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi\ \text{cm}^2$ .
4. Total: $325\pi + 100\pi = 425\pi \approx 1335{,}18\ \text{cm}^2$ .
Ejemplo 2. Una papelera numérico (tronco de pirámide)
Una papelera metálica tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular, abierta por arriba. La boca es un cuadrado de 30 cm de lado, el fondo un cuadrado de 20 cm de lado y la altura mide 12 cm. ¿Cuánta chapa hace falta?

Resolución
1. Apotema del tronco: apotemas de las bases $15$ y $10$ cm; diferencia $5$ cm. $ap = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\ \text{cm}$
2. Lateral: 4 trapecios de bases 30 y 20 cm y altura 13 cm: $A_L = \frac{(P + P') \cdot ap}{2} = \frac{(120 + 80) \cdot 13}{2} = 1300\ \text{cm}^2$
3. Fondo: $20^2 = 400\ \text{cm}^2$ (la boca está abierta).
4. Total: $1300 + 400 = 1700\ \text{cm}^2$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases miden 8 cm y 4 cm de lado y cuya apotema mide 5 cm.

Ver solución
200 cm²
$A_L = \dfrac{(32 + 16) \cdot 5}{2} = 120\ \text{cm}^2$ . Bases: $8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80\ \text{cm}^2$ . $A_T = 120 + 80 = 200\ \text{cm}^2$ .
2. Media
Un tronco de cono tiene radios de 7 cm y 3 cm y una generatriz de 5 cm. Calcula su altura y su área total (exacta y redondeada a centésimas).

Ver solución
h = 3 cm; A_T = 108π ≈ 339,29 cm².
$h = \sqrt{g^2 - (R - r)^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$ cm. $A_T = \pi(7 + 3) \cdot 5 + \pi \cdot 7^2 + \pi \cdot 3^2 = 50\pi + 49\pi + 9\pi = 108\pi \approx 339{,}29\ \text{cm}^2$ .
3. Media
Un taller de Lavapiés fabrica pantallas de lámpara con forma de tronco de cono (sin bases), de 18 cm de diámetro abajo, 8 cm de diámetro arriba y 12 cm de altura. La tela cuesta 25 € el metro cuadrado. ¿Cuánto cuesta la tela para 50 pantallas (sin contar costuras)?

Ver solución
169π cm² por pantalla; unos 66,37 € para 50.
$R = 9$ cm, $r = 4$ cm, $R - r = 5$ cm. $g = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ cm. Una pantalla: $\pi (9 + 4) \cdot 13 = 169\pi \approx 530{,}93\ \text{cm}^2$ . 50 pantallas: $50 \cdot 169\pi \approx 26\,546\ \text{cm}^2 \approx 2{,}6546\ \text{m}^2$ ( $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ ). Coste: $2{,}6546 \cdot 25 \approx 66{,}37$ €.
4. Difícil
Un tronco de pirámide hexagonal regular tiene bases de 10 cm y 6 cm de lado y 6 cm de altura. Calcula su apotema y su área total (exacta y redondeada a centésimas). Recuerda que la apotema de un hexágono regular de lado $l$ mide $\dfrac{l\sqrt{3}}{2}$ y su área es $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,l^2$ .

Ver solución
ap = 4√3 ≈ 6,93 cm; A_T = 396√3 ≈ 685,89 cm².
Apotemas de las bases: $5\sqrt{3}$ y $3\sqrt{3}$ cm; diferencia: $2\sqrt{3}$ cm. $ap = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm. $A_L = \dfrac{(60 + 36) \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 192\sqrt{3}\ \text{cm}^2$ . Bases: $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}(10^2 + 6^2) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 136 = 204\sqrt{3}\ \text{cm}^2$ . $A_T = 192\sqrt{3} + 204\sqrt{3} = 396\sqrt{3} \approx 685{,}89\ \text{cm}^2$ .

Para practicar más

1. Media
Un cubo de playa tiene forma de tronco de cono abierto por arriba: radio de la boca 10 cm, radio del fondo 7 cm y altura 4 cm. ¿Cuánto plástico tiene? Redondea a centésimas.

Ver solución
134π ≈ 420,97 cm²
$g = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ cm. Lateral: $\pi(10 + 7) \cdot 5 = 85\pi$ . Fondo: $\pi \cdot 7^2 = 49\pi$ . Total: $134\pi \approx 420{,}97\ \text{cm}^2$ .
2. Media
Un macetero de hormigón de un parque de Madrid tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular apoyado sobre la base menor: la base de arriba mide 50 cm de lado, la de abajo 30 cm y la altura 24 cm. Se pintan las caras laterales y la cara de arriba. ¿Cuántos metros cuadrados se pintan?

Ver solución
6660 cm² = 0,666 m²
Diferencia de apotemas: $25 - 15 = 10$ cm. $ap = \sqrt{24^2 + 10^2} = 26$ cm. Lateral: $\dfrac{(200 + 120) \cdot 26}{2} = 4160\ \text{cm}^2$ . Cara de arriba: es la base mayor (el macetero se apoya en la menor): $50^2 = 2500\ \text{cm}^2$ . Total: $4160 + 2500 = 6660\ \text{cm}^2 = 0{,}666\ \text{m}^2$ .
3. Media
Un vaso de papel tiene forma de tronco de cono abierto por arriba: radio de la boca 4 cm, radio del fondo 3 cm y generatriz 10 cm. ¿Cuánto papel lleva cada vaso? ¿Cuántos metros cuadrados hacen falta para 1000 vasos? Redondea a centésimas.

Ver solución
79π ≈ 248,19 cm² cada vaso; unos 24,82 m².
Lateral: $\pi(4 + 3) \cdot 10 = 70\pi$ . Fondo: $\pi \cdot 3^2 = 9\pi$ . Cada vaso: $79\pi \approx 248{,}19\ \text{cm}^2$ . 1000 vasos: $79\,000\pi\ \text{cm}^2 \approx 248\,186\ \text{cm}^2 \approx 24{,}82\ \text{m}^2$ .
4. Difícil
Para una lámpara se duda entre dos pantallas sin bases, las dos de 25 cm de altura: una cilíndrica de 20 cm de diámetro y otra con forma de tronco de cono de 30 cm de diámetro abajo y 20 cm arriba. ¿Cuál lleva más tela y en qué porcentaje (redondeado a décimas)?

Ver solución
Cilindro 500π ≈ 1570,80 cm²; tronco ≈ 2002,38 cm²; el tronco lleva un 27,5 % más.
Cilindro: $2\pi \cdot 10 \cdot 25 = 500\pi \approx 1570{,}80\ \text{cm}^2$ . Tronco: $R - r = 15 - 10 = 5$ cm; $g = \sqrt{25^2 + 5^2} = \sqrt{650} \approx 25{,}50$ cm. $A_L = \pi (15 + 10)\sqrt{650} \approx 2002{,}38\ \text{cm}^2$ . El tronco lleva más tela: $\dfrac{2002{,}38}{1570{,}80} \approx 1{,}275$ , es decir, un 27,5 % más.