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← U12 · Cuerpos geométricos: áreas y volúmenes

Matemáticas 3.º ESO · Volúmenes de cuerpos geométricos. Troncos

Recuerda: volumen de pirámides y conos

Objetivo: Al terminar, sabrás que una pirámide (o un cono) tiene un tercio del volumen del prisma (o del cilindro) de la misma base y altura, y calcularás volúmenes de pirámides y conos, obteniendo la altura con Pitágoras si hace falta.

Recuerda

Pirámide y cono: la tercera parte

Si llenamos de arena una pirámide hueca y la vaciamos en un prisma con la misma base y la misma altura, hacen falta tres pirámides para llenarlo. Lo mismo ocurre con un cono y un cilindro.

$V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3}\, A_B \cdot h \qquad\qquad V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\,\pi r^2 \cdot h$

$A_B$ es el área de la base (cuadrado, rectángulo, triángulo, polígono regular…) y $h$ la altura: la distancia del vértice a la base, medida en perpendicular.

La altura, con Pitágoras

Muchas veces no te dan la altura $h$ , sino la apotema de la pirámide, una arista lateral o la generatriz $g$ del cono. La altura se obtiene con un triángulo rectángulo:

Pirámide regular con la apotema: catetos $h$ y $a_b$ (apotema de la base), hipotenusa $ap$ (apotema de la pirámide): $ap^2 = h^2 + a_b^2$ . En una pirámide cuadrangular de lado $l$ , $a_b = \dfrac{l}{2}$ .
Pirámide regular con la arista lateral $a$ : catetos $h$ y la distancia del centro de la base a un vértice (en un cuadrado, la mitad de la diagonal), hipotenusa $a$ .
Cono: catetos $h$ y $r$ , hipotenusa $g$ : $g^2 = h^2 + r^2$ .

¿Qué pasa si cambian las medidas?

En $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ , la altura aparece una vez y el radio dos (al cuadrado). Si se duplica la altura, el volumen se duplica; si se duplica el radio, el volumen se multiplica por $2^2 = 4$ .

Puntos clave

$V_{\text{pirámide}} = \dfrac{1}{3} A_B \cdot h$ ; $V_{\text{cono}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ .
Una pirámide (cono) es la tercera parte del prisma (cilindro) de igual base y altura.
En la fórmula va la altura, no la apotema, la arista lateral ni la generatriz: si no la tienes, usa Pitágoras.
Si se duplica el radio de un cono, su volumen se multiplica por 4; si se duplica la altura, por 2.

Errores frecuentes

ErrorOlvidar dividir entre 3.
Cómo corregirloPiensa si el cuerpo acaba en punta (pirámide, cono): entonces lleva $\frac{1}{3}$ .
ErrorUsar la generatriz o la apotema como si fueran la altura.
Cómo corregirloLa altura es perpendicular a la base. Calcúlala con $h = \sqrt{g^2 - r^2}$ o $h = \sqrt{ap^2 - a_b^2}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Tres pirámides llenan un prisma experimental
En el laboratorio de Matemáticas hay un recipiente con forma de pirámide cuadrangular de 6 cm de lado de la base y 9 cm de altura, y otro con forma de prisma de la misma base y la misma altura. Se llena la pirámide de arena y se vacía en el prisma. ¿Cuántas veces hay que hacerlo para llenar el prisma? Compruébalo calculando los dos volúmenes.

Resolución
- Prisma: $V = A_B \cdot h = 6^2 \cdot 9 = 324\ \text{cm}^3$ .
- Pirámide: $V = \dfrac{1}{3} A_B \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 9 = 108\ \text{cm}^3$ .
$324 : 108 = 3$ : hay que vaciar la pirámide 3 veces.
Ejemplo 2. Un montón de sal para las carreteras situación real (altura con Pitágoras)
Para las nevadas, en un almacén de la sierra de Madrid hay un montón de sal con forma de cono de 8 m de diámetro. La ladera del montón (la generatriz) mide 5 m. ¿Cuántos metros cúbicos de sal hay? Redondea a centésimas.

Resolución
1. Radio: $r = 8 : 2 = 4$ m.
2. Altura con Pitágoras (catetos $h$ y $r$ , hipotenusa $g$ ): $h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3\ \text{m}$
3. Volumen: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi \approx 50{,}27\ \text{m}^3$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula el volumen de: a) una pirámide cuadrangular de 9 cm de lado de la base y 14 cm de altura; b) un cono de 3 cm de radio y 7 cm de altura (exacto y redondeado a centésimas).

Ver solución
a) 378 cm³; b) 21π ≈ 65,97 cm³
a) $V = \dfrac{1}{3} \cdot 9^2 \cdot 14 = \dfrac{1134}{3} = 378\ \text{cm}^3$ . b) $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 7 = 21\pi \approx 65{,}97\ \text{cm}^3$ .
2. Media
Una pirámide cuadrangular regular tiene 16 cm de lado de la base y 17 cm de apotema. Calcula su altura y su volumen.

Ver solución
h = 15 cm; V = 1280 cm³
Apotema de la base: $16 : 2 = 8$ cm. $h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ cm. $V = \dfrac{1}{3} \cdot 16^2 \cdot 15 = \dfrac{256 \cdot 15}{3} = 1280\ \text{cm}^3$ .
3. Media
Un cono y un cilindro tienen la misma base, de 5 cm de radio. El cilindro mide 4 cm de altura. ¿Qué altura debe tener el cono para que los dos tengan el mismo volumen?

Ver solución
12 cm
Con la misma base, el cono necesita el triple de altura: $\dfrac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot h = \pi \cdot 25 \cdot 4 \Rightarrow \dfrac{h}{3} = 4 \Rightarrow h = 12$ cm. (Comprobación: los dos miden $100\pi\ \text{cm}^3$ .)

Para practicar más

1. Fácil
La gran pirámide de Keops (Egipto) tenía originalmente una base cuadrada de unos 230 m de lado y unos 146 m de altura. Calcula su volumen aproximado.

Ver solución
Unos 2 574 467 m³ (≈ 2,57 millones de m³)
$V = \dfrac{1}{3} \cdot 230^2 \cdot 146 = \dfrac{52\,900 \cdot 146}{3} = \dfrac{7\,723\,400}{3} \approx 2\,574\,467\ \text{m}^3$ , es decir, unos 2,57 millones de metros cúbicos (los datos son aproximados).
2. Media
Una copa de cóctel tiene forma de cono de 9 cm de diámetro en la boca y 8 cm de profundidad. ¿Caben en ella 15 cL de zumo? Redondea a centésimas.

Ver solución
Sí: caben 54π ≈ 169,65 cm³ ≈ 17 cL
$r = 4{,}5$ cm. $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4{,}5^2 \cdot 8 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 20{,}25 \cdot 8 = 54\pi \approx 169{,}65\ \text{cm}^3 \approx 17\ \text{cL}$ . Como $17 > 15$ , sí caben.
3. Media
Una tienda tipi de un campamento tiene forma de cono de 3 m de diámetro. La lona, desde el vértice hasta el suelo, mide 2,5 m. ¿Qué altura tiene la tienda? ¿Cuánto aire hay dentro? Redondea a centésimas.

Ver solución
h = 2 m; V = 1,5π ≈ 4,71 m³
$r = 1{,}5$ m; $g = 2{,}5$ m. $h = \sqrt{2{,}5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25 - 2{,}25} = \sqrt{4} = 2$ m. $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 1{,}5^2 \cdot 2 = 1{,}5\pi \approx 4{,}71\ \text{m}^3$ .