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Matemáticas 3.º ESO · Volúmenes de cuerpos geométricos. Troncos

Volumen de la esfera y principio de Cavalieri

Objetivo: Al terminar, sabrás enunciar el principio de Cavalieri, usarlo para calcular volúmenes de cuerpos oblicuos y entender de dónde sale el volumen de la esfera, y calcularás volúmenes de esferas y semiesferas.

Explicación

Principio de Cavalieri

Si dos cuerpos tienen la misma altura y cualquier plano paralelo a la base los corta en secciones de la misma área, entonces los dos cuerpos tienen el mismo volumen.

Piensa en una pila de monedas: si la empujas y queda torcida, cada moneda sigue siendo igual, así que el volumen no cambia. Por eso un prisma o un cilindro oblicuo tiene el mismo volumen que uno recto de igual base y altura: $V = A_B \cdot h$ (con la altura, que es la distancia entre las bases, no con la arista lateral inclinada).

Volumen de la esfera

Compara una semiesfera de radio $r$ con un cilindro de radio $r$ y altura $r$ al que se le quita un cono con la base arriba y el vértice en el centro de la base de abajo. A una altura $z$ :

la sección de la semiesfera es un círculo de radio $\sqrt{r^2 - z^2}$ (Pitágoras): su área es $\pi(r^2 - z^2)$ ;
la sección del cilindro sin el cono es una corona de radios $r$ y $z$ : su área es $\pi r^2 - \pi z^2$ .

¡Son iguales! Por Cavalieri: $V_{\text{semiesfera}} = \pi r^3 - \dfrac{1}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3$ . Por tanto: $V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3$

Problemas de volúmenes

Cuerpo	Volumen
Prisma, cilindro	$V = A_B \cdot h$
Pirámide, cono	$V = \dfrac{1}{3} A_B \cdot h$
Esfera	$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

Para resolver un problema:

Identifica el cuerpo (o los cuerpos) y dibújalos con sus medidas.
Pasa las medidas a la misma unidad y usa el radio (no el diámetro).
Calcula los volúmenes; si se pide «cuántos caben» o «cuántos se fabrican», divide volúmenes y redondea con sentido (si se pide cuántos objetos completos, hacia abajo).
Expresa el resultado en la unidad que pida el problema (litros, $\text{m}^3$ …).

Puntos clave

Cavalieri: misma altura y secciones de igual área a cualquier altura ⟹ mismo volumen.
Prismas y cilindros oblicuos: $V = A_B \cdot h$ , con la altura perpendicular.
$V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ ; $V_{\text{semiesfera}} = \dfrac{2}{3}\pi r^3$ .
Si el radio se multiplica por $k$ , el volumen se multiplica por $k^3$ .
Si se pregunta cuántos objetos caben o se fabrican, se dividen volúmenes y se redondea hacia abajo.

Errores frecuentes

ErrorEn un prisma oblicuo, multiplicar por la arista lateral.
Cómo corregirloLa arista está inclinada y es más larga que la altura: usa la distancia perpendicular entre las bases.
ErrorElevar el radio al cuadrado en la fórmula de la esfera (confundirla con el área $4\pi r^2$ ).
Cómo corregirloVolumen → unidades cúbicas → $r^3$ . Área → unidades cuadradas → $r^2$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos pilas de monedas experimental (principio de Cavalieri)
Con 20 monedas de 2 € se hacen dos pilas: una recta y otra torcida. Cada moneda mide unos 25,75 mm de diámetro y 2,2 mm de grosor. ¿Qué pila tiene más volumen? Calcúlalo en $\text{cm}^3$ (redondea a centésimas).

Resolución
Las dos pilas tienen la misma altura ( $20 \cdot 2{,}2 = 44$ mm) y, a cualquier altura, la sección es una moneda: un círculo del mismo tamaño. Por el principio de Cavalieri, las dos tienen el mismo volumen.

Lo calculamos con la pila recta (un cilindro): $r = 25{,}75 : 2 = 12{,}875$ mm. $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 12{,}875^2 \cdot 44 \approx 22\,913{,}8\ \text{mm}^3 \approx 22{,}91\ \text{cm}^3$ ( $1\ \text{cm}^3 = 1000\ \text{mm}^3$ ).
Ejemplo 2. Una bola de petanca numérico (esfera)
Una bola de petanca mide unos 7,4 cm de diámetro. ¿Qué volumen ocupa? Redondea a centésimas.

Resolución
$r = 7{,}4 : 2 = 3{,}7$ cm. $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3{,}7^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 50{,}653 \approx 212{,}17\ \text{cm}^3$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula el volumen de: a) una esfera de 4,5 cm de radio; b) una semiesfera de 3 dm de radio, en litros. Da los resultados exactos y redondeados a centésimas.

Ver solución
a) 121,5π ≈ 381,70 cm³; b) 18π ≈ 56,55 L
a) $V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 4{,}5^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 91{,}125 = 121{,}5\pi \approx 381{,}70\ \text{cm}^3$ . b) $V = \dfrac{2}{3}\pi \cdot 3^3 = 18\pi \approx 56{,}55\ \text{dm}^3 = 56{,}55\ \text{L}$ .
2. Media
Un prisma oblicuo tiene como base un rectángulo de 4 cm × 5 cm. Sus aristas laterales miden 10 cm, pero están inclinadas, de forma que la distancia entre las bases es de 8 cm. a) Calcula su volumen. b) ¿Qué volumen tendría un prisma recto con la misma base y aristas laterales de 10 cm?

Ver solución
a) 160 cm³; b) 200 cm³
a) Por Cavalieri, $V = A_B \cdot h = 4 \cdot 5 \cdot 8 = 160\ \text{cm}^3$ (la altura es 8 cm, no 10). b) En el prisma recto la arista lateral es la altura: $V = 20 \cdot 10 = 200\ \text{cm}^3$ .
3. Media
Una esfera tiene un volumen de $4{,}5\pi\ \text{cm}^3$ . ¿Cuál es su radio?

Ver solución
r = 1,5 cm
$\dfrac{4}{3}\pi r^3 = 4{,}5\pi \Rightarrow r^3 = \dfrac{3 \cdot 4{,}5}{4} = 3{,}375 \Rightarrow r = \sqrt[3]{3{,}375} = 1{,}5$ cm.

Para practicar más

1. Fácil
Un cuenco tiene forma de semiesfera de 16 cm de diámetro interior. ¿Cuántos litros caben? Redondea a centésimas de litro.

Ver solución
1024π/3 ≈ 1072,33 cm³ ≈ 1,07 L
$r = 8$ cm. $V = \dfrac{2}{3}\pi \cdot 8^3 = \dfrac{1024}{3}\pi \approx 1072{,}33\ \text{cm}^3 \approx 1{,}07\ \text{L}$ .
2. Media
Si el radio de una esfera se duplica, ¿por cuánto se multiplica su volumen? ¿Y su área? Compruébalo con esferas de 1 cm y 2 cm de radio.

Ver solución
El volumen ×8; el área ×4
Radio 1: $V = \frac{4}{3}\pi$ , $A = 4\pi$ . Radio 2: $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi$ , $A = 4\pi \cdot 4 = 16\pi$ . El volumen se multiplica por $2^3 = 8$ y el área por $2^2 = 4$ .
3. Difícil
Una pila de 30 CD está torcida. Cada CD mide 12 cm de diámetro, tiene un agujero central de 1,5 cm de diámetro y un grosor de 1,2 mm. ¿Qué volumen de plástico hay en la pila? Redondea a centésimas.

Ver solución
≈ 400,79 cm³
Por Cavalieri, la pila torcida tiene el mismo volumen que la recta: un cilindro con un agujero cilíndrico. Altura: $30 \cdot 0{,}12 = 3{,}6$ cm. Radios: 6 cm y 0,75 cm. $V = \pi(6^2 - 0{,}75^2) \cdot 3{,}6 = \pi \cdot 35{,}4375 \cdot 3{,}6 \approx 127{,}58\pi \approx 400{,}79\ \text{cm}^3$ .