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Matemáticas 3.º ESO · Volúmenes de cuerpos geométricos. Troncos

Volumen de troncos de pirámide y de cono. Problemas inversos

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el volumen de troncos de pirámide y de cono (como diferencia de dos cuerpos o con su fórmula) y resolver problemas inversos: hallar la altura o el radio conocido el volumen.

Explicación

Volumen de un tronco

Un tronco de cono (o de pirámide) es lo que queda al cortar un cono (o una pirámide) por un plano paralelo a la base. Su volumen es: $V_{\text{tronco}} = V_{\text{cono grande}} - V_{\text{cono pequeño}}$

Cómo hallar la altura del cono completo (Tales)

Si cortamos por un plano vertical que pase por el eje, se ven dos triángulos rectángulos semejantes: el del cono grande (catetos $H$ y $R$ ) y el del cono pequeño que se quita (catetos $H - h$ y $r$ ), donde $h$ es la altura del tronco. Por tanto: $\frac{r}{R} = \frac{H - h}{H}$ De aquí se despeja $H$ . En el tronco de pirámide se hace igual con los lados (o las apotemas) de las bases.

Fórmulas directas (para comprobar)

$V_{\text{tronco de cono}} = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + r^2 + R \cdot r\right) \qquad V_{\text{tronco de pirámide}} = \frac{h}{3}\left(A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b}\right)$

Problemas inversos

Si conocemos el volumen, despejamos la medida que falta:

Altura de un prisma o cilindro: $h = \dfrac{V}{A_B}$ ; de una pirámide o cono: $h = \dfrac{3V}{A_B}$ .
Radio de un cilindro: $r = \sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}$ ; de una esfera: $r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}$ .

Puntos clave

Tronco = cuerpo completo − cuerpo pequeño que se quita.
La altura del cuerpo completo se obtiene por semejanza: $\dfrac{r}{R} = \dfrac{H - h}{H}$ .
Tronco de cono: $V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr)$ .
Problemas inversos: escribe la fórmula, sustituye lo conocido y despeja (raíz cuadrada para el radio de un cilindro o cono; cúbica para una esfera).

Errores frecuentes

ErrorCalcular el tronco como un cono de radio la media de los radios.
Cómo corregirloNo es exacto: calcula la diferencia de los dos conos o usa la fórmula del tronco.
ErrorUsar la altura del tronco $h$ como altura del cono grande.
Cómo corregirloEl cono grande mide $H$ , más que $h$ : hállalo con la semejanza antes de restar.
ErrorEn los problemas inversos, olvidar el 3 de pirámides y conos al despejar.
Cómo corregirloDespeja paso a paso: $V = \frac{1}{3}A_B h \Rightarrow 3V = A_B h \Rightarrow h = \frac{3V}{A_B}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un cubo de fregar situación real (tronco de cono por diferencia)
Un cubo de fregar tiene forma de tronco de cono: la boca mide 32 cm de diámetro, el fondo 24 cm y la altura 24 cm. ¿Cuántos litros caben? Redondea a centésimas.

Resolución
1. Radios: $R = 16$ cm (boca), $r = 12$ cm (fondo); altura del tronco $h = 24$ cm.
2. Completamos el cono (vértice hacia abajo). Por semejanza: $\frac{12}{16} = \frac{H - 24}{H} \Rightarrow 12H = 16H - 384 \Rightarrow H = 96\ \text{cm}$ El cono pequeño que sobra mide $96 - 24 = 72$ cm de altura.
3. Volumen del tronco: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 16^2 \cdot 96 - \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 72 = 8192\pi - 3456\pi = 4736\pi \approx 14\,878{,}58\ \text{cm}^3$
4. En litros: $V \approx 14{,}88\ \text{L}$ .
Comprobación con la fórmula: $\dfrac{\pi \cdot 24}{3}(16^2 + 12^2 + 16 \cdot 12) = 8\pi \cdot 592 = 4736\pi$ . ✔
Ejemplo 2. El pedestal de una estatua numérico (tronco de pirámide, dos métodos)
El pedestal de hormigón de una estatua en un parque tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La base de abajo mide 1,2 m de lado, la de arriba 0,8 m y la altura 0,9 m. ¿Cuántos metros cúbicos de hormigón tiene?

Resolución
Con la fórmula: $A_B = 1{,}2^2 = 1{,}44\ \text{m}^2$ ; $A_b = 0{,}8^2 = 0{,}64\ \text{m}^2$ ; $\sqrt{1{,}44 \cdot 0{,}64} = 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ . $V = \frac{0{,}9}{3}(1{,}44 + 0{,}64 + 0{,}96) = 0{,}3 \cdot 3{,}04 = 0{,}912\ \text{m}^3$ Por diferencia: $\dfrac{0{,}8}{1{,}2} = \dfrac{H - 0{,}9}{H} \Rightarrow H = 2{,}7$ m; la pirámide pequeña mide $1{,}8$ m. $V = \frac{1{,}44 \cdot 2{,}7}{3} - \frac{0{,}64 \cdot 1{,}8}{3} = 1{,}296 - 0{,}384 = 0{,}912\ \text{m}^3$
Ejemplo 3. Diseñar una lata de 1 litro problema inverso
Una empresa quiere fabricar latas cilíndricas de 1 L. a) Si el diámetro es de 8 cm, ¿qué altura deben tener? b) Si la altura es de 10 cm, ¿qué radio deben tener? Redondea a centésimas.

Resolución
$1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3$ .

a) $r = 4$ cm. $\pi \cdot 4^2 \cdot h = 1000 \Rightarrow h = \dfrac{1000}{16\pi} \approx 19{,}89$ cm.

b) $\pi r^2 \cdot 10 = 1000 \Rightarrow r^2 = \dfrac{1000}{10\pi} \approx 31{,}83 \Rightarrow r = \sqrt{31{,}83} \approx 5{,}64$ cm.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Un tronco de cono tiene 6 cm y 3 cm de radio en sus bases y 4 cm de altura. Calcula su volumen por diferencia de conos y comprueba con la fórmula. Da el resultado exacto y redondeado a centésimas.

Ver solución
84π ≈ 263,89 cm³
$\dfrac{3}{6} = \dfrac{H - 4}{H} \Rightarrow 3H = 6H - 24 \Rightarrow H = 8$ cm; el cono pequeño mide 4 cm. $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 - \dfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 96\pi - 12\pi = 84\pi \approx 263{,}89\ \text{cm}^3$ . Fórmula: $\dfrac{4\pi}{3}(36 + 9 + 18) = \dfrac{4\pi}{3} \cdot 63 = 84\pi$ . ✔
2. Media
Calcula el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases miden 10 cm y 4 cm de lado y cuya altura es 6 cm.

Ver solución
312 cm³
$A_B = 100$ , $A_b = 16$ , $\sqrt{100 \cdot 16} = 40$ . $V = \dfrac{6}{3}(100 + 16 + 40) = 2 \cdot 156 = 312\ \text{cm}^3$ . (Por diferencia: $H = 10$ cm, pirámide pequeña de 4 cm; $\dfrac{100 \cdot 10}{3} - \dfrac{16 \cdot 4}{3} = \dfrac{936}{3} = 312$ .)
3. Media
Una flanera tiene forma de tronco de cono de 10 cm de diámetro en la boca, 8 cm de diámetro en el fondo y 6 cm de altura. ¿Cuántas flaneras se pueden llenar del todo con 1,5 L de mezcla?

Ver solución
Cada una ≈ 383,27 cm³; se llenan 3
$R = 5$ , $r = 4$ , $h = 6$ . $V = \dfrac{\pi \cdot 6}{3}(25 + 16 + 20) = 2\pi \cdot 61 = 122\pi \approx 383{,}27\ \text{cm}^3$ . $1500 : 383{,}27 \approx 3{,}91$ : se llenan 3 flaneras del todo (y sobra mezcla para casi otra).
4. Difícil
Un tronco de cono tiene radios de 5 cm y 2 cm y un volumen de $78\pi\ \text{cm}^3$ . ¿Cuál es su altura?

Ver solución
h = 6 cm
$\dfrac{\pi h}{3}(25 + 4 + 10) = 78\pi \Rightarrow \dfrac{39h}{3} = 78 \Rightarrow 13h = 78 \Rightarrow h = 6$ cm.

Para practicar más

1. Media
Un tronco de pirámide tiene como bases dos rectángulos semejantes: el de abajo mide 12 cm × 8 cm y el de arriba 6 cm × 4 cm. Su altura es 9 cm. Calcula su volumen de las dos formas.

Ver solución
504 cm³
Fórmula: $A_B = 96$ , $A_b = 24$ , $\sqrt{96 \cdot 24} = \sqrt{2304} = 48$ . $V = \dfrac{9}{3}(96 + 24 + 48) = 3 \cdot 168 = 504\ \text{cm}^3$ . Diferencia: $\dfrac{6}{12} = \dfrac{H - 9}{H} \Rightarrow H = 18$ cm. $V = \dfrac{96 \cdot 18}{3} - \dfrac{24 \cdot 9}{3} = 576 - 72 = 504\ \text{cm}^3$ .
2. Media
Una cubitera para enfriar bebidas tiene forma de tronco de cono: 24 cm de diámetro en la boca, 18 cm en el fondo y 20 cm de altura. ¿Caben 6 L de agua con hielo?

Ver solución
Sí: caben 2220π ≈ 6974 cm³ ≈ 6,97 L
$R = 12$ , $r = 9$ , $h = 20$ . $V = \dfrac{20\pi}{3}(144 + 81 + 108) = \dfrac{20\pi}{3} \cdot 333 = 2220\pi \approx 6974{,}34\ \text{cm}^3 \approx 6{,}97\ \text{L}$ . Sí caben 6 L.
3. Media
a) Un depósito cilíndrico de 2 m de altura debe almacenar 5000 L. ¿Qué radio debe tener? Redondea a centímetros. b) Una pirámide cuadrangular de 15 cm de altura tiene un volumen de 720 cm³. ¿Cuánto mide el lado de su base?

Ver solución
a) r ≈ 0,89 m (89 cm); b) 12 cm
a) $5000\ \text{L} = 5\ \text{m}^3$ . $\pi r^2 \cdot 2 = 5 \Rightarrow r^2 = \dfrac{5}{2\pi} \approx 0{,}7958 \Rightarrow r \approx 0{,}89$ m. b) $\dfrac{1}{3}A_B \cdot 15 = 720 \Rightarrow A_B = \dfrac{3 \cdot 720}{15} = 144\ \text{cm}^2 \Rightarrow l = \sqrt{144} = 12$ cm.
4. Difícil
Un vaso cónico de papel de una fuente de agua mide 7 cm de diámetro en la boca y 9 cm de altura. Se llena de agua solo hasta la mitad de su altura. a) ¿Qué fracción del vaso ocupa el agua? b) ¿Cuántos mililitros son? Redondea a centésimas. (Pista: el agua forma un cono semejante al vaso.)

Ver solución
a) 1/8; b) ≈ 14,43 mL (el vaso entero ≈ 115,45 mL)
a) El agua forma un cono de altura y radio la mitad que el vaso: su volumen es $\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}$ del vaso. b) Vaso: $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 3{,}5^2 \cdot 9 = 36{,}75\pi \approx 115{,}45\ \text{cm}^3$ . Agua: $\dfrac{36{,}75\pi}{8} \approx 14{,}43\ \text{cm}^3 = 14{,}43\ \text{mL}$ . (Directamente: $\dfrac{1}{3}\pi \cdot 1{,}75^2 \cdot 4{,}5 \approx 14{,}43$ .)