Recuerda: volumen de cuerpos compuestos

Recuerda

Errores frecuentes

• ErrorUsar la altura total del objeto en cada una de las partes.

  Cómo corregirloCada cuerpo simple tiene su altura: en un silo, la del cilindro y la del tejado son distintas.

• ErrorOlvidar restar un agujero o un hueco interior.

  Cómo corregirloPregúntate qué parte del cuerpo está vacía: un tubo, una jardinera o una pieza agujereada llevan resta.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Un silo de cereal situación real (suma de cuerpos)

   Un silo de cereal está formado por un cilindro de 3 m de radio y 10 m de altura con un tejado en forma de cono de 2 m de altura y el mismo radio. ¿Qué volumen tiene? Redondea a centésimas.

   Resolución

   1. Cilindro: $V_1 = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi\ \text{m}^3$.
   2. Cono (tejado): $V_2 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 2 = 6\pi\ \text{m}^3$.
   3. Total: $V = 90\pi + 6\pi = 96\pi \approx 301{,}59\ \text{m}^3$.

2. Ejemplo 2. Una pieza agujereada numérico (resta de un hueco)

   Una pieza de madera de un juego de construcción es un cubo de 6 cm de arista con un agujero cilíndrico de 2 cm de diámetro que lo atraviesa de una cara a la opuesta. ¿Cuánta madera tiene? Redondea a centésimas.

   Resolución

   1. Cubo: $6^3 = 216\ \text{cm}^3$.
   2. Agujero (cilindro de radio 1 cm y altura 6 cm, lo que mide el cubo): $\pi \cdot 1^2 \cdot 6 = 6\pi\ \text{cm}^3$.
   3. Madera: $V = 216 - 6\pi \approx 197{,}15\ \text{cm}^3$.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Una caseta de jardín tiene forma de ortoedro de 3 m de largo, 2 m de ancho y 2 m de alto, con un tejado a dos aguas: un prisma triangular cuya sección es un triángulo de 2 m de base y 1 m de altura, y que mide 3 m de largo. ¿Cuál es el volumen de la caseta?

   Ver solución

   15 m³

   Ortoedro: $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\ \text{m}^3$. Tejado: $A_B = \dfrac{2 \cdot 1}{2} = 1\ \text{m}^2$; $V = 1 \cdot 3 = 3\ \text{m}^3$. Total: $12 + 3 = 15\ \text{m}^3$.

2. 2. Fácil

   Un cohete de juguete está formado por un cilindro de 2 cm de radio y 12 cm de altura y una punta cónica de 3 cm de altura con el mismo radio. Calcula su volumen (exacto y redondeado a centésimas).

   Ver solución

   52π ≈ 163,36 cm³

   Cilindro: $\pi \cdot 4 \cdot 12 = 48\pi$. Cono: $\dfrac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 3 = 4\pi$. Total: $52\pi \approx 163{,}36\ \text{cm}^3$.

3. 3. Media

   Un tubo de hormigón para un desagüe mide 2 m de largo; su radio exterior es de 5 cm y el interior de 4 cm. ¿Qué volumen de hormigón tiene? Redondea a centésimas.

   Ver solución

   1800π ≈ 5654,87 cm³

   Es un cilindro grande menos el hueco: $V = \pi \cdot 5^2 \cdot 200 - \pi \cdot 4^2 \cdot 200 = \pi(25 - 16) \cdot 200 = 1800\pi \approx 5654{,}87\ \text{cm}^3$ (unos 5,65 L).

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Un podio de los Juegos Escolares de Madrid está formado por tres ortoedros pegados, todos de 80 cm de ancho y 60 cm de fondo, con alturas de 50 cm (primer puesto), 35 cm (segundo) y 25 cm (tercero). ¿Qué volumen tiene el podio en metros cúbicos?

   Ver solución

   0,528 m³

   $0{,}8 \cdot 0{,}6 \cdot (0{,}5 + 0{,}35 + 0{,}25) = 0{,}48 \cdot 1{,}1 = 0{,}528\ \text{m}^3$.

2. 2. Media

   Una jardinera de hormigón tiene forma de ortoedro de 1 m × 0,4 m × 0,4 m por fuera. Las paredes y el fondo tienen 5 cm de grosor. a) ¿Cuántos litros de tierra caben? b) ¿Qué volumen de hormigón tiene?

   Ver solución

   a) 94,5 L; b) 0,0655 m³ = 65,5 L

   Hueco interior: largo $100 - 10 = 90$ cm, ancho $40 - 10 = 30$ cm, alto $40 - 5 = 35$ cm (el fondo solo está abajo). a) $90 \cdot 30 \cdot 35 = 94\,500\ \text{cm}^3 = 94{,}5\ \text{L}$. b) Exterior: $100 \cdot 40 \cdot 40 = 160\,000\ \text{cm}^3$. Hormigón: $160\,000 - 94\,500 = 65\,500\ \text{cm}^3 = 0{,}0655\ \text{m}^3$.

3. 3. Media

   Una cápsula de un medicamento tiene forma de cilindro de 8 mm de diámetro y 12 mm de largo con una semiesfera en cada extremo. Calcula su volumen en $\text{mm}^3$. Recuerda: $V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.

   Ver solución

   832π/3 ≈ 871,27 mm³

   $r = 4$ mm. Cilindro: $\pi \cdot 16 \cdot 12 = 192\pi$. Las dos semiesferas forman una esfera: $\dfrac{4}{3}\pi \cdot 64 = \dfrac{256}{3}\pi$. Total: $192\pi + \dfrac{256}{3}\pi = \dfrac{832}{3}\pi \approx 871{,}27\ \text{mm}^3$.