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← U12 · Cuerpos geométricos: áreas y volúmenes

Matemáticas 3.º ESO · Áreas de cuerpos geométricos. Troncos

Recuerda: área de prismas y cilindros

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el área lateral y total de prismas y cilindros a partir de su desarrollo plano.

Recuerda

El área de un cuerpo

El área de un cuerpo es el área de su desarrollo plano: la suma de las áreas de todas sus caras o superficies. Se mide en unidades cuadradas ( $\text{cm}^2$ , $\text{dm}^2$ , $\text{m}^2$ …).

Área lateral ( $A_L$ ): la de las caras laterales (o la superficie curva).
Área de la base ( $A_B$ ).
Área total ( $A_T$ ): la lateral más la de las bases.

Prisma recto

Su desarrollo es una tira de rectángulos y dos bases. La tira tiene de largo el perímetro de la base y de alto la altura del prisma: $A_L = P_{\text{base}} \cdot h \qquad A_T = A_L + 2 \cdot A_B$

Ortoedro de aristas $a$ , $b$ , $c$ : tiene tres parejas de rectángulos iguales: $A_T = 2(ab + ac + bc)$ .
Cubo de arista $a$ : seis cuadrados iguales: $A_T = 6a^2$ .
Si la base es un polígono regular: $A_B = \dfrac{P \cdot a_b}{2}$ ( $a_b$ = apotema de la base).
Si la base es un triángulo (u otro polígono), calcula su área con la fórmula correspondiente; a veces hace falta Pitágoras para hallar algún lado o alguna altura.

Cilindro

Su desarrollo es un rectángulo de base $2\pi r$ (la longitud de la circunferencia) y altura $h$ , y dos círculos de radio $r$ : $A_L = 2\pi r h \qquad A_T = 2\pi r h + 2\pi r^2$

Lee bien qué se pide

Un recipiente abierto (una piscina, un vaso) tiene una sola base.
Para la etiqueta de una lata solo cuenta el área lateral.
Lo que está apoyado en el suelo o pegado a una pared no se pinta.

Da los resultados en unidades cuadradas. Con $\pi$ , puedes dar el resultado exacto (por ejemplo, $44\pi\ \text{cm}^2$ ) o aproximado, diciendo a qué cifra redondeas.

Puntos clave

Área de un cuerpo = área de su desarrollo plano.
Prisma recto: $A_L = P_{\text{base}} \cdot h$ ; $A_T = A_L + 2A_B$ .
Ortoedro: $A_T = 2(ab + ac + bc)$ ; cubo: $A_T = 6a^2$ .
Polígono regular: $A = \dfrac{P \cdot a_b}{2}$ .
Cilindro: $A_L = 2\pi r h$ ; $A_T = 2\pi r h + 2\pi r^2$ .
Lee bien qué se pide: a veces solo hace falta el área lateral o una sola base (recipientes abiertos).

Errores frecuentes

ErrorUsar el diámetro en lugar del radio en las fórmulas del cilindro.
Cómo corregirloSi el dato es el diámetro, divídelo entre 2 antes de sustituir.
ErrorSumar una sola base en el área total del prisma o del cilindro.
Cómo corregirloUn prisma y un cilindro tienen dos bases: $A_T = A_L + 2A_B$ (salvo que el recipiente esté abierto).
ErrorEscribir el área en cm en vez de en cm².
Cómo corregirloLas áreas se miden en unidades cuadradas: $\text{cm}^2$ , $\text{m}^2$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una caja de lápices de colores numérico (prisma regular)
Una caja de lápices de colores tiene forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide 4 cm, la apotema de la base 3,46 cm y la altura 15 cm. ¿Cuánto cartón hace falta para fabricarla (sin solapas)?

Resolución
- Perímetro de la base: $P = 6 \cdot 4 = 24$ cm.
- Área lateral: $A_L = P \cdot h = 24 \cdot 15 = 360\ \text{cm}^2$ .
- Área de una base: $A_B = \dfrac{P \cdot a_b}{2} = \dfrac{24 \cdot 3{,}46}{2} = 41{,}52\ \text{cm}^2$ .
- Área total: $A_T = 360 + 2 \cdot 41{,}52 = 443{,}04\ \text{cm}^2$ .
Hacen falta unos 443 cm² de cartón.
Ejemplo 2. Una lata de refresco situación real (cilindro)
Una lata de refresco de 33 cL tiene aproximadamente 6,6 cm de diámetro y 11,5 cm de altura. Considerándola un cilindro, calcula el área de la etiqueta (superficie lateral) y el área total de aluminio. Redondea a centésimas.

Resolución
Radio: $r = 6{,}6 : 2 = 3{,}3$ cm.
- Área lateral: $A_L = 2\pi r h = 2\pi \cdot 3{,}3 \cdot 11{,}5 = 75{,}9\pi \approx 238{,}45\ \text{cm}^2$ .
- Dos bases: $2\pi r^2 = 2\pi \cdot 3{,}3^2 = 21{,}78\pi \approx 68{,}42\ \text{cm}^2$ .
- Área total: $A_T = 97{,}68\pi \approx 306{,}87\ \text{cm}^2$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una caja de zapatos (con tapa) tiene forma de ortoedro de 30 cm × 18 cm × 11 cm. ¿Cuánto cartón tiene?

Ver solución
2136 cm²
$A_T = 2 \cdot (30 \cdot 18 + 30 \cdot 11 + 18 \cdot 11) = 2 \cdot (540 + 330 + 198) = 2 \cdot 1068 = 2136\ \text{cm}^2$ .
2. Fácil
Un bote de patatas fritas es un cilindro de 7,5 cm de diámetro y 23 cm de altura. ¿Qué área tiene la etiqueta que lo rodea por completo? Redondea a centésimas.

Ver solución
172,5π ≈ 541,92 cm²
$r = 3{,}75$ cm. $A_L = 2\pi r h = 2\pi \cdot 3{,}75 \cdot 23 = 172{,}5\pi \approx 541{,}92\ \text{cm}^2$ .
3. Media
El área total de un cubo es 150 cm². ¿Cuánto mide su arista?

Ver solución
5 cm
Un cubo tiene 6 caras cuadradas iguales: $6a^2 = 150 \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$ cm.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula el área total de un prisma triangular regular de 6 cm de arista de la base y 20 cm de altura. Redondea a centésimas.

Ver solución
360 + 18√3 ≈ 391,18 cm²
Altura del triángulo equilátero (Pitágoras): $\sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} \approx 5{,}20$ cm. Área de una base: $\dfrac{6 \cdot \sqrt{27}}{2} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59\ \text{cm}^2$ . Área lateral: $A_L = 18 \cdot 20 = 360\ \text{cm}^2$ . Área total: $A_T = 360 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 360 + 18\sqrt{3} \approx 391{,}18\ \text{cm}^2$ .
2. Media
Un depósito de agua de una urbanización de Alcobendas es un cilindro de 1,5 m de radio y 4 m de altura que está apoyado en el suelo. Se quiere pintar por fuera la superficie lateral y la tapa superior. ¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar? Redondea a centésimas.

Ver solución
14,25π ≈ 44,77 m²
Lateral: $2\pi \cdot 1{,}5 \cdot 4 = 12\pi\ \text{m}^2$ . Tapa: $\pi \cdot 1{,}5^2 = 2{,}25\pi\ \text{m}^2$ . La base apoyada no se pinta. Total: $12\pi + 2{,}25\pi = 14{,}25\pi \approx 44{,}77\ \text{m}^2$ .
3. Media
Un cilindro de 5 cm de radio tiene un área total de $100\pi\ \text{cm}^2$ . ¿Cuál es su altura?

Ver solución
5 cm
$A_T = 2\pi r h + 2\pi r^2$ : $100\pi = 2\pi \cdot 5 \cdot h + 2\pi \cdot 25 = 10\pi h + 50\pi$ . Dividiendo entre $\pi$ : $100 = 10h + 50 \Rightarrow h = 5$ cm.