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Matemáticas 3.º ESO · Planos y ejes de simetría de los poliedros

Ejes de giro de los poliedros

Objetivo: Al terminar, sabrás identificar los ejes de giro de prismas, pirámides y poliedros regulares y calcular su orden y el ángulo de giro correspondiente.

Explicación

Ejes de giro

Una recta es un eje de giro (o de rotación) de un cuerpo si al girar el cuerpo alrededor de ella menos de una vuelta completa vuelve a ocupar exactamente la misma posición.

El orden del eje es el número de veces que el cuerpo coincide consigo mismo en una vuelta completa. Si el eje es de orden $n$ , el menor ángulo de giro que lo deja igual es $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$

Por ejemplo, un eje de orden 4 deja el cuerpo igual al girarlo $90^\circ$ , $180^\circ$ , $270^\circ$ y $360^\circ$ .

Ejes de giro de prismas y pirámides

Pirámide regular de base con $n$ lados: 1 eje de orden $n$ (la recta de la altura).
Prisma regular de base con $n$ lados (que no sea un cubo): 1 eje de orden $n$ (une los centros de las bases) y $n$ ejes de orden 2, perpendiculares a él a media altura (pasan por centros de caras laterales o por puntos medios de aristas laterales).
Ortoedro con sus tres dimensiones distintas: 3 ejes de orden 2 (unen los centros de caras opuestas).
Cilindro, cono y esfera: su eje (o cualquier diámetro, en la esfera) deja el cuerpo igual con cualquier ángulo de giro.

Ejes de giro de los poliedros regulares

Los ejes pasan por los centros de dos caras opuestas, por dos vértices opuestos o por los puntos medios de dos aristas opuestas:

Poliedro	Orden 5	Orden 4	Orden 3	Orden 2	Planos de simetría
Tetraedro	—	—	4 (vértice y centro de la cara opuesta)	3 (aristas opuestas)	6
Cubo	—	3 (caras)	4 (vértices)	6 (aristas)	9
Octaedro	—	3 (vértices)	4 (caras)	6 (aristas)	9
Dodecaedro	6 (caras)	—	10 (vértices)	15 (aristas)	15
Icosaedro	6 (vértices)	—	10 (caras)	15 (aristas)	15

Los poliedros duales (cubo y octaedro; dodecaedro e icosaedro) tienen los mismos ejes y planos de simetría.

Puntos clave

Eje de giro de orden $n$ : el cuerpo coincide consigo mismo $n$ veces en una vuelta; el menor ángulo es $360^\circ/n$ .
Pirámide regular de $n$ lados: 1 eje de orden $n$ .
Prisma regular de $n$ lados (no cubo): 1 eje de orden $n$ y $n$ ejes de orden 2.
Cubo: 3 ejes de orden 4, 4 de orden 3 y 6 de orden 2 (13 en total).
Tetraedro: 4 ejes de orden 3 y 3 de orden 2. Dodecaedro e icosaedro: 6 de orden 5, 10 de orden 3 y 15 de orden 2.

Errores frecuentes

ErrorConfundir el orden del eje con el ángulo de giro.
Cómo corregirloEl orden es cuántas veces coincide en una vuelta; el ángulo es $360^\circ$ dividido entre el orden (orden 4 → $90^\circ$ ).
ErrorContar dos ejes por cada par de caras (o vértices) opuestos.
Cómo corregirloUn eje es una recta: la que pasa por el centro de una cara pasa también por el de la opuesta. Se cuentan los pares, no las caras.
ErrorPensar que los ejes que unen vértices opuestos del cubo son de orden 4.
Cómo corregirloAlrededor de un vértice del cubo hay 3 caras: al girar, coinciden cada $120^\circ$ . Son de orden 3.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Girar un dado experimental (ejes del cubo)
Sujeta un dado entre dos dedos y gíralo de tres formas: a) por los centros de dos caras opuestas; b) por dos vértices opuestos; c) por los puntos medios de dos aristas opuestas. ¿Cuál es el menor ángulo que lo deja en una posición que «parece la misma» (sin mirar los puntos)? ¿De qué orden es cada eje y cuántos ejes hay de cada tipo?

Resolución
a) Alrededor del eje que une los centros de dos caras se ven 4 caras laterales iguales: coincide cada $90^\circ$ . Orden 4. Hay 3 pares de caras opuestas: 3 ejes. b) Alrededor de un vértice concurren 3 caras: coincide cada $120^\circ$ . Orden 3. Hay $8 : 2 = 4$ pares de vértices opuestos: 4 ejes (las diagonales del cubo). c) Por los puntos medios de dos aristas opuestas: hay que dar media vuelta, $180^\circ$ . Orden 2. Hay $12 : 2 = 6$ pares de aristas opuestas: 6 ejes.

En total, el cubo tiene $3 + 4 + 6 = 13$ ejes de giro.
Ejemplo 2. Una tuerca hexagonal geométrico (ejes de un prisma)
Una tuerca tiene forma de prisma hexagonal regular (con un agujero cilíndrico en el centro que no cambia sus simetrías). ¿Qué ejes de giro tiene y de qué orden?

Resolución
- El eje que pasa por el centro del agujero (une los centros de las bases): al girar $60^\circ$ la tuerca coincide consigo misma. 1 eje de orden 6 ( $360^\circ : 60^\circ = 6$ ).
- Ejes perpendiculares a él, a media altura, que dejan la tuerca igual al darle media vuelta (le dan la vuelta «boca abajo»): 3 pasan por los centros de dos caras laterales opuestas y 3 por los puntos medios de dos aristas laterales opuestas. 6 ejes de orden 2.
Total: 7 ejes de giro.
Ejemplo 3. Un tetraedro de construcción geométrico (ejes del tetraedro)
Una pieza de un juego de construcción tiene forma de tetraedro regular. Describe sus ejes de giro.

Resolución
- Eje que pasa por un vértice y el centro de la cara opuesta: alrededor del vértice hay 3 caras, coincide cada $120^\circ$ : orden 3. Hay uno por vértice: 4 ejes.
- Eje que pasa por los puntos medios de dos aristas opuestas (que no se tocan): coincide al dar media vuelta: orden 2. Las 6 aristas forman 3 pares: 3 ejes.
El tetraedro no tiene caras opuestas a caras ni vértices opuestos a vértices: cada vértice está frente a una cara.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Completa la tabla:

Orden del eje 2 3 4 5 6

Menor ángulo de giro

Ver solución
180°, 120°, 90°, 72°, 60°.
$\alpha = 360^\circ / n$ : $360 : 2 = 180^\circ$ ; $360 : 3 = 120^\circ$ ; $360 : 4 = 90^\circ$ ; $360 : 5 = 72^\circ$ ; $360 : 6 = 60^\circ$ .
2. Fácil
¿Qué ejes de giro tiene una pirámide cuadrangular regular? ¿Y una hexagonal regular? ¿Por qué no tienen ejes de orden 2 horizontales?

Ver solución
Cuadrangular: 1 eje de orden 4. Hexagonal: 1 eje de orden 6. No tienen ejes horizontales porque al darles la vuelta la cúspide quedaría abajo.
Ambas tienen solo el eje de la altura: de orden 4 la cuadrangular (coincide cada $90^\circ$ ) y de orden 6 la hexagonal (cada $60^\circ$ ). Un eje horizontal de orden 2 le daría la vuelta: la cúspide pasaría abajo y la base arriba, y la pirámide no coincidiría consigo misma.
3. Media
Un ladrillo tiene forma de ortoedro de 24 cm × 11,5 cm × 5 cm. ¿Qué ejes de giro tiene? ¿Por qué ninguno es de orden 4?

Ver solución
3 ejes de orden 2.
Cada eje que une los centros de dos caras opuestas deja el ladrillo igual al girar $180^\circ$ : 3 ejes de orden 2. No hay ejes de orden 4 porque las caras son rectángulos, no cuadrados: al girar $90^\circ$ el lado largo se pondría donde estaba el corto.
4. Media
Una caja de bombones tiene forma de prisma triangular regular. Describe sus ejes de giro y su orden.
Ver solución
1 eje de orden 3 y 3 ejes de orden 2.
- El eje que une los centros de las dos bases triangulares: coincide cada $120^\circ$ : orden 3.
- A media altura hay 3 ejes de orden 2: cada uno pasa por el punto medio de una arista lateral y el centro de la cara lateral opuesta (al darle media vuelta, la caja queda igual).
5. Difícil
Describe los ejes de giro del octaedro (cuántos hay de cada orden y por dónde pasan) y compáralos con los del cubo.
Ver solución
3 de orden 4 (vértices opuestos), 4 de orden 3 (caras opuestas), 6 de orden 2 (aristas opuestas): los mismos números que el cubo.
- En cada vértice del octaedro concurren 4 caras: los ejes que unen vértices opuestos son de orden 4; hay $6 : 2 = 3$ .
- Las caras son triángulos: los ejes que unen los centros de caras opuestas son de orden 3; hay $8 : 2 = 4$ .
- Los ejes por los puntos medios de aristas opuestas son de orden 2; hay $12 : 2 = 6$ .
Tiene los mismos ejes que el cubo, pero intercambiando caras y vértices: son poliedros duales.

Para practicar más

1. Fácil
Describe los ejes de giro de un prisma pentagonal regular.

Ver solución
1 eje de orden 5 y 5 ejes de orden 2.
El eje que une los centros de las bases es de orden 5 (coincide cada $72^\circ$ ). A media altura hay 5 ejes de orden 2, cada uno por el punto medio de una arista lateral y el centro de la cara lateral opuesta.
2. Fácil
Una lata de conservas tiene forma de cilindro. ¿Qué ángulos de giro alrededor de su eje la dejan igual? ¿Tiene otros ejes de giro?

Ver solución
Cualquier ángulo; sí, los diámetros horizontales a media altura (orden 2).
Alrededor de su eje, cualquier ángulo de giro deja la lata igual. Además, cualquier recta perpendicular al eje que pase por el centro de la lata (a media altura) es un eje de orden 2: al darle media vuelta, la lata queda igual. Hay infinitos.
3. Media
El dodecaedro tiene 12 caras pentagonales, 20 vértices (en cada uno concurren 3 caras) y 30 aristas. Sus ejes de giro pasan por centros de caras opuestas, por vértices opuestos o por puntos medios de aristas opuestas. ¿Cuántos ejes hay de cada tipo y de qué orden?
Ver solución
6 de orden 5, 10 de orden 3 y 15 de orden 2.
- Caras opuestas: $12 : 2 = 6$ ejes; las caras son pentágonos → orden 5.
- Vértices opuestos: $20 : 2 = 10$ ejes; en cada vértice hay 3 caras → orden 3.
- Aristas opuestas: $30 : 2 = 15$ ejes → orden 2.
4. Difícil
Un cubo encaja en una caja cúbica. ¿De cuántas maneras distintas se puede meter (fijándonos en qué cara queda abajo y hacia dónde mira)? Compruébalo de otra forma: cada eje de orden $n$ aporta $n - 1$ giros distintos de no girar nada; súmalos todos y añade la posición inicial.

Ver solución
24 maneras.
Cualquiera de las 6 caras puede quedar abajo, y con esa cara abajo se puede girar el cubo de 4 formas: $6 \cdot 4 = 24$ . Con los ejes: 3 ejes de orden 4 aportan $3 \cdot 3 = 9$ giros; 4 de orden 3, $4 \cdot 2 = 8$ ; 6 de orden 2, $6 \cdot 1 = 6$ . Más la posición inicial: $9 + 8 + 6 + 1 = 24$ ✔

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