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← U12 · Cuerpos geométricos: áreas y volúmenes

Matemáticas 3.º ESO · Áreas de cuerpos geométricos. Troncos

Recuerda: área de pirámides y conos

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el área lateral y total de pirámides regulares y conos, obteniendo con el teorema de Pitágoras la apotema o la generatriz cuando no son datos.

Recuerda

Área de la pirámide regular

El desarrollo de una pirámide es su base y un triángulo sobre cada lado de la base. Si la pirámide es regular, las caras laterales son triángulos isósceles iguales: su base es el lado $l$ de la base de la pirámide y su altura es la apotema de la pirámide, $ap$ (no confundir con la apotema de la base, $a_b$ ).

$A_L = n \cdot \frac{l \cdot ap}{2} = \frac{P_{\text{base}} \cdot ap}{2} \qquad A_T = A_L + A_B$

(una sola base). Si la base es un polígono regular, $A_B = \dfrac{P \cdot a_b}{2}$ .

La apotema, con Pitágoras

Si no conocemos $ap$ , la calculamos con Pitágoras en uno de estos triángulos rectángulos:

altura $h$ , apotema de la base $a_b$ y apotema de la pirámide (hipotenusa): $ap^2 = h^2 + a_b^2$ . En una pirámide cuadrangular de lado $l$ , $a_b = \dfrac{l}{2}$ ;
arista lateral $a$ (hipotenusa), mitad del lado de la base y apotema: $ap^2 = a^2 - \left(\dfrac{l}{2}\right)^2$ .

Área del cono

Su desarrollo es un sector circular de radio $g$ (la generatriz) y un círculo de radio $r$ . El sector es la fracción $\dfrac{r}{g}$ del círculo de radio $g$ , así que su área es $\pi g^2 \cdot \dfrac{r}{g} = \pi r g$ : $A_L = \pi r g \qquad A_T = \pi r g + \pi r^2$

La generatriz, la altura y el radio forman un triángulo rectángulo: $g^2 = h^2 + r^2$ .

Cómo resolver un problema

Dibuja el cuerpo y marca los datos.
Si falta la apotema o la generatriz, dibuja aparte el triángulo rectángulo y aplica Pitágoras.
Calcula el área lateral, la de la base y súmalas si te piden el área total.

Puntos clave

Pirámide regular: $A_L = \dfrac{P_{\text{base}} \cdot ap}{2}$ ; $A_T = A_L + A_B$ (una sola base).
La apotema de la pirámide se obtiene con Pitágoras: $ap^2 = h^2 + a_b^2$ o $ap^2 = a^2 - (l/2)^2$ .
Cono: $A_L = \pi r g$ ; $A_T = \pi r g + \pi r^2$ .
Generatriz del cono: $g^2 = h^2 + r^2$ .
En las fórmulas de área van la apotema y la generatriz, no la altura.

Errores frecuentes

ErrorUsar la altura de la pirámide (o del cono) en lugar de la apotema (o la generatriz).
Cómo corregirloLas caras laterales están inclinadas: su altura es $ap$ (o $g$ ), que siempre es mayor que $h$ . Calcúlala con Pitágoras.
ErrorConfundir la apotema de la pirámide con la apotema de la base.
Cómo corregirloLa de la base está en el suelo (del centro al lado); la de la pirámide sube por la cara lateral.
ErrorSumar dos bases en la pirámide o en el cono.
Cómo corregirloSolo tienen una base.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El tejado de un quiosco situación real (pirámide con Pitágoras)
El tejado de un quiosco de la Casa de Campo tiene forma de pirámide cuadrangular regular de 4 m de lado de la base y 1,5 m de altura. ¿Cuántos metros cuadrados de tejas hacen falta para cubrirlo?

Resolución
Las tejas cubren solo el área lateral. Necesitamos la apotema de la pirámide.
- Apotema de la base (cuadrado): la mitad del lado, $a_b = 2$ m.
- Pitágoras con la altura: $ap = \sqrt{1{,}5^2 + 2^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$ m.
- $A_L = \dfrac{P \cdot ap}{2} = \dfrac{16 \cdot 2{,}5}{2} = 20\ \text{m}^2$ .
Hacen falta 20 m² de tejas.
Ejemplo 2. Un gorro de cumpleaños numérico (cono)
Un gorro de cumpleaños tiene forma de cono de 8 cm de radio y 15 cm de altura. ¿Cuánta cartulina hace falta para hacerlo? Redondea a centésimas.

Resolución
El gorro no tiene base: solo el área lateral.
- Generatriz: $g = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{289} = 17$ cm.
- $A_L = \pi r g = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi \approx 427{,}26\ \text{cm}^2$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una pirámide hexagonal regular tiene 6 cm de arista de la base, 5,2 cm de apotema de la base y 10 cm de apotema de la pirámide. Calcula su área total.

Ver solución
273,6 cm²
$P = 6 \cdot 6 = 36$ cm. $A_L = \dfrac{36 \cdot 10}{2} = 180\ \text{cm}^2$ . $A_B = \dfrac{36 \cdot 5{,}2}{2} = 93{,}6\ \text{cm}^2$ . $A_T = 180 + 93{,}6 = 273{,}6\ \text{cm}^2$ .
2. Media
Calcula el área total de un cono de 5 cm de radio y 12 cm de altura. Da el resultado exacto y redondeado a centésimas.

Ver solución
90π ≈ 282,74 cm²
$g = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$ cm. $A_T = \pi r g + \pi r^2 = \pi \cdot 5 \cdot 13 + \pi \cdot 25 = 65\pi + 25\pi = 90\pi \approx 282{,}74\ \text{cm}^2$ .
3. Media
Una pirámide cuadrangular regular tiene 10 cm de arista de la base y 13 cm de arista lateral. Calcula su área total.

Ver solución
340 cm²
La apotema de la pirámide es la altura de un triángulo isósceles de lados 13, 13 y 10: $ap = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ cm. $A_L = \dfrac{40 \cdot 12}{2} = 240\ \text{cm}^2$ ; $A_B = 10^2 = 100\ \text{cm}^2$ ; $A_T = 340\ \text{cm}^2$ .

Para practicar más

1. Fácil
Un embudo tiene forma de cono (sin base) de 6 cm de radio y 10 cm de generatriz. ¿Qué área tiene? ¿Cuál es su altura?

Ver solución
60π ≈ 188,50 cm²; altura 8 cm.
$A_L = \pi r g = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \approx 188{,}50\ \text{cm}^2$ . Altura: $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ cm.
2. Media
Un pisapapeles de cristal tiene forma de pirámide cuadrangular regular de 12 cm de lado de la base y 8 cm de altura. Calcula su área total.

Ver solución
384 cm²
$a_b = 6$ cm; $ap = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ cm. $A_L = \dfrac{48 \cdot 10}{2} = 240\ \text{cm}^2$ ; $A_B = 144\ \text{cm}^2$ ; $A_T = 384\ \text{cm}^2$ .
3. Media
El área lateral de un cono de 5 cm de radio es $65\pi\ \text{cm}^2$ . Calcula su generatriz y su altura.

Ver solución
g = 13 cm; h = 12 cm.
$\pi \cdot 5 \cdot g = 65\pi \Rightarrow g = 13$ cm. $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ cm.