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Matemáticas 3.º ESO · Áreas de cuerpos geométricos. Troncos

Área de la esfera, el huso y la zona esférica

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular el área de la esfera y de husos, zonas y casquetes esféricos.

Explicación

Área de la esfera

El área de una esfera de radio $r$ es $A = 4\pi r^2$

Arquímedes descubrió que es igual al área lateral del cilindro que la envuelve (de radio $r$ y altura $2r$ ): $2\pi r \cdot 2r = 4\pi r^2$ . La esfera no tiene desarrollo plano: por eso los mapas del mundo siempre deforman algo.

Partes de la superficie esférica

Huso esférico: la parte de la superficie comprendida entre dos semicírculos máximos que forman un ángulo de $n^\circ$ (como un gajo de naranja). Es proporcional al ángulo: $A_{\text{huso}} = \frac{4\pi r^2 \cdot n}{360}$
Zona esférica: la parte comprendida entre dos planos paralelos que cortan a la esfera, separados una distancia $h$ . Casquete esférico: la parte que corta un solo plano (la «tapa»), de altura $h$ . En los dos casos: $A = 2\pi r h$ (es el área de la franja de la misma altura en el cilindro que envuelve la esfera).
La semiesfera es un casquete de altura $h = r$ : $A = 2\pi r^2$ .

Problemas de áreas con varios cuerpos

Muchos objetos están formados por varios cuerpos (un depósito con techo semiesférico, una carpa con techo cónico…). Para calcular su área:

Dibuja el objeto y sepáralo en cuerpos conocidos.
Cuenta solo las superficies que se ven por fuera: donde dos cuerpos se pegan, esas caras no cuentan.
Calcula el área de cada parte con su fórmula y súmalas.
Si el problema pide un coste o una cantidad de material, multiplica al final por el precio o el rendimiento por metro cuadrado.

Cuerpo	Área lateral	Área total
Prisma recto	$P_{\text{base}} \cdot h$	$A_L + 2A_B$
Cilindro	$2\pi r h$	$2\pi r h + 2\pi r^2$
Pirámide regular	$\dfrac{P_{\text{base}} \cdot ap}{2}$	$A_L + A_B$
Cono	$\pi r g$	$\pi r g + \pi r^2$
Esfera		$4\pi r^2$

Puntos clave

Área de la esfera: $A = 4\pi r^2$ (igual que el área lateral del cilindro que la envuelve).
Huso esférico de $n^\circ$ : $A = \dfrac{4\pi r^2 \cdot n}{360}$ .
Zona y casquete esféricos de altura $h$ : $A = 2\pi r h$ .
Semiesfera: $2\pi r^2$ (sin contar el círculo de la base).
En un cuerpo compuesto se suman solo las superficies exteriores: las caras por donde se pegan dos cuerpos no cuentan.

Errores frecuentes

ErrorEscribir $A = \pi r^2$ o $A = 4\pi r$ .
Cómo corregirloEl área de la esfera es cuatro círculos máximos: $4\pi r^2$ .
ErrorEn la zona esférica, usar como $h$ la distancia de un plano al centro.
Cómo corregirlo $h$ es la distancia entre los dos planos (o, en el casquete, del plano al «polo»).
ErrorUsar el diámetro como radio.
Cómo corregirloDivide el diámetro entre 2 antes de sustituir.
ErrorEn un cuerpo compuesto, sumar las áreas totales de cada parte.
Cómo corregirloLas bases por donde se unen dos cuerpos quedan dentro: no se pintan ni se forran. Suma solo áreas laterales y las bases que quedan por fuera.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un balón de baloncesto situación real (área de la esfera)
Un balón de baloncesto de talla oficial mide unos 75 cm de circunferencia. ¿Cuál es su radio? ¿Qué superficie de cuero tiene, aproximadamente? Redondea a centésimas.

Resolución
Radio: $2\pi r = 75 \Rightarrow r = \dfrac{75}{2\pi} \approx 11{,}94$ cm. Área: $A = 4\pi r^2 = 4\pi \left(\dfrac{75}{2\pi}\right)^2 = \dfrac{75^2}{\pi} \approx 1790{,}49\ \text{cm}^2$ , unos 1790 cm².
Ejemplo 2. Gajos de naranja geométrico (huso esférico)
Una naranja esférica de 8 cm de diámetro tiene 10 gajos iguales. ¿Qué área de piel corresponde a cada gajo? ¿Y a toda la naranja? Redondea a centésimas.

Resolución
$r = 4$ cm. Toda la naranja: $A = 4\pi \cdot 4^2 = 64\pi \approx 201{,}06\ \text{cm}^2$ . Cada gajo es un huso de $360^\circ : 10 = 36^\circ$ : $A_{\text{huso}} = \frac{64\pi \cdot 36}{360} = 6{,}4\pi \approx 20{,}11\ \text{cm}^2$ (es, claro, la décima parte del total).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una pelota de tenis mide unos 6,7 cm de diámetro. Calcula su área. Redondea a centésimas.

Ver solución
44,89π ≈ 141,03 cm²
$r = 3{,}35$ cm. $A = 4\pi \cdot 3{,}35^2 = 44{,}89\pi \approx 141{,}03\ \text{cm}^2$ .
2. Media
Un observatorio tiene una cúpula semiesférica de 6 m de radio. Pintarla por fuera cuesta 12 € por metro cuadrado. ¿Cuánto cuesta pintarla?

Ver solución
72π ≈ 226,19 m²; unos 2714,34 €.
Área de la semiesfera: $2\pi r^2 = 2\pi \cdot 36 = 72\pi \approx 226{,}19\ \text{m}^2$ . Coste: $72\pi \cdot 12 \approx 2714{,}34$ €.
3. Media
Una esfera de 10 cm de radio se corta con dos planos paralelos situados, del mismo lado del centro, a 2 cm y a 8 cm de él. Calcula el área de la zona esférica comprendida entre ellos.

Ver solución
120π ≈ 376,99 cm²
La distancia entre los planos es $h = 8 - 2 = 6$ cm. $A = 2\pi r h = 2\pi \cdot 10 \cdot 6 = 120\pi \approx 376{,}99\ \text{cm}^2$ .

Para practicar más

1. Fácil
El área de una esfera es $100\pi\ \text{cm}^2$ . ¿Cuál es su radio?

Ver solución
5 cm
$4\pi r^2 = 100\pi \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5$ cm.
2. Media
Una pelota de playa de 24 cm de diámetro está formada por 12 husos iguales de colores. ¿Qué área tiene cada huso? Redondea a centésimas.

Ver solución
48π ≈ 150,80 cm²
$r = 12$ cm; cada huso mide $360^\circ : 12 = 30^\circ$ . $A_{\text{huso}} = \dfrac{4\pi \cdot 12^2 \cdot 30}{360} = 48\pi \approx 150{,}80\ \text{cm}^2$ .
3. Media
Una lámpara de techo tiene forma de casquete esférico de 3 cm de altura, cortado de una esfera de 9 cm de radio. ¿Qué área tiene? ¿Qué fracción del área de la esfera representa?

Ver solución
54π ≈ 169,65 cm²; 1/6.
$A = 2\pi r h = 2\pi \cdot 9 \cdot 3 = 54\pi \approx 169{,}65\ \text{cm}^2$ . Esfera: $4\pi \cdot 81 = 324\pi$ . Fracción: $\dfrac{54\pi}{324\pi} = \dfrac{1}{6}$ (que coincide con $\dfrac{h}{2r} = \dfrac{3}{18}$ ).