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Matemáticas 3.º ESO · La esfera y sus secciones. Coordenadas geográficas

Secciones de la esfera: círculos máximos y círculos menores

Objetivo: Al terminar, sabrás describir la posición de un plano respecto de una esfera, distinguir círculos máximos y menores y calcular con el teorema de Pitágoras el radio de una sección o su distancia al centro.

Explicación

La esfera

La esfera es el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Todos los puntos de su superficie (la superficie esférica) están a la misma distancia del centro $O$ : el radio $R$ .

Posiciones de un plano respecto de una esfera

Sea $d$ la distancia del centro de la esfera al plano:

Posición	Condición	Qué tienen en común
Exterior	$d > R$	nada
Tangente	$d = R$	un punto
Secante	$d < R$	un círculo (la sección)

Radio de la sección

Si cortamos la esfera por un plano a distancia $d$ del centro, la sección es un círculo cuyo centro es el pie de la perpendicular desde $O$ . En un corte vertical se ve un triángulo rectángulo: hipotenusa $R$ (del centro a un punto del borde), catetos $d$ y $r$ : $r = \sqrt{R^2 - d^2} \qquad d = \sqrt{R^2 - r^2}$

Si el plano pasa por el centro ( $d = 0$ ), $r = R$ : es un círculo máximo, la mayor sección posible. Divide la esfera en dos semiesferas (hemisferios).
Si no pasa por el centro, la sección es un círculo menor: cuanto más lejos del centro, más pequeño.

En el globo terráqueo, el ecuador es un círculo máximo y los paralelos son círculos menores.

Puntos clave

Plano exterior ( $d > R$ ), tangente ( $d = R$ ) o secante ( $d < R$ ).
Radio de la sección: $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ (triángulo rectángulo de hipotenusa $R$ ).
Círculo máximo: el plano pasa por el centro y $r = R$ .
Cuanto más lejos del centro está el plano, menor es la sección.

Errores frecuentes

ErrorPoner $R$ como cateto y escribir $r = \sqrt{R^2 + d^2}$ .
Cómo corregirloLa hipotenusa es siempre el radio de la esfera (va del centro al borde de la sección): $r$ tiene que salir menor que $R$ .
ErrorConfundir la distancia al centro con la distancia a la superficie (lo que «sobresale»).
Cómo corregirloHaz el dibujo del corte: lo que sobresale de la sección es $R - d$ , no $d$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Cortar una sandía situación real (radio de la sección)
Una sandía casi esférica mide 30 cm de diámetro. Se corta con un cuchillo recto a 9 cm del centro. ¿Qué diámetro tiene la rodaja que se ve en el corte? ¿Qué área tiene? Redondea a centésimas.

La gráfica muestra el corte vertical de la sandía: la circunferencia de radio 15, la sección (horizontal, a 9 cm del centro) y el triángulo rectángulo.

Resolución
1. $R = 30 : 2 = 15$ cm; $d = 9$ cm.
2. Pitágoras (hipotenusa $R$ ): $r = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\ \text{cm}$ El corte es un círculo de 24 cm de diámetro.
3. Área: $\pi \cdot 12^2 = 144\pi \approx 452{,}39\ \text{cm}^2$ .
Ejemplo 2. Una lámpara empotrada en el techo inverso (distancia al centro)
Una lámpara esférica de 40 cm de diámetro está encajada en un agujero circular del techo de 32 cm de diámetro. ¿A qué distancia del techo está el centro de la lámpara? ¿Qué parte de la lámpara queda escondida por encima del techo y cuánto cuelga por debajo?

Resolución
1. $R = 20$ cm; la sección (el agujero) tiene $r = 16$ cm.
2. $d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ cm: el centro está 12 cm por debajo del techo.
3. Por encima del techo queda un casquete de altura $R - d = 20 - 12 = 8$ cm; por debajo cuelgan $R + d = 20 + 12 = 32$ cm (comprobación: $8 + 32 = 40$ , el diámetro).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una esfera de 17 cm de radio se corta con un plano a 8 cm de su centro. Calcula el radio y el área de la sección (exacta y redondeada a centésimas).

Ver solución
r = 15 cm; 225π ≈ 706,86 cm²
$r = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ cm. Área: $225\pi \approx 706{,}86\ \text{cm}^2$ .
2. Fácil
Una esfera tiene 6 cm de radio. Di la posición de cada plano respecto de ella y, si la corta, calcula el radio de la sección: a) a 4 cm del centro; b) a 6 cm; c) a 9 cm; d) pasa por el centro.

Ver solución
a) secante, r = 2√5 ≈ 4,47 cm; b) tangente; c) exterior; d) círculo máximo, r = 6 cm
a) $4 < 6$ : secante. $r = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$ cm. b) $d = R$ : tangente (un punto). c) $9 > 6$ : exterior. d) $d = 0$ : círculo máximo, $r = 6$ cm.
3. Media
Una bola de bolos de 22 cm de diámetro se apoya sobre un aro horizontal de 16 cm de diámetro. ¿A qué distancia del plano del aro queda el centro de la bola? ¿Cuánto se mete la bola por debajo del aro? Redondea a centésimas.

Ver solución
d = √57 ≈ 7,55 cm; se mete unos 3,45 cm
$R = 11$ cm; el aro es una sección de radio $r = 8$ cm. $d = \sqrt{11^2 - 8^2} = \sqrt{121 - 64} = \sqrt{57} \approx 7{,}55$ cm. Por debajo del aro queda $R - d \approx 11 - 7{,}55 = 3{,}45$ cm.
4. Difícil
Al cortar una esfera con un plano a 20 cm de su centro se obtiene un círculo de $441\pi\ \text{cm}^2$ de área. Calcula el radio de la esfera y el área de sus círculos máximos.

Ver solución
R = 29 cm; 841π ≈ 2642,08 cm²
$\pi r^2 = 441\pi \Rightarrow r = 21$ cm. $R = \sqrt{d^2 + r^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ cm. Círculo máximo: $\pi \cdot 29^2 = 841\pi \approx 2642{,}08\ \text{cm}^2$ .

Para practicar más

1. Fácil
Una esfera de 10 cm de radio se corta con un plano a 6 cm del centro. Calcula el radio de la sección y su área. Redondea a centésimas.

Ver solución
r = 8 cm; 64π ≈ 201,06 cm²
$r = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. Área: $64\pi \approx 201{,}06\ \text{cm}^2$ .
2. Media
Una bola de cristal de 12 cm de diámetro se coloca sobre la boca de un vaso cilíndrico de 8 cm de diámetro. ¿A qué altura sobre el plano de la boca del vaso queda el centro de la bola? ¿Cuánto se mete la bola dentro del vaso? Redondea a centésimas.

Ver solución
d = 2√5 ≈ 4,47 cm; se mete unos 1,53 cm
$R = 6$ cm; la boca es una sección de radio $r = 4$ cm. $d = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$ cm. Dentro del vaso: $R - d \approx 6 - 4{,}47 = 1{,}53$ cm.
3. Media
¿Verdadero o falso? Justifica. a) Todos los círculos máximos de una esfera tienen el mismo radio. b) Dos círculos máximos distintos siempre se cortan. c) Cuanto más lejos del centro está el plano, mayor es la sección. d) Un plano tangente a una esfera la corta en una circunferencia muy pequeña.

Ver solución
a) V; b) V; c) F; d) F
a) Verdadero: todos tienen radio $R$ . b) Verdadero: los dos planos pasan por el centro, así que se cortan en una recta que pasa por el centro; esa recta corta a la esfera en dos puntos opuestos, que están en los dos círculos (como dos meridianos en los polos). c) Falso: $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ disminuye al aumentar $d$ . d) Falso: un plano tangente solo tiene un punto en común con la esfera.
4. Difícil
Una esfera de 10 cm de radio se corta con planos paralelos situados a distintas distancias $d$ del centro. Completa la tabla con el radio $r$ de cada sección (redondea a centésimas) y dibuja los puntos en los ejes. ¿El radio disminuye de forma proporcional a la distancia?

$d$ (cm) 0 2 4 6 8 10

$r$ (cm)

Ver solución
10; 9,80; 9,17; 8; 6; 0. No es proporcional: al principio baja muy despacio y al final muy deprisa.
$r = \sqrt{100 - d^2}$ : $d = 0 \to 10$ ; $d = 2 \to \sqrt{96} \approx 9{,}80$ ; $d = 4 \to \sqrt{84} \approx 9{,}17$ ; $d = 6 \to 8$ ; $d = 8 \to 6$ ; $d = 10 \to 0$ . No es proporcional (ni siquiera una recta): los puntos forman un cuarto de circunferencia. Cerca del centro la sección casi no cambia; cerca del borde se hace pequeña muy deprisa.