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Explicación

Cuerpos inscritos

Un cuerpo está inscrito en otro cuando está dentro de él y lo toca todo lo posible (sus vértices o su superficie tocan las paredes del otro). Para relacionar sus medidas, dibuja un corte por el centro y busca qué segmento es común.

Situación	Relación
Esfera inscrita en un cilindro	radio de la esfera = radio del cilindro; altura del cilindro $= 2r$
Esfera inscrita en un cubo de arista $a$	$r = \dfrac{a}{2}$
Cubo inscrito en una esfera de radio $R$	la diagonal del cubo es un diámetro: $a\sqrt{3} = 2R$
Cilindro o cono inscrito en una esfera	en el corte aparece un triángulo rectángulo con hipotenusa $R$ : Pitágoras

Recuerda: $V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ ; la diagonal de un cubo de arista $a$ mide $a\sqrt{3}$ .

Espacio libre = volumen del cuerpo de fuera − volumen del de dentro.

La relación de Arquímedes

Toma una esfera de radio $r$ , el cilindro en el que está inscrita (radio $r$ , altura $2r$ ) y un cono con la misma base y altura que el cilindro: $V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 2r = \frac{2}{3}\pi r^3 \qquad V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \qquad V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$ Los tres volúmenes están en la proporción 1 : 2 : 3. En particular, la esfera ocupa $\dfrac{2}{3}$ del cilindro que la contiene. Arquímedes (siglo III a. C.) estaba tan orgulloso de este resultado que pidió que lo grabaran en su tumba.

Puntos clave

Haz siempre un corte por el centro y busca la medida común o el triángulo rectángulo.
Esfera en cilindro: $h = 2r$ ; esfera en cubo: $r = a/2$ ; cubo en esfera: $a\sqrt{3} = 2R$ .
Relación de Arquímedes: cono, esfera y cilindro (misma $r$ , altura $2r$ ) están en la proporción $1 : 2 : 3$ .
La esfera ocupa $\frac{2}{3}$ del cilindro circunscrito.

Errores frecuentes

ErrorPensar que el cubo inscrito en una esfera tiene arista igual al diámetro.
Cómo corregirloLo que coincide con el diámetro es la diagonal del cubo, que va de un vértice al opuesto: $a\sqrt{3} = 2R$ .
ErrorTomar como altura del cilindro el radio de la esfera.
Cómo corregirloLa esfera toca las dos bases: la altura es el diámetro, $2r$ .
ErrorEn un cilindro o cono inscrito en una esfera, usar como cateto la altura entera.
Cómo corregirloMide desde el centro de la esfera: en el cilindro, la mitad de la altura; en el cono, la altura menos el radio.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El bote de pelotas de pádel situación real (esferas en un cilindro)
Un bote cilíndrico contiene 3 pelotas de pádel de 6,5 cm de diámetro, una encima de otra, que tocan las paredes, el fondo y la tapa. a) ¿Qué medidas tiene el bote por dentro? b) ¿Qué volumen de aire queda en el bote? Redondea a centésimas. c) ¿Qué fracción del bote ocupan las pelotas?

Resolución
a) Radio del bote = radio de las pelotas: $r = 3{,}25$ cm. Altura = 3 diámetros: $h = 3 \cdot 6{,}5 = 19{,}5$ cm.

b) Bote: $V_c = \pi \cdot 3{,}25^2 \cdot 19{,}5 \approx 205{,}97\pi\ \text{cm}^3$ . Pelotas: $3 \cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3{,}25^3 = 4\pi \cdot 34{,}328 \approx 137{,}31\pi\ \text{cm}^3$ . Aire: $205{,}97\pi - 137{,}31\pi \approx 68{,}66\pi \approx 215{,}69\ \text{cm}^3$ .

c) $\dfrac{137{,}31\pi}{205{,}97\pi} = \dfrac{2}{3}$ : las pelotas ocupan dos tercios del bote. (En general: $\dfrac{4\pi r^3}{\pi r^2 \cdot 6r} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ .)
Ejemplo 2. El cubo dentro de la esfera geométrico (cubo inscrito)
Un cubo está inscrito en una esfera de 9 cm de radio (sus 8 vértices están sobre la esfera). Calcula la arista del cubo y qué porcentaje del volumen de la esfera ocupa.

Resolución
1. Corte por la diagonal: la diagonal del cubo une dos vértices opuestos y pasa por el centro, así que es un diámetro: $a\sqrt{3} = 18$ . $a = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39\ \text{cm}$
2. Volúmenes: $V_{\text{cubo}} = (6\sqrt{3})^3 = 648\sqrt{3} \approx 1122{,}37\ \text{cm}^3$ ; $V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 9^3 = 972\pi \approx 3053{,}63\ \text{cm}^3$ .
3. Porcentaje: $\dfrac{1122{,}37}{3053{,}63} \approx 0{,}3676$ → el cubo ocupa un 36,76 % de la esfera.
Ejemplo 3. Lo que grabaron en la tumba de Arquímedes demostración (relación general)
En la tumba de Arquímedes se grabó una esfera inscrita en un cilindro. Comprueba que, para cualquier radio $r$ : a) el volumen de la esfera es $\frac{2}{3}$ del del cilindro; b) el área de la esfera ( $4\pi r^2$ ) también es $\frac{2}{3}$ del área total del cilindro.

Resolución
El cilindro tiene radio $r$ y altura $2r$ .

a) $V_{\text{cil}} = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$ ; $V_{\text{esf}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ . $\dfrac{V_{\text{esf}}}{V_{\text{cil}}} = \dfrac{4/3}{2} = \dfrac{2}{3}$ .

b) $A_{\text{cil}} = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot 2r = 6\pi r^2$ ; $A_{\text{esf}} = 4\pi r^2$ . $\dfrac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \dfrac{2}{3}$ .

La misma fracción, $\dfrac{2}{3}$ , para el volumen y para el área.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una esfera está inscrita en un cubo de 10 cm de arista. Calcula el volumen de la esfera y el porcentaje del cubo que ocupa. Redondea a centésimas.

Ver solución
V = 500π/3 ≈ 523,60 cm³; 52,36 %
$r = 10 : 2 = 5$ cm. $V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 125 = \dfrac{500}{3}\pi \approx 523{,}60\ \text{cm}^3$ . Cubo: $1000\ \text{cm}^3$ . Porcentaje: $\dfrac{523{,}60}{1000} \approx 52{,}36\ \%$ .
2. Fácil
Dentro de un cilindro de 4 cm de radio y 10 cm de altura se coloca un cono con la misma base y la misma altura. ¿Qué volumen queda libre? Da el resultado exacto y redondeado a centésimas.

Ver solución
320π/3 ≈ 335,10 cm³
$V_{\text{cil}} = \pi \cdot 16 \cdot 10 = 160\pi$ . $V_{\text{cono}} = \dfrac{160\pi}{3}$ . Libre: $160\pi - \dfrac{160\pi}{3} = \dfrac{320\pi}{3} \approx 335{,}10\ \text{cm}^3$ (los $\frac{2}{3}$ del cilindro).
3. Media
De una bola de madera de 10 cm de radio se talla un cilindro de 12 cm de altura cuyas bases tocan la esfera por todo su borde. Calcula el radio del cilindro, su volumen y qué porcentaje de la madera se aprovecha (redondea a décimas).

Ver solución
r = 8 cm; V = 768π ≈ 2412,74 cm³; se aprovecha un 57,6 %
Corte por el eje: triángulo rectángulo con hipotenusa $R = 10$ (del centro al borde de una base), cateto vertical $12 : 2 = 6$ y cateto horizontal $r$ . $r = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ cm. $V_{\text{cil}} = \pi \cdot 64 \cdot 12 = 768\pi \approx 2412{,}74\ \text{cm}^3$ . $V_{\text{esf}} = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 1000 \approx 4188{,}79\ \text{cm}^3$ . $\dfrac{768}{4000/3} = 0{,}576$ → 57,6 %.
4. Difícil
Un cono de 8 cm de altura tiene el vértice y toda la circunferencia de su base sobre una esfera de 5 cm de radio. Calcula el radio de la base del cono y su volumen (exacto y redondeado a centésimas).

Ver solución
r = 4 cm; V = 128π/3 ≈ 134,04 cm³
El centro de la esfera está en el eje del cono, a $8 - 5 = 3$ cm de la base. Triángulo rectángulo: hipotenusa 5, cateto 3. $r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ cm. $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 8 = \dfrac{128}{3}\pi \approx 134{,}04\ \text{cm}^3$ .
5. Difícil
Un cilindro tiene un volumen de $54\pi\ \text{cm}^3$ y lleva una esfera inscrita. Sin calcular el radio, halla el volumen de la esfera. Después calcula el radio y comprueba.

Ver solución
V esfera = 36π cm³; r = 3 cm
Por Arquímedes, $V_{\text{esf}} = \dfrac{2}{3} \cdot 54\pi = 36\pi\ \text{cm}^3$ . Radio: $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi \Rightarrow r^3 = 27 \Rightarrow r = 3$ cm. Comprobación: cilindro de radio 3 y altura 6: $\pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi$ . ✔

Para practicar más

1. Fácil
Una caja cúbica de 12 cm de arista contiene una bola de Navidad que toca las seis caras. ¿Qué volumen queda libre en la caja? Redondea a centésimas.

Ver solución
1728 − 288π ≈ 823,22 cm³
$r = 6$ cm. Bola: $\dfrac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \approx 904{,}78\ \text{cm}^3$ . Caja: $12^3 = 1728\ \text{cm}^3$ . Libre: $1728 - 288\pi \approx 823{,}22\ \text{cm}^3$ .
2. Media
Un vaso cilíndrico de 4 cm de radio y 15 cm de altura está lleno de agua hasta el borde. Se mete en él una bola de 4 cm de radio, que queda dentro y totalmente sumergida. ¿Cuánta agua se derrama? ¿Cuánta queda en el vaso? Redondea a centésimas.

Ver solución
Se derraman 256π/3 ≈ 268,08 cm³; quedan 464π/3 ≈ 485,90 cm³
La bola cabe justa en el vaso (mismo radio) y, como $2 \cdot 4 = 8 < 15$ , queda sumergida. Se derrama el volumen de la bola: $\dfrac{4}{3}\pi \cdot 64 = \dfrac{256}{3}\pi \approx 268{,}08\ \text{cm}^3$ . Vaso: $\pi \cdot 16 \cdot 15 = 240\pi$ . Queda: $240\pi - \dfrac{256}{3}\pi = \dfrac{464}{3}\pi \approx 485{,}90\ \text{cm}^3$ .
3. Media
Calcula los volúmenes de un cono, una esfera y un cilindro, todos de 2 cm de radio, si el cono y el cilindro miden 4 cm de altura. Comprueba la relación de Arquímedes.

Ver solución
16π/3, 32π/3 y 16π cm³: proporción 1 : 2 : 3
Cono: $\dfrac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 4 = \dfrac{16}{3}\pi$ . Esfera: $\dfrac{4}{3}\pi \cdot 8 = \dfrac{32}{3}\pi$ . Cilindro: $\pi \cdot 4 \cdot 4 = 16\pi = \dfrac{48}{3}\pi$ . Dividiendo entre $\dfrac{16}{3}\pi$ : $1 : 2 : 3$ . ✔
4. Difícil
Un cubo de 8 cm de arista está inscrito en una esfera, y esa esfera está inscrita en un cilindro. Calcula el radio de la esfera y los volúmenes del cubo, la esfera y el cilindro. Da los resultados exactos y redondeados a centésimas.

Ver solución
R = 4√3 ≈ 6,93 cm; cubo 512 cm³; esfera 256√3π ≈ 1393,00 cm³; cilindro 384√3π ≈ 2089,50 cm³
Diagonal del cubo $= 8\sqrt{3} = 2R \Rightarrow R = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm. Cubo: $8^3 = 512\ \text{cm}^3$ . Esfera: $R^3 = 64 \cdot 3\sqrt{3} = 192\sqrt{3}$ ; $V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 192\sqrt{3} = 256\sqrt{3}\,\pi \approx 1393{,}00\ \text{cm}^3$ . Cilindro (radio $R$ , altura $2R$ ): $2\pi R^3 = 384\sqrt{3}\,\pi \approx 2089{,}50\ \text{cm}^3$ (los $\frac{3}{2}$ de la esfera).
5. Difícil
Dentro de una semiesfera de 6 cm de radio se coloca un cono con la misma base y el vértice en el punto más alto de la semiesfera. ¿Qué volumen queda entre los dos? ¿Qué fracción de la semiesfera ocupa el cono?

Ver solución
72π ≈ 226,19 cm³; el cono ocupa la mitad
Semiesfera: $\dfrac{2}{3}\pi \cdot 216 = 144\pi$ . Cono (radio 6, altura 6): $\dfrac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 6 = 72\pi$ . Entre los dos: $144\pi - 72\pi = 72\pi \approx 226{,}19\ \text{cm}^3$ . El cono ocupa $\dfrac{72\pi}{144\pi} = \dfrac{1}{2}$ de la semiesfera.

Cuerpos inscritos y la relación de Arquímedes