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Matemáticas 3.º ESO · Planos y ejes de simetría de los poliedros

Recuerda: planos de simetría de prismas, pirámides y cuerpos de revolución

Objetivo: Al terminar, sabrás identificar y contar los planos de simetría de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas.

Recuerda

Planos de simetría

Un plano de simetría divide un cuerpo en dos mitades que son simétricas: cada una es la imagen de la otra en un espejo colocado en ese plano.

Para contarlos en prismas y pirámides rectos, fíjate en los ejes de simetría de la base: cada uno da un plano de simetría vertical (el que contiene ese eje y la altura).

Cuerpo	Planos de simetría
Prisma regular de base con $n$ lados (que no sea un cubo)	$n + 1$ : $n$ verticales y 1 horizontal a media altura
Ortoedro con sus tres dimensiones distintas	3
Cubo	9: 3 paralelos a las caras y 6 que pasan por dos aristas opuestas
Pirámide regular de base con $n$ lados	$n$ (todos contienen la altura)
Cilindro	infinitos que contienen el eje, y 1 perpendicular al eje a media altura
Cono	infinitos, todos los que contienen el eje
Esfera	infinitos: todos los que pasan por el centro

La pirámide y el cono no tienen plano horizontal de simetría: la mitad de arriba (con la cúspide) no es igual que la de abajo.

Ejes de giro

Una recta es un eje de giro (o eje de simetría de rotación) de un cuerpo si, al girar el cuerpo alrededor de ella menos de una vuelta completa, queda en la misma posición. Por ejemplo:

La recta que une los centros de las dos bases de un prisma regular de $n$ lados, o la altura de una pirámide regular de $n$ lados: el cuerpo queda igual cada $\dfrac{360^\circ}{n}$ de giro.
El eje de un cilindro, de un cono o de cualquier cuerpo de revolución: queda igual con cualquier giro.

Puntos clave

Un plano de simetría divide el cuerpo en dos mitades simétricas, como en un espejo.
En prismas y pirámides rectos, cada eje de simetría de la base da un plano de simetría vertical.
Prisma regular de $n$ lados: $n + 1$ planos (el cubo, 9). Pirámide regular: $n$ planos.
Cilindro, cono y esfera tienen infinitos planos de simetría; el cono no tiene plano horizontal.
Eje de giro: al girar el cuerpo alrededor de él menos de una vuelta, queda igual; en un prisma o pirámide regular de $n$ lados, cada $360^\circ/n$ .

Errores frecuentes

ErrorOlvidar el plano horizontal a media altura del prisma o del cilindro.
Cómo corregirloPregúntate si la mitad de arriba es igual que la de abajo: en prismas y cilindros rectos, sí.
ErrorContar un plano horizontal en la pirámide o en el cono.
Cómo corregirloLa mitad superior tiene la cúspide y la inferior no: no son simétricas.
ErrorPensar que una diagonal de un rectángulo es eje de simetría.
Cómo corregirloUn rectángulo que no es cuadrado tiene solo 2 ejes (por los puntos medios de los lados); por eso el ortoedro tiene 3 planos y no 5.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una caja hexagonal geométrico (contar planos)
Una caja de regalo tiene forma de prisma hexagonal regular. ¿Cuántos planos de simetría tiene? Descríbelos.

Resolución
El hexágono regular tiene 6 ejes de simetría: 3 pasan por dos vértices opuestos y 3 por los puntos medios de dos lados opuestos. Cada uno da un plano de simetría vertical (contiene el eje y la altura del prisma). Además, el plano horizontal a media altura deja dos mitades iguales. Total: $6 + 1 = 7$ planos de simetría.
Ejemplo 2. Objetos de la cocina situación real (cuerpos de revolución)
¿Cuántos planos de simetría tiene cada objeto? a) Una lata de refresco (cilindro, sin tener en cuenta la anilla). b) Un cucurucho de helado vacío (cono). c) Una naranja (esfera).

Resolución
a) Infinitos: todos los planos que contienen el eje de la lata, y además el plano horizontal a media altura. b) Infinitos: todos los que contienen el eje del cono. No hay plano horizontal, porque la punta solo está en un lado. c) Infinitos: cualquier plano que pase por el centro la parte en dos mitades iguales.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
¿Cuántos planos de simetría tiene cada cuerpo? a) Una caja de bombones con forma de prisma triangular regular. b) Una pirámide cuadrangular regular. c) Un ortoedro de 2 cm × 3 cm × 5 cm.

Ver solución
a) 4. b) 4. c) 3.
a) El triángulo equilátero tiene 3 ejes → 3 planos verticales + 1 horizontal = 4. b) El cuadrado tiene 4 ejes → 4 planos (sin plano horizontal). c) Un plano paralelo a cada par de caras opuestas, por la mitad: 3.
2. Media
Compara los planos de simetría de un prisma cuadrangular regular de 4 cm de lado de la base y 10 cm de altura con los de un cubo de 4 cm de arista.

Ver solución
El prisma tiene 5 y el cubo, 9.
Prisma (altura distinta del lado): el cuadrado de la base tiene 4 ejes → 4 planos verticales, más el horizontal: 5. Cubo: todas las caras son iguales y cualquier cara puede hacer de base. Tiene 3 planos paralelos a las caras y 6 planos que pasan por dos aristas opuestas: 9.
3. Media
Un prisma recto tiene como base un triángulo rectángulo isósceles. ¿Cuántos planos de simetría tiene?

Ver solución
2.
El triángulo rectángulo isósceles tiene 1 eje de simetría (la altura sobre la hipotenusa). Ese eje da 1 plano vertical; además está el plano horizontal a media altura. Total: 2 planos.

Para practicar más

1. Fácil
¿Cuántos planos de simetría tiene un prisma pentagonal regular? ¿Y una pirámide hexagonal regular?

Ver solución
6 y 6.
Prisma pentagonal regular: el pentágono tiene 5 ejes → 5 planos verticales + 1 horizontal = 6. Pirámide hexagonal regular: el hexágono tiene 6 ejes → 6 planos (sin horizontal).
2. Fácil
Explica por qué un cilindro tiene un plano de simetría perpendicular a su eje y un cono no.

Ver solución
Las dos mitades del cilindro son iguales; las del cono, no.
Al cortar un cilindro recto por un plano perpendicular al eje a media altura, quedan dos cilindros iguales y simétricos. En el cono, cualquier plano perpendicular al eje deja a un lado la cúspide y al otro la base: las dos partes son distintas (un cono pequeño y un tronco de cono).
3. Media
Un prisma recto tiene como base un rombo que no es un cuadrado. ¿Cuántos planos de simetría tiene? ¿Y una pirámide recta con esa misma base, con la cúspide sobre el centro del rombo?

Ver solución
Prisma: 3. Pirámide: 2.
El rombo (no cuadrado) tiene 2 ejes de simetría: sus diagonales. Prisma: 2 planos verticales + 1 horizontal = 3. Pirámide: 2 planos (sin horizontal).