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Matemáticas 3.º ESO · Teorema de Euler

Problemas con la fórmula de Euler: poliedros truncados y el balón de fútbol

Objetivo: Al terminar, sabrás usar la fórmula de Euler y el recuento de lados de las caras para hallar caras, vértices o aristas desconocidos, y estudiar poliedros truncados y semirregulares como el balón de fútbol.

Explicación

Contar aristas y vértices a partir de las caras

Cada arista es lado de dos caras. Por eso: $A = \frac{\text{suma de los lados de todas las caras}}{2}$
Si en todos los vértices concurre el mismo número de caras, $k$ , cada vértice se cuenta $k$ veces al recorrer los lados de las caras: $V = \frac{\text{suma de los lados de todas las caras}}{k}$
Con la fórmula de Euler, $C + V = A + 2$ , podemos hallar el elemento que falte o comprobar el resultado. A veces hay que plantear un sistema de ecuaciones.

Poliedros truncados

Truncar un poliedro es cortar cada vértice con un plano. Si en cada vértice concurren $k$ caras:

cada vértice se sustituye por una cara nueva de $k$ lados;
cada cara de $n$ lados pasa a tener $2n$ lados (si no se corta hasta los puntos medios de las aristas);
cada vértice da lugar a $k$ vértices nuevos, y aparecen $k$ aristas nuevas por cada vértice cortado.

Así: $C' = C + V$ , $\quad V' = k \cdot V$ , $\quad A' = A + k \cdot V$ .

Poliedros semirregulares

Un poliedro es semirregular (o arquimediano) si sus caras son polígonos regulares de dos o más tipos y todos sus vértices son iguales (concurren las mismas caras en el mismo orden). Muchos se obtienen truncando poliedros regulares. El más famoso es el icosaedro truncado: el balón de fútbol clásico.

Puntos clave

$A$ = (suma de los lados de todas las caras) : 2, porque cada arista es lado de dos caras.
Si en cada vértice concurren $k$ caras, $V$ = (suma de los lados de todas las caras) : $k$ .
La fórmula de Euler permite hallar el elemento que falta o comprobar el recuento.
Al truncar un poliedro con $k$ caras en cada vértice: $C' = C + V$ , $V' = kV$ , $A' = A + kV$ .
Poliedros semirregulares: caras regulares de varios tipos y todos los vértices iguales (el balón de fútbol es un icosaedro truncado).

Errores frecuentes

ErrorSumar los lados de todas las caras y tomar ese número como el de aristas.
Cómo corregirloCada arista se ha contado dos veces (una por cada cara): divide entre 2.
ErrorAl truncar, seguir contando los vértices originales.
Cómo corregirloLos vértices originales desaparecen con el corte; en su lugar aparecen $k$ vértices nuevos cada uno.
ErrorDar por bueno un resultado sin comprobarlo.
Cómo corregirloComprueba siempre con $C + V = A + 2$ : si no se cumple, hay un error de recuento.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El balón de fútbol situación real (poliedro semirregular)
El balón clásico de fútbol, el que se popularizó en el Mundial de 1970, está formado por 12 pentágonos negros y 20 hexágonos blancos, y en cada vértice concurren 3 caras. Calcula el número de aristas (costuras) y de vértices y comprueba la fórmula de Euler.

Resolución
- Caras: $C = 12 + 20 = 32$ .
- Suma de lados: $12 \cdot 5 + 20 \cdot 6 = 60 + 120 = 180$ . Aristas: $A = \dfrac{180}{2} = 90$ costuras.
- Vértices: en cada uno concurren 3 caras: $V = \dfrac{180}{3} = 60$ .
- Euler: $32 + 60 = 92 = 90 + 2$ ✔
Es un icosaedro truncado: el icosaedro tiene 12 vértices con 5 caras cada uno, y al cortarlos aparecen los 12 pentágonos; sus 20 caras triangulares se convierten en hexágonos. Con las fórmulas: $C' = 20 + 12 = 32$ , $V' = 5 \cdot 12 = 60$ , $A' = 30 + 60 = 90$ .
Ejemplo 2. Un poliedro con solo triángulos algebraico (sistema de ecuaciones)
Un poliedro convexo tiene 12 vértices y todas sus caras son triángulos. ¿Cuántas caras y cuántas aristas tiene?

Resolución
Llamamos $C$ al número de caras y $A$ al de aristas.
- Cada cara tiene 3 lados y cada arista está en 2 caras: $3C = 2A$ .
- Euler: $C + 12 = A + 2$ .
$\begin{cases} 3C = 2A \\ C + 12 = A + 2 \end{cases}$

De la segunda, $A = C + 10$ . Sustituyendo: $3C = 2(C + 10) \Rightarrow 3C = 2C + 20 \Rightarrow C = 20$ , y $A = 30$ . Tiene 20 caras y 30 aristas (por ejemplo, el icosaedro).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
El tetraedro truncado tiene 4 caras hexagonales y 4 triangulares, y en cada vértice concurren 3 caras. Calcula sus aristas y vértices y comprueba la fórmula de Euler.

Ver solución
A = 18, V = 12; 8 + 12 = 18 + 2.
$C = 8$ . Suma de lados: $4 \cdot 6 + 4 \cdot 3 = 36$ . $A = 36 : 2 = 18$ ; $V = 36 : 3 = 12$ . Euler: $8 + 12 = 20 = 18 + 2$ ✔
2. Fácil
Un poliedro convexo tiene 9 caras y 16 aristas. ¿Cuántos vértices tiene? Pon un ejemplo.

Ver solución
9 vértices; por ejemplo, una pirámide octogonal.
$V = A + 2 - C = 16 + 2 - 9 = 9$ . Una pirámide octogonal tiene $8 + 1 = 9$ caras, $9$ vértices y $2 \cdot 8 = 16$ aristas.
3. Media
El cuboctaedro tiene 8 caras triangulares y 6 cuadradas, y en cada vértice concurren 4 caras. ¿Cuántas aristas y vértices tiene? Comprueba Euler.

Ver solución
A = 24, V = 12; 14 + 12 = 24 + 2.
Suma de lados: $8 \cdot 3 + 6 \cdot 4 = 48$ . $A = 48 : 2 = 24$ ; $V = 48 : 4 = 12$ . Euler: $14 + 12 = 26 = 24 + 2$ ✔
4. Difícil
Un poliedro convexo tiene todas sus caras cuadriláteras y en cada vértice concurren 3 caras. Plantea un sistema con la fórmula de Euler y halla $C$ , $V$ y $A$ .
Ver solución
C = 6, V = 8, A = 12.
- Cada cara tiene 4 lados: $4C = 2A \Rightarrow C = \dfrac{A}{2}$ .
- En cada vértice concurren 3 caras (y 3 aristas): $3V = 2A \Rightarrow V = \dfrac{2A}{3}$ .
- Euler: $\dfrac{A}{2} + \dfrac{2A}{3} = A + 2$ . Multiplicando por 6: $3A + 4A = 6A + 12 \Rightarrow A = 12$ .
Entonces $C = 6$ y $V = 8$ (como el cubo o cualquier ortoedro).

Para practicar más

1. Fácil
El cubo truncado tiene 6 caras octogonales y 8 triangulares, y en cada vértice concurren 3 caras. Calcula $A$ y $V$ , comprueba Euler y comprueba también los resultados con las fórmulas del truncamiento.

Ver solución
C = 14, A = 36, V = 24.
Suma de lados: $6 \cdot 8 + 8 \cdot 3 = 72$ . $A = 72 : 2 = 36$ ; $V = 72 : 3 = 24$ . Euler: $14 + 24 = 38 = 36 + 2$ ✔ Truncando el cubo ( $C = 6$ , $V = 8$ , $A = 12$ , $k = 3$ ): $C' = 6 + 8 = 14$ ; $V' = 3 \cdot 8 = 24$ ; $A' = 12 + 24 = 36$ ✔
2. Media
El octaedro truncado tiene 6 caras cuadradas y 8 hexagonales. Halla sus aristas y vértices (en cada vértice concurren 3 caras). ¿De qué poliedro regular procede y qué caras salen de los cortes?

Ver solución
A = 36, V = 24; procede del octaedro y los cortes dan los 6 cuadrados.
Suma de lados: $6 \cdot 4 + 8 \cdot 6 = 72$ . $A = 36$ , $V = 72 : 3 = 24$ . Euler: $14 + 24 = 38 = 36 + 2$ ✔ Procede del octaedro: sus 8 triángulos pasan a ser hexágonos, y cada uno de sus 6 vértices (con 4 caras) se convierte en un cuadrado.
3. Media
Un poliedro convexo tiene 2 caras pentagonales y 10 triangulares, y en cada vértice concurren 4 caras. ¿Cuántas aristas y vértices tiene? Comprueba el resultado de dos formas.

Ver solución
A = 20, V = 10.
Suma de lados: $2 \cdot 5 + 10 \cdot 3 = 40$ . $A = 40 : 2 = 20$ . Con Euler: $V = A + 2 - C = 20 + 2 - 12 = 10$ . Con los vértices: $V = 40 : 4 = 10$ ✔ (es un antiprisma pentagonal).
4. Difícil
¿Puede existir un poliedro convexo con 7 aristas? (Pista: cada cara tiene al menos 3 lados y en cada vértice concurren al menos 3 aristas.)

Ver solución
No.
Cada cara tiene al menos 3 lados: $2A \ge 3C$ . Con $A = 7$ : $3C \le 14 \Rightarrow C \le 4$ . En cada vértice concurren al menos 3 aristas: $2A \ge 3V \Rightarrow V \le 4$ . Entonces $C + V \le 8$ , pero Euler exige $C + V = 7 + 2 = 9$ . Es imposible.